Wie man in ZFC transfinite Hierarchien von richtigen Klassen definiert (mit einem für die Beweistheorie nützlichen Beispiel)

Question

Wie man in ZFC transfinite Hierarchien von richtigen Klassen definiert (mit einem für die Beweistheorie nützlichen Beispiel)

Logik
Mengenlehre
Mathematik
Beweistheorie
transfinite-Rekursion

Matteo __

Ich habe etwas Beweistheorie in Pohlers' Beweistheorie studiert: erster Schritt in die Imprädikativität , und ich stand vor dem Problem einer Mengentheorie.

Wir müssen diese transfinite Hierarchie echter Klassen definieren :

C (0) = H

$\mathcal{C} (0) = H$

C (a + 1) = C (a)^{'}

$\mathcal{C} ( \alpha + 1) = \mathcal{C} (\alpha) '$

C (λ) = ⋂ {C (δ) | δ < λ}, ich F λ ich S A l ich M ich T

$\mathcal{C} (\lambda) = \bigcap \{ \mathcal{C} (\delta) | \delta < \lambda \} ,\ if\ \lambda\ is\ a\ limit$

Hier ist H die (eigentliche) Klasse der Hauptordnungszahlen (oder additiv unzerlegbar) und, wenn M eine Klasse ist, M' ihre abgeleitete Klasse (die genaue Definition dieser Konzepte ist für unsere Zwecke nicht wichtig). Diejenigen, die mit der Beweistheorie vertraut sind, werden sehen, dass dies nur ein Schritt zur Definition der Hierarchie der Veblen-Funktionen ist, die wiederum verwendet wird, um ein Notationssystem für Ordnungszahlen unten aufzubauen $\Gamma_0$ .

Nun, das Problem ist folgendes: Ist es möglich, eine solche Definition in ZFC zu veranschaulichen? Wenn ja, wie kann ich das tun? Die übliche Form des allgemeinen transfiniten Rekursionstheorems (das noch ein Theorem-Schema ist) kann die Definition von Hierarchien wie der Hierarchie der Aleph-Zahlen oder der Hierarchie konstruierbarer Mengen usw. veranschaulichen, wobei bei jedem Schritt der Rekursion was ist produzieren ist eine Menge , keine richtige Klasse. Nur zur Verdeutlichung, die "übliche Form des allgemeinen transfiniten Rekursionssatzes", von der ich spreche, ist dies (siehe zum Beispiel Mengentheorie: eine Einführung in die Unabhängigkeitsbeweise , Kunen, 1980, Seite 25):

Lassen $\psi$ (x,y) eine Formel sein, die ZFC beweist $\forall x \exists! y\ \psi(x,y)$ ; nennen wir G(x) das eindeutige y so dass $\psi(x,y)$ (dh G ist eine Klassenfunktion). Dann können wir eine andere Formel schreiben $\phi(u,w)$ so dass:

1- ZFC beweist $\forall \alpha \exists!w \phi(\alpha,w)$ ; nennen wir F( $\alpha$ ) das eindeutige w so dass $\phi(\alpha,w)$ . Hier offensichtlich $\alpha$ reicht über die Klasse der Ordnungszahlen.

2- ZFC beweist $\forall \alpha\ [ F(\alpha)=G(F\lceil \alpha)]$

Das Problem ist nun, dass die "Existenzbedingung" nicht erfüllt ist, wenn ich als Ausgaben der Funktion richtige Klassen haben möchte; daher ist das Muster dieser Definition für die Definition der oben erwähnten Hierarchie nicht verfügbar. Irgendwelche Vorschläge, wie man mit dieser Art von Situation in ZFC umgeht?

Danke schön.

Bauern

Du sagtest "

M^{'}

$M'$ ist seine abgeleitete Klasse (die genaue Definition dieser Konzepte ist für unsere Schweinswale nicht wichtig)". Aber eigentlich ist die genaue Definition von

M^{'}

$M'$ bezüglich

M

$M$ ist hier wichtig, da es beeinflusst, ob wir so etwas tatsächlich transfinit definieren können oder nicht. Sie sollten also genau sagen, was

M^{'}

$M'$ Ist. (zB wenn der Ableitungsoperator

C \mapsto C^{'}

$C\mapsto C'$ gibt die Klasse aller Ordinalzahlen an

α

$\alpha$ so dass

(V_{α}, C \cap V_{α}) ⪯_{1} (V, C)

$(V_\alpha,C\cap V_\alpha)\preceq_1(V,C)$ , dann werden Sie im Allgemeinen nicht in der Lage sein, zu definieren

C (ω)

$C(\omega)$ , denn wenn es in den Ordnungszahlen unbegrenzt ist, würde es ein Wahrheitsprädikat geben.)

Bauern

Auch deshalb ist Ihre Sorge, ob eine solche Definition in ZFC vorgenommen werden kann, durchaus berechtigt.

Matteo __

Lieber @FarmerS, danke für deine Antwort. Hier meinen wir bei gegebener Klasse M von Ordnungszahlen mit ihrer Ableitung M' die Klasse { a in M | En_M (a) = a }, wobei En_M die "Aufzählungsfunktion von M" ist, die die einzigartige Funktion aus der Klasse der Ordinalzahlen für M ist, die die Elemente von M "zählt", wobei die Reihenfolge beibehalten wird. In unserem Fall ist C(a) für jedes a eine echte Klasse (also ist auch En_C(a), das zur Definition von C(a+1) verwendet wird, eine Klassenfunktion).

Antworten (1)

Wie man in ZFC transfinite Hierarchien von richtigen Klassen definiert (mit einem für die Beweistheorie nützlichen Beispiel)

Du sagtest " $M'$ ist seine abgeleitete Klasse (die genaue Definition dieser Konzepte ist für unsere Schweinswale nicht wichtig)". Aber eigentlich ist die genaue Definition von $M'$ bezüglich $M$ ist hier wichtig, da es beeinflusst, ob wir so etwas tatsächlich transfinit definieren können oder nicht. Sie sollten also genau sagen, was $M'$ Ist. (zB wenn der Ableitungsoperator $C\mapsto C'$ gibt die Klasse aller Ordinalzahlen an $\alpha$ so dass $(V_\alpha,C\cap V_\alpha)\preceq_1(V,C)$ , dann werden Sie im Allgemeinen nicht in der Lage sein, zu definieren $C(\omega)$ , denn wenn es in den Ordnungszahlen unbegrenzt ist, würde es ein Wahrheitsprädikat geben.)
Auch deshalb ist Ihre Sorge, ob eine solche Definition in ZFC vorgenommen werden kann, durchaus berechtigt.
Lieber @FarmerS, danke für deine Antwort. Hier meinen wir bei gegebener Klasse M von Ordnungszahlen mit ihrer Ableitung M' die Klasse { a in M | En_M (a) = a }, wobei En_M die "Aufzählungsfunktion von M" ist, die die einzigartige Funktion aus der Klasse der Ordinalzahlen für M ist, die die Elemente von M "zählt", wobei die Reihenfolge beibehalten wird. In unserem Fall ist C(a) für jedes a eine echte Klasse (also ist auch En_C(a), das zur Definition von C(a+1) verwendet wird, eine Klassenfunktion).

Bauern · Answer 1

Wir können die Art der Rekursion, die Sie angegeben haben, direkt für festgelegte Anfangssegmente von definieren $H$ , dh beginnend mit $H\cap\alpha$ für irgendetwas gegeben $\alpha$ , statt des Ganzen $H$ . Dies geschieht mit der üblichen transfiniten Rekursion, die Sie erwähnen. Wir verwenden dies stattdessen, um die Rekursion zu definieren und zu zeigen, dass sie funktioniert.

Für jede Ordnungszahl $\alpha$ Und $C_\alpha=H\cap\alpha$ , Mengen definieren $C_\alpha(\beta)$ folgendermaßen:

$C_\alpha(0)=C_\alpha$ ,
$C_\alpha(\beta+1)=C_\alpha(\beta)'$ ,
$C_\alpha(\beta)=\bigcap_{\gamma<\beta}C_\alpha(\gamma)$ für Grenzen $\beta$ .

Beachten Sie das $C_{\alpha}(\beta)\subseteq\alpha$ für alle $\beta$ , und wenn $\alpha_0<\alpha_1$ Dann $C_{\alpha_0}(\beta)=C_{\alpha_1}(\beta)\cap\alpha_0$ für alle $\beta$ .

Für alle Ordnungszahlen $\beta$ , definieren $C(\beta)=\{\xi\bigm|\exists\alpha\ [\xi\in C_\alpha(\beta)]\}$ .

So $\xi\in C(\beta)$ iff $\xi\in C_\alpha(\beta)$ für einige $\alpha>\xi$ iff $\xi\in C_\alpha(\beta)$ für alle $\alpha>\xi$ .

Dadurch ergibt sich eine einheitliche Definition von Klassen $C(\beta)$ , durchgeführt in ZF. Beachten Sie nun, dass sie die von Ihnen angegebene Rekursion erfüllen, dh $C(0)=H$ , $C(\beta+1)=C(\beta)'$ , und Schnittpunkte an Grenzen.

Vielen Dank! Mir scheint, dass das tatsächlich funktioniert. Also, neben der Lösung des speziellen Beispiels, hier noch eine nützliche Sache, die wir beobachten könnten: In einem solchen Fall, wo wir eine Hierarchie von echten Klassen durch transfinite Rekursion definieren wollen, können wir im Prinzip nicht sagen, ob wir das begründen können oder nicht Definition in ZFC (dh es gibt kein allgemeines Muster wie für Mengen); Vielmehr müssen wir auf den jeweiligen Fall achten und herausfinden, ob wir ihn so "umschreiben" können, dass wir ihn in ZFC rechtfertigen können (also kann ich jetzt besser verstehen, warum ich mich geirrt habe, die Bedeutung von M' nicht anzugeben). .
In der Tat @Matteo__, das ist eine gute Nachricht, die man aus all dem mitnehmen kann! Denken Sie als extremes Beispiel daran, wie viel einfacher diese Frage gewesen wäre, wenn wir sie ersetzt hätten $'$ in der zweiten Klausel mit einer trivialen Operation, sagen wir $\mathcal{C}(\alpha + 1) = \mathcal{C}(\alpha)$ .
Sehr geehrter @Farmer S , könnten Sie einige Details hinzufügen, wie man beweist, dass "wenn α_0<α_1, dann C_α_0(β)=C_α_1(β)∩α_0 für alle β " ? Außerdem würde ich gerne besser verstehen, wie ich das beweisen kann. "Beobachten Sie nun, dass sie die von Ihnen angegebene Rekursion erfüllen, dh C (0) = H, C (β + 1) = C (β) 'und Schnittpunkte an Grenzen ." Intuitiv kann ich den Punkt sehen; aber um formeller zu sein, bin ich mir nicht sicher, wie ich es beweisen soll. Danke schön.
Nur ein Hinweis: Beweisen Sie diese beiden Aussagen durch (transfinite) Induktion $\beta$ . (Machen Sie die Aussage über $C_{\alpha_0}(\beta)$ Und $C_{\alpha_1}(\beta)$ Erste. Es ist keine Induktion an $\alpha_0,\alpha_1$ erforderlich; Lass einfach $\alpha_0<\alpha_1$ zwei beliebige Ordnungszahlen sein und Induktion verwenden $\beta$ .)

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Matteo __

Bauern

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ZAK

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Bauern

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