Wie vermeidet ein konstanter Schub eine quadratische kinetische Energieakkumulation?

Ich entschuldige mich im Voraus, aber ich werde das Problem zuerst verschlimmern, damit ich es erklären kann:

Stellen Sie sich vor, Sie messen die Geschwindigkeit nicht von der Station, an der die Rakete gestartet wird – nennen wir sie Station A –, sondern von Station B aus, die sich mit hoher Geschwindigkeit von Station A entfernt. Und stellen Sie sich vor, dass Station A zwei identische Raketen abfeuert, eine auf Sie zu und eine von Ihnen weg.

Da wir nach der gut getesteten aktuellen Theorie der speziellen Relativitätstheorie arbeiten, verstehen wir, dass wir entweder sagen können „B bewegt sich von A weg“ oder mit gleicher Korrektheit „A bewegt sich von B weg“, da wir beide als erklären können "stationär" zum Zwecke der Messung von Geschwindigkeiten in Bezug auf unser gewähltes Koordinatensystem. Fangen wir also von vorne an und sagen, dass sich Station A mit hoher Geschwindigkeit von Station B wegbewegt und zwei Raketen abfeuert.

Natürlich haben beide Raketen, bevor sie von A starten, eine bestimmte kinetische Energie, basierend auf ihrer Bewegung, und diese Energie wird für die zwei identischen Raketen gleich sein. Wenn wir sie starten, beginnt sich das jedoch zu ändern: Einer von ihnen entfernt sich noch schneller von uns, während sich der andere langsamer von uns entfernt. Tatsächlich entfernt sich nach einiger Zeit der eine mit der doppelten Geschwindigkeit, die er ursprünglich hatte, also mit der vierfachen kinetischen Energie, von uns, während sich gleichzeitig der andere mit einer relativen Geschwindigkeit von Null von uns wegbewegt: keine Kinetik Energie überhaupt! Jetzt sind wir wirklich durcheinander, denn beide Raketen haben genau dasselbe gemacht, aber eine endete mit einer sehr hohen kinetischen Energie und eine ohne jegliche Energie.

Das Problem, das ich mit diesem Beispiel hervorheben möchte, ist, dass kinetische Energie rahmenabhängig und keine intrinsische Energie für ein Objekt ist. Deshalb können Sie sicher in einem Auto mitfahren, das sich mit 100 km/h auf einer Straße bewegt, aber nicht sicher von einem Auto angefahren werden, das sich mit 100 km/h auf einer Straße bewegt; Wenn Sie mit dem Auto reisen, hat es null kinetische Energie in Ihrem Rahmen, aber wenn Sie auf der Straße stehen, hat es eine sehr hohe kinetische Energie in Ihrem Rahmen. Kinetische Energie ist relativ.

Eine andere Anmerkung: Ich habe zuvor gesagt, dass die beiden Raketen „dasselbe“ tun, aber in jedem einzelnen Bezugsrahmen ist das nicht ganz richtig. Offensichtlich verliert in meinem obigen Beispiel beispielsweise eine Rakete aus dem Rahmen von Station B kinetische Energie und die andere gewinnt kinetische Energie. Aber das bezieht sich nur auf die Raketen selbst: Diese werden durch das Abfeuern von Photonen in die andere Richtung angetrieben, und diese Photonen werden selbst mit einer bestimmten Energie ausgestoßen. Wenn Sie die Energie der Photonen selbst messen würden (indem Sie einen kleinen Spiegel an der Rückseite der Rakete anbringen, die auf Sie zusteuert, damit Sie den "Auspuff" sehen können)energisch. Das heißt, Photonen, die auf Sie zu geschossen werden, sind weniger energiereich als Photonen, die von Ihnen weg geschossen werden ... das war die gleiche Schlussfolgerung, zu der wir bei den Raketen selbst gekommen sind, die von Station A gestartet wurden, und die wiederum eine Folge der Relativität der kinetischen Energie ist. Aber dieses Mal können wir direkter sagen, dass das eine „rotverschoben“ und das andere „blauverschoben“ ist.

EDIT: Es kann auch einfacher sein, sich die Lösung vorzustellen, wenn Sie einen normalen Reaktionsantrieb mit massivem Auspuff verwenden. Der Auspuff hat eine geringe Masse, verlässt ihn aber mit hoher Geschwindigkeit; Die Rakete hat eine höhere Masse und gewinnt daher weniger Geschwindigkeit aus der Reaktion. Die kinetische Energie nimmt für jeden Massenkörper (wenn man den gesamten Auspuff als "Körper" betrachtet) um den gleichen Betrag in entgegengesetzte Richtungen zu, sonst bekommen wir irgendwo Energie kostenlos. Da massive Abgase eine unterschwellige Ausstoßgeschwindigkeit haben, kann es auch vorkommen, dass die Rakete von Ihnen weg beschleunigt, sich aber auch das Abgas von Ihnen wegbewegt, was bei Photonenantrieben nicht möglich ist. Aber in allen Fällen, Photonen oder nicht, die Gesamtenergie des Systemsbleibt erhalten: Gemessen von einem Trägheitskoordinatensystem "gewinnt" die Rakete die gleiche Energiemenge, die der Auspuff "verliert", und die gemessene Austauschrate steigt quadratisch an.

TL;DR:

Wenn die Rakete schneller wird, tragen die emittierten Photonen im Ruhesystem weniger Energie. Dadurch steht der Rakete mehr Energie zur Verfügung. Es zeigt sich, dass Energie- und Impulserhaltung genau das Ergebnis liefern, das wir erwarten, selbst im klassischen Low-Speed-Limit.

Um herauszufinden, was vor sich geht, müssen wir uns überlegen, was sowohl mit dem Impuls als auch mit der Energie von Raketen und Photonen passiert.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen, dass die emittierten Photonen im Bezugssystem der Rakete blau sind - es erleichtert die Beschreibung.

Wenn sich die Rakete langsam bewegt, sehen die Photonen im Bezugssystem eines stationären Beobachters immer noch blau aus: Sie scheinen die gesamte Energie zu tragen. Wenn die Rakete beschleunigt, werden die Photonen dopplerverschoben und werden "röter" - sie tragen nach der Wechselwirkung mit der Rakete weniger Energie weg. Für die gleiche Anzahl von Photonen pro Zeiteinheit spürt die Rakete also den gleichen Schub, aber (im stationären Koordinatensystem) führt dies zu einer größeren Energiezunahme, da die Photonen weniger Energie haben.

Mathematisch, wenn wir emittieren$N$Photonen der Wellenlänge$\lambda_0$in einem kurzen Zeitintervall, dann für eine Masserakete$m$mit Geschwindigkeit$v$die Gesamtänderung des Impulses ist

Der Energiezuwachs der Rakete ist

Die Energie der (dopplerverschobenen) Photonen ist (in nichtrelativistischer Näherung)

Und die Energie ist

Wie Sie sehen können, ist die Summe dieser Energie plus der von der Rakete gewonnenen Energie konstant - wenn die Rakete schneller wird, werden die Photonen davongetragen$N\frac{hv}{\lambda_0}$weniger Energie - und genau das ist die gewonnene Energie der Rakete.

Wenn die Rakete relativistische Geschwindigkeiten erreicht, ist die Berechnung komplexer, aber die Schlussfolgerung ist die gleiche. Eine korrekte Berechnung würde auch den Massenverlust der Rakete aufgrund der emittierten Energie nicht ignorieren, aber auch das ändert nichts am Grundprinzip.

Ihre Analyse ignoriert die spezielle Relativitätstheorie; Dies ist in Ordnung, bis die Geschwindigkeit einen beträchtlichen Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit erreicht. Das relevante Maß ist der Lorentz-Faktor, der bei normalen Geschwindigkeiten kaum messbar ist, aber ist$\gamma =1.001$bei$v=0.05 c$; steigt auf$\gamma =1.033$bei$v=0.25 c$, und wird signifikant mit$\gamma =1.250$von$v=0.6 c$.

Das bedeutet, dass immer mehr Leistung bereitgestellt werden muss, um die Energie zu erhöhen, und diese Leistung muss durch den Laser bereitgestellt werden. Daher kann das von Ihnen vorgeschlagene lineare Modell aufgrund der Relativitätstheorie nicht über ein bestimmtes Niveau hinaus erweitert werden.

Weitere Informationen zum Lorentz-Faktor finden Sie unter https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_factor

Derselbe Laser-„Motor“ scheint immer „effizienter“ zu werden (erzeugt im Laufe der Zeit mehr kumulierende kinetische Energie).

Dies ist nicht spezifisch für laserbasierte Antriebe; zunehmende Änderungsrate der kinetischen Energie gilt auch für chemisch angetriebene Raketen.

Der Grund, warum es seltsam oder sogar "paradox" erscheint, ist, dass man vergisst, dass ein Teil der freigesetzten Energie vom Abgas aufgenommen wird. Tatsächlich wird unmittelbar nachdem sich die Rakete in Bewegung gesetzt hat, der größte Teil der in der Zeiteinheit freigesetzten Energie durch das Abgas weggenommen, die Energie der Rakete ändert sich um einen Betrag, der nur einen kleinen Teil der freigesetzten Gesamtenergie ausmacht. Während der Massenverlust also einen vernachlässigbaren Einfluss auf die Masse der Rakete hat, nimmt er am Anfang fast die gesamte Energie weg.

Später, wenn die Rakete immer schneller wird, wird die Geschwindigkeit des Abgases im Erdrahmen immer geringer, wodurch das Abgas immer weniger Energie pro Zeiteinheit wegnimmt. Damit verschiebt sich das Gleichgewicht zugunsten der Rakete, die einen immer größeren Anteil an der pro Zeiteinheit freigesetzten Energie erhält.

Summiert man beide Energiezuwächse pro Zeiteinheit, die der Rakete und die des Abgases, so ergibt diese Summe die pro Zeiteinheit aus dem Treibstoff freigesetzte Energie.

Unter der Annahme, dass der Raketenmotor am Anfang und 10 Minuten später auf die gleiche Weise funktioniert, ist die pro Sekunde freigesetzte Energie konstant; Lassen Sie es uns mit bezeichnen$P$. Energieerhaltung impliziert

wobei der erste Term die Änderung der kinetischen Energie der Geschwindigkeitsrakete angibt$v$Währenddessen$\Delta t$und der zweite Begriff$\Delta E_w$ist die zeitliche Energieänderung der ausgestoßenen Abgase$\Delta t$.

Da die Schubkraft und die Raketenmasse ebenfalls als konstant angenommen werden (gültig in der frühen Flugphase, wenn nur ein geringer Prozentsatz des Treibstoffs verbrannt wurde), ist die Geschwindigkeit der Rakete eine lineare Funktion der Zeit und ihre kinetische Energie eine quadratische Funktion der Zeit. Wie Sie geschrieben haben, nimmt die Änderung der kinetischen Energie mit der Zeit zu$\Delta t$erhöht sich.

Da die linke Seite der obigen Gleichung zeitlich konstant ist und der Term der kinetischen Energie mit der Zeit zunimmt, kommt ein Punkt, an dem$\Delta E_w$wird negativ. Was bedeutet das? Das bedeutet, dass der Kraftstoff, der zum Abgas wird, seine kinetische Energie verringert. Dies ist möglich, weil sich der Treibstoff an diesem Punkt mit hoher Geschwindigkeit bewegt und ihn durch Verbrennen und Ausströmen in die entgegengesetzte Richtung zur Geschwindigkeit der Rakete verlangsamt. Dies geschieht ungefähr, wenn die Geschwindigkeit der Rakete in Bezug auf die Düse höher als die Hälfte der Geschwindigkeit des Abgases wird.

Ich glaube nicht, dass der Laserantrieb so weit funktionieren wird, dass er über einen längeren Zeitraum lineare Geschwindigkeitszunahmen mit der Zeit erzeugt. Ich denke, es ist unmöglich - die Energieeinsparung lässt es nicht zu. Ich glaube, dass die Rate der Geschwindigkeitszunahmen zunehmend langsamer wird.

Es ist nicht so, dass ein Laser mit konstantem Schub dies möglicherweise nicht bewirken könnte, es ist nur so, dass dafür ein quadratisch steigender Stromverbrauch erforderlich wäre. Dies ist analog zur Autobeschleunigung und wie der Kraftstoffverbrauch größtenteils durch kinetische Energie ausgeglichen wird, wenn die Kraft auf immer größere Entfernungen ausgeübt wird. Geschwindigkeit ist das Ergebnis.

Kinetische Energie ist von Natur aus unvereinbar mit klassischer Mechanik, da sie Hand in Hand mit relativer Zeit existiert und ohne relative Zeit keine kinetische Energie entsteht. Es ist ein Versagen der Physik des 19. Jahrhunderts, dass sie ein Modell konstruierte, in dem kinetische Energie neben der absoluten Zeit existierte, anstatt vollständig zu berücksichtigen, dass die Zeit relativ sein könnte.

Aber wir müssen die Fehlschläge früherer Zeiten heute nicht wiederholen. Jede Diskussion über kinetische Energie, klassische kinetische Energie, die die relative Zeit nicht erwähnt, ist bestenfalls unvollständig.

Die Zeit dehnt sich bei niedrigen Geschwindigkeiten hauptsächlich quadratisch aus. Die Zeit vergeht für ein Objekt, das sich mit klassischen Geschwindigkeiten bewegt, buchstäblich um einen Betrag langsamer, der quadratisch mit zunehmender Geschwindigkeit fortschreitet.

Dieses Quadrat ist dieses Quadrat.

Siehe https://www.quora.com/Since-time-is-relative-how-much-time-has-passed-for-Voyager-1-in-comparison-to-Earth für ein großartiges Beispiel dafür. Die Symmetrien der speziellen Relativitätstheorie sind derart, dass dieser sehr reale Dilatationseffekt oft in den Details der bezugssystemspezifischen Mathematik verloren gehen kann. Aber es ist das, was verschiedene Referenzrahmen verbindet, was mich am meisten interessiert, und das Modell in meinem Kopf ist, dass es die relative Geschwindigkeit des Zeitablaufs ist, die die Verbindung herstellt.

Ich glaube, dass die Zeit real ist und dass sie in einer Weise real ist, dass sie tatsächlich vergeht. Und die Bewegung der elektromagnetischen Strahlung selbst ist die eigentliche Essenz der vergehenden Zeit. Dies ist eine unorthodoxe Sichtweise – wahrscheinlich eine, die es wert ist, mich in den Status eines Spinners zu erheben – aber ich bin davon überzeugt, und es ist für mich sehr offensichtlich, dass das Quadrat der kinetischen Energie tatsächlich die sehr kleine Zeitdilatation ist, die bei diesem Durchgang auftritt von Zeit.

Es muss so sein, da das Infinitesimale der Beschleunigung lichtgeschwindigkeitsinvariant ist. Nur durch eine Änderung der relativen Geschwindigkeit, mit der die Zeit vergeht, können die unveränderlichen Perspektiven der Lichtgeschwindigkeit eines beschleunigenden Objekts sowohl vor als auch nach der Beschleunigung sinnvoll gemacht werden.

Das Quadrat der kinetischen Energie wird nicht durch die Doppler-Rotverschiebung erklärt. Dieser Effekt ist in Bezug auf die Geschwindigkeit linear und verschwindet, wenn die Relativgeschwindigkeit eines Objekts auf Null zurückkehrt, ohne dass eine quadratische Energieübertragung berücksichtigt werden muss. Dieser Effekt ist ein natürlicher Partner des zweiten Terms in der Lorentz-Transformation der Zeit.

Umgekehrt sind die quadratischen Energiezunahmen, die den gleichen linearen Geschwindigkeitszunahmen im Zusammenhang mit Doppler entsprechen, tatsächlich in einer Weise "real", in der die Energie übertragen oder berücksichtigt werden muss, wenn die erreichte relative Geschwindigkeit wieder negiert wird. Das Quadrat ist "quadratisch" in der Lorentz-Transformation für den ersten Term der Zeit verwurzelt - Gamma.

Siehe speziell diesen Kommentar zu einer anderen Antwort des Fragestellers dieser Frage für den Kontext dessen, was wir hier wirklich verfolgen:

Um die Frage etwas genauer zu fokussieren: Angenommen, die Rakete startet in einiger Entfernung von Station A, relativ zueinander in Ruhe. Nach T Sekunden konstanter Beschleunigung trifft die Rakete auf Station A und ihre kinetische Energie wird freigesetzt, es ist also nicht nur theoretisch. Die Menge an KE am Aufprallpunkt scheint quadratisch mit der Beschleunigungszeit zuzunehmen, obwohl sie von einem Photonenmotor mit konstanter Leistung erzeugt wird, dessen Energiezufuhr/-ausgabe linear mit der Beschleunigungszeit zunimmt. All dies bei winzigen Geschwindigkeiten mit vernachlässigbaren relativistischen Effekten. – Zeph

Die Quadratik wird nicht durch Doppler erklärt, sondern durch Zeitdilatation. Zeitdilatation, deren Existenz nach meinem besten Wissen empirisch nachgewiesen wurde.

Dies funktioniert nur, wenn quadratisch zunehmende Kraftstoffmengen verbraucht werden, um über die immer größer werdenden Entfernungen, über die die Beschleunigung auftritt, Kraft auszuüben, was einer immer größer werdenden Anzahl von Punkten im Raum entspricht, über die unendlich kleine Mengen an Zeitdilatation anfallen.