Wie man "einfach" definiert, wenn man Konsonanz- und Intervallverhältnisse betrachtet

„Einfach“ bedeutet in diesem Zusammenhang nur, dass die Zahlen, die im Verhältnis enthalten sind (ausgedrückt als ganzzahliges Verhältnis oder Bruch, nicht als Dezimalzahl), klein sind.

Wenn Sie eine ungefähre Vorstellung davon haben möchten, „wie einfach“ ein Verhältnis ist, können Sie einfach die kleinere der Zahlen im Verhältnis nehmen.

1:1 und 2:1 sind also beide sehr „einfach“ – die kleinste Zahl ist „1“.

2:3 hat eine kleinste Zahl von 2; 5:3 hat eine kleinste Zahl von 3 und so weiter.

Wenn wir uns einen Graphen der Dissonanz über der Oktave ansehen...

... wir können sehen, dass das Unisono und die Oktave (unterste Nummer 1) sehr konsonant sind, die Quinte (unterste Nummer 2) ist ebenfalls konsonant, aber weniger, und so weiter.

In Wirklichkeit gibt es andere Faktoren, die Konsonanz und Dissonanz beeinflussen, also sind die Dinge nicht ganz so ordentlich wie hier - aber ich hoffe, das gibt die Grundidee.

Leicht überlappende Antwort von Topo Morto, aber ich möchte darauf hinweisen, dass die Anzahl der Dezimalstellen in den Verhältnissen mit ziemlicher Sicherheit irrelevant ist. Dass 4/3 wiederkehrende Dezimalstellen erfordert, 5/4 jedoch nicht, ist nur ein Artefakt, das durch unsere Verwendung der Basis 10 verursacht wird. Wenn wir eine andere Basis wählen, kann es anders sein. Trotz der dezimalen Darstellung würden die meisten Mathematiker 4/3 für einfacher halten als 5/4 (wie Topo beschreibt).

Die Idee, dass die Einfachheit des Verhältnisses die Konsonanz bestimmt, ist attraktiv, aber mathematisch problematisch. Wenn es genau so wäre, dann wäre jedes andere Intervall als eine Oktave auf einem wohltemperierten Instrument hochgradig dissonant, da das Verhältnis irrational wäre. Selbst auf einem Instrument, das zu reiner Stimmung fähig ist, würde der kleinste Tonhöhenfehler eine reine Quinte in eine schreckliche Dissonanz verwandeln.

Das Diagramm von Topo zeigt, dass einfache Verhältnisse Teil der Erklärung sind, aber es zeigt auch, dass sie nicht die ganze Geschichte sind. Ein ähnliches Diagramm, das allein auf den Verhältnissen basiert, wäre ein schreckliches, völlig diskontinuierliches Durcheinander.

Ich bin Mathematiker und finde gerne Verbindungen zwischen Mathematik und Musik, aber ich widerstehe der Versuchung, es zu übertreiben und die Mathematik zwangsweise auf die Musik zu übertragen.

Beim Vergleich der relativen Konsonanz von Intervallen mit unterschiedlichen Verhältnissen ist dasjenige Verhältnis mit dem niedrigeren kleineren Wert das konsonantere. Dies liegt daran, dass die höhere Note (dargestellt durch die höhere Zahl) früher mit der tieferen Note übereinstimmt, dh in weniger Zyklen der tieferen Note. Zum Beispiel ist die große 6. (5:3) konsonanter als die große 3. (5:4), da die untere Note der großen 6. nur 3 Zyklen benötigt, um mit der 5. Zyklen der oberen Note übereinzustimmen, während die Dur Der 3. benötigt 4 Zyklen, um mit dem 5. Zyklus der oberen Note übereinzustimmen. Wenn die kleineren Zahlen beider Verhältnisse gleich sind, dann ist die obere Zahl des Verhältnisses kleiner, das konsonantere Intervall. Beispielsweise ist die perfekte Quarte (4:3) konsonanter als die große Sexte (5:3). Ein perfekter 4. Platz (4: 3) hat weniger Meinungsverschiedenheiten (die ersten drei 3 der oberen Noten 4 Zyklen) als die große Sexte (wo die ersten 4 Zyklen der oberen Noten 5 Zyklen nicht übereinstimmen). Beachten Sie, dass die Reihenfolge der Konsonanz zwischen den Intervallen genau der Reihenfolge der Intervalle in der harmonischen Reihe folgt. Die Harmonischen der großen Sexte (5:3) erscheinen früher als die der großen Terz (5:4), weil die 3. Harmonische (unterste Note der großen Sexte) früher kommt als die 4. Harmonische (unterste Note der großen Terz).

Die komplexeren Verhältnisse, die von gleichschwebenden Temperamenten verwendet werden, stellen nicht das Problem dar, von dem viele behaupten, dass dies der Fall ist. Eine Studie von Kadia und Lang über Primatenohren ergab, dass die Ohren von Primaten am robustesten auf Intervalle mit einfachem Verhältnis (wie oben beschrieben) reagieren. Bezeichnenderweise stellte diese Studie auch fest, dass das Ohr allmählich robuster reagiert, wenn sich ein temperiertes Intervall der Größe eines perfekt abgestimmten einfachen Verhältnisses nähert. Diese Beobachtung belegt, dass Intervalle in der Nähe der Größe eines einfachen Verhältnisses das Ohr robuster stimulieren als Intervalle, die in ihrer Größe weniger nahe an Konsonanzen liegen. So werden mild temperierte Intervalle von Primaten als Konsonanzen wahrgenommen.

Beim Vergleich der relativen Konsonanz von Intervallen mit unterschiedlichen Verhältnissen ist dasjenige Verhältnis mit dem niedrigeren kleineren Wert das konsonantere. Dies liegt daran, dass die höhere Note (dargestellt durch die höhere Zahl) früher mit der tieferen Note übereinstimmt, dh in weniger Zyklen der tieferen Note. Zum Beispiel ist die große 6. (5:3) konsonanter als die große 3. (5:4), da die untere Note der großen 6. nur 3 Zyklen benötigt, um mit der 5. Zyklen der oberen Note übereinzustimmen, während die Dur Der 3. benötigt 4 Zyklen, um mit dem 5. Zyklus der oberen Note übereinzustimmen. Wenn die kleineren Zahlen beider Verhältnisse gleich sind, dann ist die obere Zahl des Verhältnisses kleiner, das konsonantere Intervall. Beispielsweise ist die perfekte Quarte (4:3) konsonanter als die große Sexte (5:3). Ein perfekter 4. Platz (4: 3) hat weniger Meinungsverschiedenheiten (die ersten drei 3 der oberen Noten 4 Zyklen) als die große Sexte (wo die ersten 4 Zyklen der oberen Noten 5 Zyklen nicht übereinstimmen). Beachten Sie, dass die Reihenfolge der Konsonanz zwischen den Intervallen genau der Reihenfolge der Intervalle in der harmonischen Reihe folgt. Die Harmonischen der großen Sexte (5:3) erscheinen früher als die der großen Terz (5:4), weil die 3. Harmonische (unterste Note der großen Sexte) früher kommt als die 4. Harmonische (unterste Note der großen Terz).

Die komplexeren Verhältnisse, die von gleichschwebenden Temperamenten verwendet werden, stellen nicht das Problem dar, von dem viele behaupten, dass dies der Fall ist. Eine Studie von Kadia und Lang über Primatenohren ergab, dass die Ohren von Primaten am robustesten auf Intervalle mit einfachem Verhältnis (wie oben beschrieben) reagieren. Bezeichnenderweise stellte diese Studie auch fest, dass das Ohr allmählich robuster reagiert, wenn sich ein temperiertes Intervall der Größe eines perfekt abgestimmten einfachen Verhältnisses nähert. Diese Beobachtung belegt, dass Intervalle in der Nähe der Größe eines einfachen Verhältnisses das Ohr robuster stimulieren als Intervalle, die in ihrer Größe weniger nahe an Konsonanzen liegen. So werden mild temperierte Konsonantenintervalle von Primaten immer noch als Konsonanzen wahrgenommen.