Wie viel schneller würde eine Uhr ohne Schwerkraft laufen?

Beide Effekte lassen sich nicht wirklich sinnvoll berechnen.

Die kinematische Zeitdilatation beschreibt die Zeitdilatation eines Referenzrahmens relativ zu einem anderen. Es gibt keinen bevorzugten Bezugsrahmen, daher gibt es keine Möglichkeit zu sagen, was es bedeuten würde, den Effekt der kinematischen Zeitdilatation zu entfernen.

Gravitationszeitdilatation ist ein Konzept, das in einer statischen Raumzeit sinnvoll ist, und in diesem Fall wird die Zeitdilatation zwischen zwei verschiedenen Punkten als Differenz angegeben$\Delta\Phi$im Gravitationspotential als$e^{\Delta\Phi}$. Auch hier haben Sie das Problem, womit Sie vergleichen sollen. Möchten Sie mit dem interplanetaren Raum vergleichen? Interstellarer Raum? Weltraum außerhalb unseres lokalen Galaxienhaufens? Wenn Sie diesen Prozess fortsetzen, erreichen Sie kosmologische Entfernungen, und an diesem Punkt stoßen Sie auf das Problem, dass kosmologische Raumzeiten nicht statisch sind, und das Ganze wird bedeutungslos.

Das ist es, worum es bei der Relativitätstheorie geht. Es gibt kein bestes Zeitmaß. Alles ist relativ.

Die Tatsache, dass eine Uhr aufgrund von Bewegung langsamer läuft, ist ein Effekt der speziellen Relativitätstheorie, bei dem die Zeitdilatation eines sich bewegenden Rahmens wird:

$\Delta t' = \gamma\Delta t$, Wo$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\geq1$.

Also ein Zeitschritt in einem bewegungslosen Rahmen ($\Delta t$) ist kleiner als eins in einem Frame in Bewegung.

Um den Gravitationseffekt zu erhalten, sollten wir uns der allgemeinen Relativitätstheorie zuwenden, dies ergibt die Einstein-Feldgleichung:$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$(wobei ich der Einfachheit halber die kosmologische Konstante weggelassen habe). Diese Gleichung ist im Grunde die Gleichung für die Metrik der Raumzeit und im Allgemeinen ziemlich schwer zu lösen !

Wenn die Raumzeit kugelförmig ist (z. B. eine Punktmasse/Kugel), wird die Lösung zur Schwarzschild-Metrik:

$ds^2 = \left(1-\frac{2Gm}{c^2r}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2Gm}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 - r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$.

Betrachten wir rein die Zeitentwicklung in einem unbewegten Koordinatensystem erhalten wir:$ds^2 = \left(1-\frac{2Gm}{c^2r}\right)dt^2$.

Oder um es wie oben auszudrücken, wenn$\Delta t$ist die Zeitentwicklung in einem flachen Zeitraum (at$r\rightarrow\infty$) Und$\Delta t'$die Zeitentwicklung mit Masse ist, dann erhalten wir die Beziehung:$\Delta t = \left(1-\frac{Gm}{c^2r}\right)\Delta t'$.

Wenn ich eine erste Schätzung machen müsste, würde ich versuchen, die Abweichungen einfach zu addieren, was eine Art Annäherung nullter Ordnung ergeben würde.