Ein elegantes Experiment aus dem Jahr 1772 von Henry Cavendish. Cavendish lud eine kugelförmige leitende Hülle auf, die darin eine kleinere Kugel enthielt und vorübergehend mit ihr verbunden war. Die äußere Hülle wurde dann in zwei Hälften getrennt und vorsichtig entfernt, wobei die innere Kugel zuerst getrennt wurde. Diese Kugel wurde auf Ladung getestet, deren Fehlen das Gesetz des umgekehrten Quadrats bestätigen würde. Unter der Annahme, dass eine Abweichung vom Abstandsquadratgesetz als Differenz im Exponenten ausgedrückt werden könnte, beispielsweise 2 + δ anstelle von 2, folgerte Cavendish, dass δ kleiner als 0,03 sein muss. Dieses Experiment von Cavendish blieb weitgehend unbekannt, bis Maxwell ein Jahrhundert später (1876) Cavendishs Notizen entdeckte und veröffentlichte. Auch damals wiederholte Maxwell das Experiment mit einer verbesserten Apparatur und drückte die Grenze auf δ < 10^(-6).
Aus diesem Experiment leitete er noch etwa 14 Jahre vor Coulomb das Gesetz des Abstandsquadrats in der Elektrostatik ab. Aber ich möchte wissen, wie genau er es hergeleitet hat? Das Experiment beweist das Gesetz nicht direkt. Wie hat er das genau gemacht?
Die Antwort von Alexandre Eremenko ist großartig, aber ich denke, die Seite könnte von einer Erklärung der Methode im Allgemeinen profitieren.
Cavendishs Experiment
Die Frage, mit der sich Cavendish konfrontiert sah, lautete: Da wir wissen, dass geladene Körper Anziehungs- und Abstoßungskräfte aufweisen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die elektrische Kraft wie das Newtonsche Gravitationsgesetz einem umgekehrten quadratischen Gesetz mit der Entfernung gehorcht? (Nicht probabilistische Wahrscheinlichkeit, ich meine nur neugierig). Newton hatte gezeigt, dass , wenn das Kraftgesetz ein inverses quadratisches Gesetz ist, eine hohle , gleichmäßig massive Kugel an keinem Punkt innerhalb der Kugel eine Nettogravitationskraft erzeugen wird.
Cavendish nahm die Umkehrung davon, um das Verhalten der elektrischen Kraft zu untersuchen. Das heißt, er nahm an, dass, wenn eine hohle, gleichmäßig geladene Kugel an keinem Punkt innerhalb der Kugel eine elektrische Nettokraft erzeugt, die elektrische Kraft einem umgekehrten quadratischen Gesetz gehorcht. Beachten Sie, dass dies, wie von Alexandre erwähnt, logisch ungültig ist, da eine Aussage nicht ihre Umkehrung impliziert. Cavendish war sich dessen vielleicht nicht bewusst, aber dennoch sollte sein Experiment beweisen, dass, wenn die elektrische Kraft einem Potenzgesetz mit Abstand gehorcht, die Kraft es sein muss .
Das Experiment geht davon aus, dass (wie damals bekannt) Leiter elektrische "Flüssigkeiten" frei bewegen lassen. Dann hat eine hohle leitende Kugel, wenn sie aufgeladen ist, eine gleichmäßige Ladungsverteilung. Wenn wir eine leitende Kugel auf der Innenseite dieser Schale haben, aber keinen Kontakt haben, dann erwarten wir, dass, wenn die elektrische Nettokraft an einem bestimmten Punkt nicht Null ist, die elektrische "Flüssigkeit" (Ladung) über das Innere verteilt wird Kugel ungleichmäßig. Wenn Sie dann einen kleinen Draht von der geladenen Hülle mit der inneren Kugel verbinden, würden wir aufgrund der Nettokraft auf Punkte in der Kugel einen Nettoladungsfluss erwarten.
Nettoladungsfluss bedeutet, dass, wenn wir die geladene Schalenverbindung entfernen und die geladene Schale entfernen, die innere Sphäre geladen wird, wenn eine Nettokraft vorhanden ist. Wenn die innere Sphäre also nicht geladen ist, gab es keine Nettokraft . Das Fehlen einer Nettokraft ist das, was Cavendish als Beweis für das Gesetz des umgekehrten Quadrats ansah. Nachdem er festgestellt hatte, dass die innere Sphäre nicht geladen war, akzeptierte er, dass die elektrische Kraft fast ein Gesetz des umgekehrten Quadrats war.
Durch Abschätzen der Empfindlichkeit seines Elektroskops konnte Cavendish die Unsicherheit in seiner Nullladungsmessung annähern.
Maxwells Beweis
Maxwell liefert in seiner Abhandlung über Elektrizität und Magnetismus (Bd. 1) einen ziemlich rigorosen (aber immer noch fehlerhaften) Beweis dafür, dass, wenn die Leistung eine inverse Leistung ist, sie es auch sein muss , die er teilweise Laplace zuschreibt. Ein Problem bei dem Beweis besteht darin, dass es nicht darauf ankommt, das Nullladungsergebnis einfach für einen Kugelradius zu testen, sondern für jeden Radius, um wirklich bestätigt zu werden. Ein weiteres Problem ist, dass die elektrische Kraft zwar eindeutig eine monoton abnehmende Funktion ist, aber nicht unbedingt ein umgekehrtes Potenzgesetz. Dies kommt auf das Problem zurück, dass „eine Aussage nicht ihre Umkehrung impliziert“. Die Beweise für eine umgekehrt quadratische elektrische Kraft häuften sich jedoch, und die Annahme schien zunehmend gültig zu sein.
Referenzen: Maxwell's Treatise on Electricity and Magnetism , art. 74, (S. 80).
Newton hat bewiesen, dass, wenn die Anziehung dem Gesetz des umgekehrten Quadrats gehorcht, die Kraft innerhalb einer gleichmäßig geladenen Kugel Null ist. Aus der Beschreibung, die Sie geben, folgt, dass Cavendish die umgekehrte Aussage verwendet hat. Tatsächlich ist diese umgekehrte Aussage wahr, obwohl ich bezweifle, dass Cavendish einen Beweis dafür in voller Allgemeinheit hatte.
Es ist sehr üblich, dass Physiker (und andere Nicht-Mathematiker) einen direkten Satz mit dem umgekehrten verwechseln, notwendige Bedingungen mit hinreichenden usw. (sogar Newton tat dies). Natürlich kann man a priori verschiedene Annahmen treffen, mit denen diese Aussage einfach wird: zum Beispiel, dass das Gesetz der Anziehung eine Kraft ist. Dann muss die Potenz -2 sein. Ich nehme an, das war es, was Cavendish im Sinn hatte.
Ref. zur Diskussion der Umkehrung des Newtonschen Theorems: MR2125274 S. Stein, Bemerkungen zur Gravitationsgleichung. Amer. Mathematik. Monatlich 112 (2005), Nr. 4, 322–333. (Er diskutiert einen anderen ähnlichen Satz von Newton, aber dieser kann auf die gleiche Weise behandelt werden).
Anmerkung. Coulomb tat mehr als das. Er war in der Lage, die Kraft zu messen, um festzustellen, dass sie proportional zur Ladung ist, nicht nur umgekehrt zum quadratischen Abstand.
Bemerkung 2. Das Physikbuch, aus dem ich als Kind Elektrizität gelernt habe, schreibt dieses Argument B. Franklin zu. Gibt aber keinen Hinweis.
Bemerkung 3. Hier ist eine Darlegung von Newtons Beweis seines Theorems. (Die Erklärung und ein Antrag sind hier .
Jon