Wie nah ist eine ungerade Zweierpotenz an einem perfekten Quadrat?

Uneffektiv kann man das zeigen, gegeben$\epsilon > 0$, gibt es eine positive Konstante$c(\epsilon)$so dass

$$f(n) \geq c(\epsilon) \, 2^{(1/2-\epsilon)n}.$$ Dies folgt aus der$p$-adische Version des Satzes von Roth, bewiesen von Ridout, und stellt den wahren Sachverhalt dar. Ich vermute, dass es sehr schwierig wäre, dies effektiv zu machen, und alles, was einer geschlossenen Form ähnelt, ist zu viel zu hoffen.

In Bezug auf explizite untere Schranken kann man das beweisen

$$f(n) > 2^{0.26n},$$ es sei denn$n \in \{ 3, 15 \}$. Dies kann in einer alten Arbeit von Bauer et al. gefunden werden; Der Beweis verwendet die Pade-Annäherung an die Binomialfunktion. Es ist unwahrscheinlich, dass man mit elementaren Methoden eine große Grenze erreichen kann.

In Anbetracht möglicher Entfernung$k$zwischen einer ungeraden Potenz von$2$und dem nächsten ganzzahligen Quadrat (siehe A236564 ), kann es hilfreich sein, die Frage allgemeiner zu betrachten und zunächst einige Unmöglichkeiten zu bemerken.

Für eine ungerade$nth$Kraft von$2$,$2^n\equiv 2\pmod 3$. Aber für jede ganze Zahl$m$,$m^2\equiv 1$oder$0 \pmod 3$. Somit$3$kann sich nicht teilen

$$|2^n-m^2|$$

Ebenso, da ungerade Potenzen von$2\equiv 2$,$3\pmod 5$, Aber$m^2\equiv 1$,$4$,$0\pmod 5$, Dann$5$wird sich nicht teilen

$$|2^n-m^2|$$

Aber seit$2^n\equiv 2,1,4\pmod 7$, während$m^2\equiv 1,4,2,0\pmod7$, Dann$7$wird sich teilen$|2^n-m^2|$wann immer

$$2^n\equiv m^2\pmod7$$ Z.B $$2^7\equiv 11^2\equiv 2\pmod7$$ Nach$1$Und$4$, Dann,$7$ist die nächste Potenz, die ein ganzzahliges Quadrat zu einer ungeraden Potenz haben kann$2$.

Die gleiche Methode zeigt, dass beides nicht der Fall ist$11$noch$13$teilt

$$|2^n-m^2|$$ seit $$2^n\equiv 2,8,10,7,6\pmod{11}$$ Aber $$m^2\equiv 1,4,5,9,3,0 \pmod{11}$$ Und wieder, $$2^n\equiv 2,8,6,11,5,7\pmod{13}$$ Aber $$m^2\equiv 1,4,9,3,12,10,0\pmod{13}$$ Aber seit $$2^n\equiv 2,8,15,9\pmod{17}$$ Und $$m^2\equiv 1,4,9,16,8,2,15,13,0\pmod{17}$$ Dann$17$wird sich teilen$|2^n-m^2|$wann immer $$2^n\equiv m^2\pmod{17}$$ z.B $$2^9\equiv 23^2\equiv 2\pmod{17}$$ Ähnlich,$19$ausgeschlossen werden kann und$23$ist die nächstkleinere ungerade Primzahl dazwischen$2^n$Und$m^2$: $$2^{11}\equiv 45^2\equiv 1\pmod{23}$$

Im folgenden Array$2^n$liegt zwischen aufeinanderfolgenden ganzzahligen Quadraten$m^2$,$(m+1)^2$, mit$k_m=2^n-m^2$,$k_{m+1}=(m+1)^2-2^n$. Das kleinere$k$für jede$2^n$ist fett gedruckt .

$$\begin{array}{rclcr} m^2 & k_m & 2^n & k_{(m+1)} & (m+1)^2\\ \hline 1^2 & \mathbf1 & 2^1 & 2 & 2^2\\ 2^2 & 2^2 & 2^3 & \mathbf1 & 3^2\\ 5^2 & 7 & 2^5 & \mathbf{2^2} & 6^2\\ 11^2 & \mathbf7 & 2^7 & 2^4 & 12^2\\ 22^2 & 2^2\cdot7 & 2^9 & \mathbf{17} & 23^2\\ 45^2 & \mathbf{23} & 2^{11} & 2^2\cdot17 & 46^2\\ 90^2 & 2^2\cdot23 & 2^{13} & \mathbf{89} & 91^2\\ 181^2 & \mathbf{7} & 2^{15} & 2^2\cdot89 & 182^2\\ 362^2 & \mathbf{2^2\cdot7} & 2^{17} & 17\cdot41 & 363^2\\ 724^2 & \mathbf{2^4\cdot7} & 2^{19} & 17\cdot191 & 725^2\\ 1448^2 & \mathbf{2^6\cdot7} & 2^{21} & 31\cdot79 & 1449^2\\ 2896^2 & \mathbf{2^8\cdot7} & 2^{23} & 4001 & 2897^2\\ 5792^2 & 2^{10}\cdot7 & 2^{25} & \mathbf{7\cdot631} & 5793^2\\ 11585^2 & \mathbf{5503} & 2^{27} & 2^2\cdot7\cdot631 & 11586^2\\ 23170^2 & \mathbf{2^2\cdot5503} & 2^{29} & 24329 & 23171^2\\ 46340^2 & 2^4\cdot5503 & 2^{31} & \mathbf{41\cdot113} & 46341^2\\ 92681^2 & 7\cdot23833 & 2^{33} & \mathbf{2^2\cdot41\cdot113} & 92682^2\\ 185363^2 & 17\cdot73\cdot239 & 2^{35} & \mathbf{2^4\cdot41\cdot113} & 185364^2\\ 370727^2 & 31^2\cdot463 & 2^{37} & \mathbf{2^6\cdot41\cdot113} & 370728^2\\ 741455^2 & \mathbf{7\cdot42409} & 2^{39} & 2^8\cdot41\cdot113 & 741456^2\\ 1482910^2 & \mathbf{2^2\cdot7\cdot42409} & 2^{41} & 79\cdot22511 & 1482911^2\\ 2965820^2 & 2^4\cdot7\cdot42409 & 2^{43} & \mathbf{761\cdot1553} & 2965821^2\\ 5931641^2 & 191\cdot37361 & 2^{45} & \mathbf{2^2\cdot761\cdot1553} & 5931642^2\\ 11863283^2 & \mathbf{7^2\cdot17\cdot5783} & 2^{47} & 2^4\cdot761\cdot1553 & 11863284^2\\ 23726566^2 & \mathbf{2^2\cdot7^2\cdot17\cdot5783} & 2^{49} & 7\cdot23\cdot31\cdot5647 & 23726567^2\\47453132^2 & 2^4\cdot7^2\cdot17\cdot5783 & 2^{51} & \mathbf{17830441} & 47453133^2\\94906265^2 & {118490767} & 2^{53} & \mathbf{2^2\cdot17830441} & 94906266^2\\189812531^2 & \mathbf{41\cdot2300927} & 2^{55} & 2^4\cdot17830441 & 189812532^2\\379625062^2 & \mathbf{2^2\cdot41\cdot2300927} & 2^{57} & 7\cdot359\cdot151969 & 379625063^2\\759250124^2 & 2^4\cdot41\cdot2300927 & 2^{59} & \mathbf{9092137} & 759250125^2\\1518500249^2 & 47\cdot137\cdot466009 & 2^{61} & \mathbf{2^2\cdot9092137} & 1518500250^2\\ \end{array}$$

Für$n\le61$,$k$besteht nur aus geraden Potenzen von$2$(seit$1=2^0$) und Primzahlen$p\equiv \{1, 2 ,7\}\pmod{8}$:

$$2, \,7, \,17, \,23, \,31, \,41, \,47, \,73, \,79, \,89, \,113, \,137, \,191, \,239, \,359, \,463, \,631, \,761, \,1553,\\ 4001, \,5503, \,5647, \,5783, \,22511, \,23833, \,24329, \,37361, \,42409,\\ \,151\,969, 2\,300\,927, \,9\,092\,137, \,17\,830\,441, \,118\,490\,767$$

(Vergleiche A038873 )

Von den elf solchen ungeraden Primzahlen$<101$, neun erscheinen als Faktoren von$k$im Beispiel oben. Und von den restlichen zwei:

$$k_m=6\,925\,661\,896\,845\,871=97\cdot3407\cdot20\,956\,435\,649$$ für$n=113$, Und $$k_{m+1}=704\,428\,023\,733\,764\,953=7\cdot17\cdot23\cdot31\cdot41\cdot71\cdot21377\cdot133\,417$$ für$n=117$.

Es scheint also, dass außerdem$2$und seine geraden Potenzen, alle und nur alle ungeraden Primzahlen$p\equiv {1, 7}\pmod 8$Faktoren sein können

$$k=|2^n-m^2|$$ für$m^2$allgemein und damit auch für$m^2$am nächsten$2^n$.

Andere Beobachtungen/Vermutungen

Es ist natürlich zu fragen, ob, wie$7$, einige zweistellige Primzahlen, zB$17, 23, 89$, oder vielleicht eine zweistellige zusammengesetzte Zahl, z$2^2\cdot7=28$, kann als niedrigerer Wert von ein zweites Mal auftreten$k$für einige$n$. Ganz klar jeder$2^n$ist das Vierfache des vorhergehenden. Und wann immer$m$oder$m+1$ist dann das Doppelte seines Vorgängers$m^2$oder$(m+1)^2$wird auch sein Vorgänger vervierfachen, und folglich wird auch der Wert von$k$. Z.B$k_m$vervierfacht fünfmal für$n=15\rightarrow25$. Nochmal,$k_{(m+1)}$, vervierfacht sich viermal für$n=31\rightarrow39$.

Wenn jeder$m$Und$m+1$waren doppelt so groß wie die vorhergehende,$k$würde sich mit jeder Erhöhung für immer vervierfachen$n$: kein Wert von$k$könnte sogar einmal wieder auftreten, wie$1$Und$7$Tun. Aber natürlich seitdem$m$,$m+1$sind für alle gegebenen Werte von entgegengesetzter Parität$n$, sie können niemals beide das Doppelte ihres Vorgängers sein: vielmehr ungefähr so ​​oft, wie es sich verdoppelt,$m$erhöht sich um doppelt-plus-eins, und$m+1$durch Doppel-Minus-Eins (siehe Tabelle oben). Und dann, anstatt zu vervierfachen,$k$kann sogar noch weniger als die vorherige werden$k$, wie es auch passiert$k_m$oder$k_{m+1}$für

$$n=3,\,11,\,15,\,21,\,27,\,31,\,31,\,39,\,43,\,47,\,51,\,55,\,59$$ in der Tabelle oben.

Andererseits betrachtet man nur kleineres k : für ungerade$n\le999$(Vgl. A236564, Links),$\mathbf{k}$für$2^n$nie überschreitet$\mathbf{k}$für$2^{n+2}$um mehr als zwei Ziffern. Und selbst dies kommt nur sechsmal vor, z

$$n=59,\,527, \,669,\,695,\,905,\,973$$ Nach dieser konservativen Regel würden wir also keine neuen oder wiederkehrenden zweistelligen Zahlen erwarten$\mathbf{k}$nach den letzten vier Ziffern$\mathbf{k}=5503$für$n=27$, Komposit machen$\mathbf{k}=2^2\cdot7=28$für$n=17$die letzten zwei Ziffern$\mathbf{k}$. Ebenso scheint es dreistellig zu sein$\mathbf{k}$muss nach der letzten fünf Ziffer enden$\mathbf{k}=2^4\cdot41\cdot113=74128$für$n=35$, machen$2^6\cdot7=448$für$n=21$die letzten drei Ziffern$\mathbf{k}$. Es scheint keine dreistellige Primzahl zu geben$\mathbf{k}$. Nach der letzten sechsstelligen$\mathbf{k}=7\cdot42409=296863$, für$n=39$, sollte es nicht mehr vierstellig sein$\mathbf{k}$:$5503$ist die letzte und die einzige vierstellige Primzahl$\mathbf{k}$.