Harmonie und vereinfachte Frequenzverhältnisse

Ich bin über diese Frage gestolpert, als ich ein Mathematikbuch der 7. Klasse gelesen habe. Es fesselte mich, nachdem ich in einige der erstaunlichen Themen der Musik eingeführt worden war.

Ich weiß, dass Harmonie (oder genauer Konsonanz) auftritt, wenn zwei Tonhöhen mit Frequenzen in kleinen ganzzahligen Verhältnissen schwingen, zB 2:1, 3:2, 4:3, 5:4.

Dieses Problem, das Sie im Screenshot sehen, beansprucht jedoch einen viel einfacheren Fall. Es besagt, dass, wenn das Verhältnis der Frequenzen zweier Noten vereinfacht werden kann, die beiden Noten harmonisch sind. Ich denke über andere mögliche Nummern nach. Stellen Sie sich neben E und G im Beispiel 445- und 315-Hz-Noten vor. Sie ergeben ein Verhältnis, das auf 89:63 vereinfacht werden kann. Würden Sie das Harmonie nennen? 414 und 500 ergeben ein Verhältnis von 207:250. Würden Sie die Noten als harmonisch bezeichnen?

Ich würde diese Behauptung nach meinem bescheidenen Wissen widerlegen. Allerdings bin ich mir nicht sicher. es könnte einfach wahr sein. Daher würde ich gerne eure Meinung dazu erfragen.

Danke vielmals!

Ein Screenshot aus einem Mathebuch der 7. Klasse

Für mich ist das wie ein Mathe-Lehrbuch, das etwas darüber aussagt, dass es eine gewisse Anzahl von Kühen auf einer gewissen Menge Land gibt und ein echter Viehzüchter es liest und denkt: "Es gibt keine Möglichkeit, dass 50 Kühe auf einem einzigen Morgen überleben können!" oder "Bei dieser Dichte ist dieser Bauer in maximal zwei Jahren aus dem Geschäft!" Mathe-Lehrbücher scheitern oft, wenn sie versuchen, reale Beispiele für Probleme zu schaffen.

Antworten (2)

Das ist verblüffenderweise in der Kategorie "nicht einmal falsch". Konsonanz in Bezug auf reine Intervalle wird oft als Frequenzverhältnis kleiner Zahlen definiert (ich denke, die Grenze liegt normalerweise bei etwa 6, aber nehmen Sie mich nicht beim Wort).

Reine Intervalle treten jedoch nur in reiner Intonation auf, und reine Intonation tritt nur relativ zu bestimmten Tonleitern (wie C-Dur) auf.

Bei der gleichschwebenden Stimmung, der heutzutage mit Abstand am häufigsten verwendeten Stimmung, ist das Verhältnis der Frequenzen einer großen Terz 2^(1/4), eine irrationale Zahl (etwa 1,19). Eine reine kleine Terz ist in der Tat 6/5, nämlich 1,2.

Bei der pythagoräischen Stimmung, einer "nur" Stimmung mit rationalen Verhältnissen, stellt sich G/E stattdessen als 27:16 heraus.

Im Grunde ist dies also eine der eher üblichen mathematischen Textfragen, die eine tatsächliche Wahrheit oder Erkenntnis bis zur Unverständlichkeit verpfuschen und sie in eine mathematische Aufgabe verwandeln, die bestenfalls einen eher schwachen Bezug zu den realen Zusammenhängen hat, die sie inspiriert haben.

Verstehe den Teil '(wie C-Dur)' nicht. Sobald ein Instrument nur auf die Intonation gestimmt ist, scheint es, dass es nur in einer Tonart am besten klingt. Diese Tonart kann C sein oder auch nicht. Es sind die relativen Tonhöhen gegeneinander, nicht die Tonart selbst, irre ich mich?
Das OP hat das Wort klein in "kleinen Zahlen" vergessen. In diesem Zusammenhang bedeutet "klein" typischerweise "weniger als etwa 6", zumindest für Menschen, die seit ihrer Geburt westliche Musik hören. In einigen anderen Kulturen sind alle ungeschriebenen Annahmen in der Frage einfach falsch. Außerdem ist das Hören mathematisch nicht exakt – wenn ein Verhältnis von 396:330 „harmonisch klingt“, dann wird ein Verhältnis von 396,12345:329,8754 für die meisten Zuhörer nicht viel anders klingen. Außerdem könnte das OP in seinen Beispielen davon ausgegangen sein, dass alle Frequenzen ganze Zahlen sind, was natürlich nicht korrekt ist.

Wenn das Verhältnis der Frequenzen zweier Töne vereinfacht werden kann, sind die beiden Töne harmonisch

Wörtlich genommen ist dies falsch, denn (wie Sie sagen) Sie könnten ein Verhältnis nehmen, das sich auf ein dissonantes Intervall bezieht - sagen wir 64:45 (was ein mögliches Verhältnis für einen Tritonus ist ), jede Zahl verdoppeln (auf 128:90) - und dann würde die obige Aussage implizieren, dass ein Tritonus harmonisch ist, weil 128:90 vereinfacht werden kann.

Allerdings wäre vielleicht eine wohltätige Interpretation der Aussage

Lässt sich das Verhältnis der Frequenzen zweier Töne auf ein Verhältnis kleiner Zahlen vereinfachen , dann sind die Töne harmonisch.

Dies wäre wahr, aber nur, weil es im Grunde nur eine Wiederholung der Idee ist, dass:

Frequenzverhältnisse mit kleinen Zahlen entsprechen harmonischen Intervallen.

Die ursprüngliche Aussage ist also nicht falsch, wenn man sie „wohltätig“ interpretiert, aber sie sagt immer noch etwas Triviales aus .

Natürlich sind nicht nur buchstäblich kleine Zahlenverhältnisse konsonant, sondern auch Verhältnisse, die ihnen als Bruch nahe stehen (die selbst sehr große Zahlenverhältnisse sein können!). Wir verlassen uns auf diese Tatsache, damit das gleichschwebende Temperament „funktioniert“.

Harmonie und vereinfachte Frequenzverhältnisse
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