Wie schreibt man die Gleichung einer Feldlinie eines elektrostatischen Feldes?

Die elektrischen Feldlinien sind so definiert, dass sie in jedem Punkt das elektrische Feld in diesem Punkt berühren.

Daher Anruf$\boldsymbol r(s)$die "Trajektorie" einer Feldlinie, mit$s$ein Parameter, der uns sagt, an welchem ​​Punkt der Geraden wir uns befinden,$\boldsymbol r(s)$folgt einfach der Gleichung

$$\frac{d \boldsymbol r(s)}{d s} = \boldsymbol E(\boldsymbol r(s)). \tag 1$$

In Ihrem Beispielfall ist das elektrische Feld gegeben durch

$$\boldsymbol E(\boldsymbol r) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \left( \frac{x}{\left[ x^2 + y^2 \right]^{3/2}} + \frac{R-x}{\left[ (x-R)^2 + y^2 \right]^{3/2}} \right) \hat{\boldsymbol x} \\ + \left( \frac{y}{\left[ x^2 + y^2 \right]^{3/2}} - \frac{y}{\left[ (x-R)^2 + y^2 \right]^{3/2}} \right) \hat{\boldsymbol y} \right],$$ was die Lösung des Differentialgleichungssystems (1) selbst in diesem einfachen Fall nicht trivial macht. Ich bin mir nicht sicher, ob dies analytisch gelöst werden kann (ich hatte Mathematica ausprobiert, aber ohne Erfolg).

Wenn Sie daran interessiert sind, numerisch zu überprüfen, ob diese Gleichung wahr ist, und sehen möchten, wie die tatsächliche Kurve aussieht, und wissen, wie man Wolfram Mathematica verwendet, können Sie den folgenden Code ausprobieren:

Manipulate[
 With[{
   sol = NDSolve[
     {
      x'[s] ==
       A (x[s]/(x[s]^2 + y[s]^2)^(3/2) + (
            R - x[s])/((x[s] - R)^2 + y[s]^2)^(3/2)),
      y'[s] ==
       A (y[s]/(x[s]^2 + y[s]^2)^(3/2) -
          y[s]/((x[s] - R)^2 + y[s]^2)^(3/2)),
      x[0] == 0.01,
      y[0] == 0.01 Tan[\[Theta]],
      WhenEvent[
       Abs[x'[s]] > 10^6, "StopIntegration"
       ]
      },
     {x, y}, {s, 0, 20}
     ]
   },
  ParametricPlot[
   {x[s], y[s]} /. sol,
   {s, 0, sol[[1, 1, 2, 1, 1, 2]]},
   PlotRange -> {{0, 2}, {-1, 1}}
   ]
  ],
 {{A, 0.1}, 0.001, 1, 0.01, Appearance -> "Labeled"},
 {{R, 2}, 0.001, 4, 0.001, Appearance -> "Labeled"},
 {{\[Theta], Pi/4}, -Pi/2, Pi/2, 0.001, Appearance -> "Labeled"}
 ]

Durch diese Schritte können wir die Gleichung für die Linie finden, die den Theta-Winkel mit positiver Ladung bildet. Ich habe versucht, jeden Schritt klar zu machen.

Lassen Sie eine Ladung$+q$am punkt sein$(a, 0)$und eine Gebühr$-q$am punkt sein$(-a, 0)$. Dann das elektrische Feld an einem Punkt$(x, y)$Ist

$$\begin{equation}\tag{e1}\label{e1} \vec{E} = q\vec{r}\left(\frac{1}{r_1^3} - \frac{1}{r_2^3}\right) - qa\hat{e}_x\left(\frac{1}{r_1^3} + \frac{1}{r_2^3}\right), \end{equation}$$ Wo$\vec{r} = x\hat{e}_x + y\hat{e}_y$,$\vec{r}_1 = \vec{r} + a\hat{e}_x$Und$\vec{r}_2 = \vec{r} - a\hat{e}_x$. Die Kraftliniengleichung lautet $$\begin{equation}\tag{e2}\label{e2} \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{y}{x + a\frac{r_2^3 + r_1^3}{r_2^3 - r_1^3}}. \end{equation}$$ Wir werden jetzt die Gleichung lösen $\eqref{e2}$. Wir ordnen es zuerst neu an als $$\begin{equation} \left((r_2^3 - r_1^3)x + a(r_2^3 + r_1^3)\right)\frac{\partial y}{\partial x} = (r_2^3 - r_1^3)y. \end{equation}$$ Beide Seiten multiplizieren mit$y/(r_1^3 r_2^3)$, $$\begin{equation} \left(\frac{x + a}{r_1^3} - \frac{x - a}{r_2^3}\right)y\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{y^2}{r_1^3} - \frac{y^2}{r_2^3}. \end{equation}$$ Wir substituieren$y^2 = r_1^2 - (x + a)^2$im ersten Faktor auf der rechten Seite und$y^2 = r_2^2 - (x - a)^2$im zweiten Faktor zu bekommen $$\begin{equation} \left(\frac{x + a}{r_1^3} - \frac{x - a}{r_2^3}\right)y\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{1}{r_1} - \frac{(x+a)^2}{r_1^3} - \frac{1}{r_2} + \frac{(x-a)^2}{r_2^3} \end{equation}$$ oder, $$\begin{equation}\tag{e3}\label{e3} \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} - \frac{(x+a)}{r_1^3}\left((x + a) + y\frac{\partial y}{\partial x}\right) + \frac{(x-a)}{r_2^3}\left((x - a) + y\frac{\partial y}{\partial x}\right) = 0. \end{equation}$$ Wir verwenden die Ableitungen von$r_1$Und$r_2$gegenüber$x$ $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial r_1}{\partial x} &=& \frac{x + a}{r_1} + \frac{y}{r_1}\frac{\partial y}{\partial x} \\ \frac{\partial r_2}{\partial x} &=& \frac{x - a}{r_2} + \frac{y}{r_2}\frac{\partial y}{\partial x} \end{eqnarray*}$$ in Gleichung $\eqref{e3}$zu bekommen $$\begin{equation} \frac{1}{r_1} - \frac{x+a}{r_1^2}\frac{\partial r_1}{\partial x} - \frac{1}{r_2} + \frac{x-a}{r_2}\frac{\partial r_2}{\partial x} = 0, \end{equation}$$ oder $$\begin{equation} \frac{d}{dx}\left(\frac{x + a}{r_1}\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{x + a}{r_1}\right) = 0, \end{equation}$$ von denen wir leicht bekommen $$\begin{equation}\tag{e4}\label{e4} \frac{x + a}{r_1} - \frac{x - a}{r_2} = C, \end{equation}$$ Wo$C$als Lösung der Differentialgleichung (e2) eine Konstante ist. Dies ist auch die Lösung, die in Artikel 63 von „The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism“ von Sir James Jeans (5. Auflage) gegeben wird.

Ich gebe Ihnen den Anfang. Sie müssen die Arbeit beenden.

Beginnen Sie mit einem Verständnis dafür, wie die Linien aufgebaut sind. Die Linien sind Pfade durch ein Vektorfeld, die aus der elektrischen Kraft der Teilchen (Anzahl spielt keine Rolle) im System resultieren. Sie verbinden dann die Ladungen, indem Sie in geringem Abstand von einem der Teilchen beginnen und sich ein wenig in Richtung des elektrischen Felds bewegen und dann aufeinanderfolgende Schritte ausführen. Schließlich erreichen Sie entweder Ihre Berechnungsgrenze oder ein anderes Teilchen. Die Gleichungen können mit dieser mathematischen Methode abgeleitet werden, aber es werden einige Fehler auftreten, die mit der Größe des Schritts, den Sie machen, variieren.

Aber wenn Sie mehr mathematische Fähigkeiten haben, können Sie das Vektorfeld berechnen und den damit verbundenen differentiellen geometrischen Raum berechnen. Dann können die Gleichungen direkt unter Verwendung der geodätischen Gleichung durch diesen gekrümmten Raum berechnet werden. Diese Methode würde ein genaueres Ergebnis liefern, aber es würde Spaß machen, es zu berechnen.