Wie lautet die Gleichung, die Delta v einer Rakete mit der Zeit in Beziehung setzt, die benötigt wird, um eine Umlaufbahn zu absolvieren?

Es gibt eigentlich keine Beziehung zwischen den beiden. Bei einem einfachen 2-Körper-Problem beginnt und endet jede Umlaufbahn am selben Ort mit demselben Geschwindigkeitsvektor. Das „Delta“ in „Delta-v“ bedeutet Veränderung. Keine Änderung, kein Delta. Das Raumschiff wiederholt dieselbe Umlaufbahn bis zum Ende dieses 2-Körper-Universums. Das Raumschiff fragt sich wahrscheinlich, warum es mit Delta-V ausgestattet wurde, das es nicht braucht und nie verwendet.

Eines Tages weckt Houston das Raumschiff und bittet es, seine Umlaufbahn zu ändern. Hier kommt Delta-V ins Spiel. Jede Änderung der Umlaufbahnhöhe oder -neigung kostet Delta-V. Jede Änderung: schneller, langsamer, höher, niedriger ist eine Änderung und hier kommt das „Delta“ ins Spiel.

Jedes Raumfahrzeug hat eine Grenze, wie stark es seine Geschwindigkeit ändern kann, bevor ihm der Treibstoff ausgeht. Wenn es nur "X" Delta-V hat und Sie es bitten, irgendwohin zu gehen, wo 2X Delta-V erforderlich ist, sagt es: "Es tut mir leid, Dave, das kann ich nicht.

Um Ihre Frage zu beantworten, hat das Delta-V einer Rakete keinen Einfluss auf die Zeit, um eine Umlaufbahn abzuschließen.

Außer ... eine kontinuierliche radiale Verbrennung (Rakete zeigt ständig auf die Mitte ihrer Umlaufbahn) würde die Zentripetalbeschleunigung erhöhen. Einstein sagt uns, dass dies nicht von einer Umlaufbahn um einen massereicheren Zentralkörper zu unterscheiden wäre, also würde es die Umlaufzeit verkürzen.

Diese Verbrennung wäre Treibstoffverschwendung und würde dazu führen, dass Sie aus dem Kerbal-Weltraumprogramm gefeuert werden.

Sie brauchen die Anfangsgeschwindigkeit,$|v_i|$und die Endgeschwindigkeit,$|v_f|$, und der Radius,$r$, bei der die Geschwindigkeitsänderung stattfand.

Die Umlaufdauer steht in direktem Zusammenhang mit der Umlaufenergie, daher müssen Sie die Änderung der kinetischen Energie finden, die sich aus dem Delta-V ergibt. Das Delta-V kann in Bezug auf die Momentangeschwindigkeit in jeder Richtung liegen. Es kann vorwärts oder rückwärts oder seitwärts usw. sein. Die Richtung, in der das Delta-V angewendet wird, macht einen großen Unterschied. Anfangs- und Endgeschwindigkeit werden durch vektorielle Addition der Geschwindigkeiten bestimmt:$v_f = v_i + \delta V$

Nach Kepler und Newton ist die Umlaufzeit gegeben durch$T = 2\pi \sqrt(a^3/GM)$, Wo$M$wäre die große zentrale Masse (z. B. Erde) und$a$ist die große Halbachse der elliptischen Umlaufbahn des Raumfahrzeugs. Die spezifische Bahnenergie ist gegeben durch$E = GM/2a$pro Masseneinheit des Raumfahrzeugs. Daraus folgt, dass die Periode auch durch gegeben ist$T = \pi GM / \sqrt(2E^3)$

Die momentane spezifische Bahnenergie ist konstant und kann auch an jedem Punkt der Bahn als Summe der (negativen) spezifischen potentiellen Energie (gegen unendlich) plus der spezifischen kinetischen Energie ausgedrückt werden,$E = -GM/r + v^2/2$, (beide Terme pro Masseneinheit).

Die Periodenänderung ist also:

$T_f - T_i$
$= \pi GM / \sqrt(2E_f^3) - \pi GM / \sqrt(2E_i^3)$
$= \pi GM[1/\sqrt(2E_f^3) - 1/\sqrt(2E_i^3)]$
$= \pi GM[1/\sqrt(2(-GM/r + v_f^2/2)^3) - 1/\sqrt(2(-GM/r + v_i^2/2)^3)]$

Nochmal,$r$ist der Radius, in dem die$\delta_V$angewendet wird und$|v_i|$Und$|v_f|$sind die Anfangs- und Endgeschwindigkeiten des Raumfahrzeugs.