Wie lautet die korrekte Definition der Jarlskog-Invariante?

Nein nein Nein! Absolut keine Summen in (1) .

(1) ist dasselbe wie (2), oder besser gesagt, die 9 äquivalenten Schreibweisen (1) beinhalten auch (2). Ich werde dies nur mit dem Text von M. Schwartz (29.91-2) für den kombinatorisch identischen Quarksektor verankern , von dem ich weiß, dass Sie diese Frage zuvor im Wesentlichen darauf gestützt haben .

Griechische Indizes bezeichnen Flavour- und lateinische Masseeigenzustände, also e~1, μ~2, τ~3. Ich werde auch Ihre (1) ein wenig optimieren, um sie mit dem Schwartz-Zyklus zu vereinbaren. Nochmals, summieren Sie nicht über sich wiederholende Indizes!

Definiere den 4-Tensor

$$(\alpha,\beta;i,j)\equiv \text{Im}(U_{\alpha i} U_{\beta j} U^*_{\alpha j} U_{\beta i}^{*})~,$$ so ist es durch Inspektion offensichtlich, dass $$(\beta,\alpha;i,j)=-(\alpha,\beta;i,j)=(\alpha,\beta;j,i).$$ Sie sehen dann, dass es bis zur Antisymmetrie nur 3×3 nicht verschwindende Komponenten gibt, von denen bemerkenswerterweise aufgrund der Einheitlichkeit von U gezeigt werden kann, dass sie alle identisch in der Größe sind , nämlich $$(\alpha,\beta;i,j)= J ~ \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}_{\alpha \beta} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}_{ij},$$ so dass, $$J=(e,\mu;2,3)=(e,\mu;1,2)=(e,\mu;3,1)=(\mu,\tau;2,3)=(\mu,\tau;1,2)=(\mu,\tau;3,1)\\ =(\tau,e;2,3)=(\tau,e;3,1)=(\tau,e;1,2).$$

• Einheitlichkeit,$\sum_i U_{\alpha i}U^*_{\beta i}=\delta ^{\alpha \beta}$, tritt ein und steuert, indem alle Zeilen und Spalten der oben geschriebenen Matrix auf Null summiert werden, sodass es anstelle von 3 unabhängigen Parametern nur einen gibt, und das gleiche gilt für die linke Matrix im Tensorprodukt: Sie müssen notwendigerweise beide vom Typ sein$\sum_k \epsilon^{ijk}$.