Aufbau eines lokalen Koordinatensystems in der Raumzeit mit nur einer einzigen Uhr und Lichtstrahlen

Die Radarmethode ist ein allgemeiner Ansatz, der für nicht-träge Beobachter und gekrümmte Raumzeit funktioniert.

Zwei Koordinaten eines Ereignisses sind durch Ihre Uhrzeit gegeben, zu der das Ereignis Ihren zukünftigen und vergangenen Lichtkegel schneidet, die als verzögerte Zeit und fortgeschrittene Zeit bezeichnet werden ($\tau^+,\tau^-$, bzw.). Oder verwenden Sie eine diagonale Kombination davon:$\tau^\star = \frac{\tau^+ + \tau^-}{2}$, Radarzeit genannt, und$\rho = c\frac{\tau^+ - \tau^-}{2}$, Radarabstand genannt.

Diese Diagonalkombination hat die Eigenschaft, dass bei einem unbeschleunigten Beobachter in flacher Raumzeit$\tau^\star$Und$\rho$sind gleich den üblichen Maßen (das "unendliche Raster von Linealen und Uhren" Geschäft).

Zwei weitere Koordinaten können durch die eingehenden Winkel ($\Omega^+$) der geodätischen Null aus dem Ereignis an Sie. Dies ist das Empfangs- oder verzögerte Koordinatensystem. Das duale System, das Übertragungs- oder fortgeschrittene Koordinatensystem, würde die ausgehenden Winkel verwenden ($\Omega^-$) der Null-Geodäte von Ihnen zum Ereignis.

Für einen nicht rotierenden, unbeschleunigten Beobachter in der flachen Raumzeit sind die beiden Winkelpaare einander und den üblichen Polarkoordinatenwinkeln gleich.

In der flachen Raumzeit wird dies jedem erreichbaren Ereignis, das heißt jedem Ereignis im kausalen Diamanten des Beobachters, eine eindeutige Koordinate zuweisen. In gekrümmter Raumzeit weist es jedem erreichbaren Ereignis mindestens eine Koordinate zu, es kann jedoch Duplikate geben. Man kann sich auf die Grenze der kausalen Vergangenheit und Zukunft beschränken, wie in der oben verlinkten Antwort beschrieben. Dann erhält unter bestimmten Kausalitätsannahmen jedes erreichbare Ereignis ein Unikat$\tau^\star$Und$\rho$. Die Oberflächen konstant$\tau^\star$Und$\rho$sind dann 2-D global raumartige Flächen, aber nicht immer topologisch$\mathcal{S}^2$, sie werden vielmehr ein Subquotient von sein$\mathcal{S}^2$. Das heißt, für eine gegebene$\tau^\star$Und$\rho$einige Winkelpaare$\Omega^+$nicht gültig (entsprechend Teilen des Lichtkegels, die "hintergefallen" sind), und einige Ereignisse an der Gültigkeitsgrenze haben mehr als ein Winkelpaar.

( Hinweis : Bitte beachten Sie den Anhang unten für Literaturhinweise, die für die Frage relevant sind.)

Die Frage, wie man Uhren synchronisiert, wurde zuerst von Einstein selbst in seiner berühmten Abhandlung über die spezielle Relativitätstheorie angesprochen, und sie nimmt einen Großteil der Diskussion in dieser Abhandlung ein, bevor er sich der Elektromagnetik zuwandte.

Was Einstein vorschlug, war folgendes: Beide Beobachter haben baugleiche Uhren und nehmen daher an, dass die Uhren die gleiche Zeit halten. Aber wie stellen sie sicher, dass sie die gleiche Zeit haben, nicht nur die gleiche Tickrate?

Einstein schlug vor, was man heute als Handshake bezeichnen würde: A sendet einen Zeitstempel über einen Lichtstrahl an B, und B sendet sofort seinen eigenen Zeitstempel an A zurück. Wenn A diesen "Handshake" von B zurückerhält, weiß sie beide, wie lange es dauerte, um die Informationen zu erhalten und wie viel Zeit B (aus Symmetriegründen) in der Mitte dieses Zeitraums hatte.

Das sind genug Informationen für A, um ihre Uhr auf die von B zu aktualisieren, plus die Hälfte der Verzögerung in der Antwort, um zu berücksichtigen, wie lange es gedauert hat, bis der Zeitstempel von B ankam.

Es gibt andere, subtilere Probleme, z. B. ob sich B möglicherweise relativ zu A bewegt, aber auch diese können behoben werden, indem nur Lichtstrahlen verwendet werden, indem sichergestellt wird, dass beim Betrachten des zurückkehrenden Strahls keine Frequenzverschiebung (Doppler-Effekt) auftritt.

Dieses Verfahren ist nicht nur ziemlich einfach, sondern auch nützlich . Sie würden diese Nachricht beispielsweise nicht lesen, wenn der von Ihnen verwendete Stromversorger nicht die gleiche Art von Synchronisationsverfahren verwenden würde, um sicherzustellen, dass entfernte Teile eines Stromnetzes alle sehr genau miteinander synchronisiert sind. Wenn sie das nicht taten, würden die Generatoren aus der Phase geraten und anfangen, sich gegenseitig zu zerstören. Eine sinnvolle Zeitsynchronisation ist also kein abstraktes Konzept, sondern etwas Reales und sehr Notwendiges für alles, was vernetzt ist. Der wichtige Punkt, um diese Art von Synchronisation rechtzeitig zu erhalten, besteht darin, dass sich die verschiedenen Teile nicht relativ zueinander bewegen dürfen. Hier setzt die spezielle Relativitätstheorie an, nicht bei der Synchronisation selbst.

Es gibt noch eine andere Technik, die Sie angesprochen haben, nämlich diese: Wenn Sie eine Uhr sehr langsam von einem Ort zum anderen bewegen, können die relativistischen Effekte sehr, sehr klein gemacht werden – so klein sogar, dass Sie sie wirklich immer klein machen können genug, um sie zu ignorieren. Es ist nicht annähernd so praktisch wie die Einstein-Synchronisation, aber es ist manchmal praktisch.

Nun, was die Aufteilung der Lineale betrifft, ja, Sie können nicht unendlich klein werden. Aber Sie können es tatsächlich sehr gut machen, indem Sie einfach Netzwerke von sehr kleinen Uhren erstellen. Viele Computernetzwerke sind eigentlich ziemlich anständige Beispiele dafür. Mein Lieblingsbild ist jedoch das einer ganzen Region des Weltraums, die mit winzigen, winzigen Uhren gefüllt ist, von denen jede sagen wir einen Millimeter breit ist, wobei sich jede Uhr ständig mit ihren nächsten Nachbarn synchronisiert.

Wie Einstein selbst betonte, ist Synchronisation eine transitive Operation, so dass all diese Uhren, die auf diese Weise miteinander sprechen, schließlich zu einer ganzen Region des Raums führen, die mit sinnvoll synchronisierten partikelähnlichen Uhren gefüllt ist. Fügen Sie ein bisschen Datenaufzeichnung hinzu, und Sie können dieses Netzwerk aus partikelähnlichen Uhren auch verwenden, um diese Region des Weltraums sowohl hochgradig synchronisiert als auch in der Lage zu halten, Daten über sich selbst und andere Objekte zu sammeln.

Noch interessanter: Wenn ein anderes Objekt mit hoher Geschwindigkeit durch eine solche Region segelt, kann es im Prinzip aus jeder der teilchenähnlichen Uhren, mit denen es kollidiert, eine sehr genaue Zeit extrahieren. Die Zeit ist genau, weil der Kontakt "nah" oder berührend ist, wodurch die üblichen Raumzeit-Mehrdeutigkeiten beim Austausch von Daten zwischen Frames beseitigt werden. Das sich schnell bewegende Objekt kann somit an jedem Punkt seiner Reise genau die Zeit „lesen“, für die es das Netzwerk aus teilchenähnlichen Uhren hält, und umgekehrt.

Überraschenderweise und nicht sehr offensichtlich ist sogar dieses Konzept aus diesem Grund in gewisser Weise in Einsteins Artikel enthalten: Er beruft sich auf die Idee eines Stabes, der sich durch ein anderes Bild bewegt und die Zeit dieses Bildes an jedem Ende des Stabes "liest". Wie sich herausstellt, können Sie dies nur tun, indem Sie ein synchronisiertes Netzwerk sehr kleiner Uhren erstellen, die jedes Ende des Stabes "berühren" können, wenn er vorbeifährt. Jedes Schema, das Licht (im Gegensatz zu Nähe) verwendet, um dieselben Informationen weiterzugeben, wird sofort mehrdeutig, da unterschiedliche Frames die Weitergabe der Nachricht als unterschiedliche "Mischungen" aus Raum und Zeit interpretieren würden. Proximaler Kontakt beseitigt dies und ermöglicht Einsteins ursprüngliches Experiment mit sich bewegenden Stangen, mit realer Ausrüstung im realen Raum realisierbar zu sein.

Ich habe noch nie einen Namen für die Idee von asymptotisch schrumpfenden, partikelartigen, datensammelnden, vollständig vernetzten und vollständig synchronisierten Nanouhren gesehen, die ein Volumen von Raum einnehmen, aber es ist eine unkomplizierte und definitiv machbare Erweiterung dessen, was moderne Kommunikationssysteme tun die ganze Zeit. Ich nenne diese Idee von Uhren in Nanogröße gerne ein synchronisiertes Netzwerk von beobachtenden Teilchen , für das das Akronym, na ja, Schnüffler ist.

Wenn Sie also Einsteins Experiment mit beweglichen Stangen im wirklichen Leben durchführen möchten, müssen Sie zunächst eine Art Schnüffler erstellen. Es gibt tatsächlich viel einfachere Möglichkeiten, dies zu tun, als echte Nanouhren zu bauen – Nebelkammern mit sorgfältig getimter Bildgebung kommen sicherlich in den Sinn – aber das Konzept eines Schnüfflers hilft bei der Analyse, wie man viele etwas obskur klingende spezielle Relativitätstheorien durchführen würde Experimente, ohne sich in mehrdeutigen Daten zu verlieren.

Bitte beachten Sie, dass ich absichtlich in eine etwas andere Richtung gegangen bin, als ich denke, dass Ihr Vorschlag darin besteht, eine einzelne Uhr zu verwenden, von der sich Photonenweltlinien erstrecken. Die einzelne zentrale Uhr eignet sich hervorragend, um eine einzelne Zelle von Raum und Zeit zu definieren, aber ich denke, Sie würden feststellen, dass Sie am Ende nur eine Pendeluhr mit großer Granularität haben würden, wenn Sie alle Details der Idee ausgearbeitet hätten. Mit einer wohldefinierten Zelle dieses Typs kann man viel machen, aber die Tatsache, dass man nicht einmal Einsteins allererstes Gedankenexperiment zur speziellen Relativitätstheorie (der sich bewegende Stab) durchführen kann, erfordert mehrereSynchronisierte Uhrenzellen sind ein ziemlich gutes Argument dafür, dass auch Synchronisation und mehrere Zellen (mehrere identische Uhren) benötigt werden, um genügend Daten zu sammeln, um sogar die spezielle Relativitätstheorie im Detail zu testen, geschweige denn im Allgemeinen.

Wenn Sie andererseits die Idee einer "Snoop-Grenze" akzeptieren, an der Sie synchronisierte Uhren an einem Punkt in einem Bereich des Raums auf die für Ihr spezielles Experiment ausreichende Detailgenauigkeit annähern können , werden Sie meiner Meinung nach mit a enden viel zufriedenstellenderes (und experimentell eindeutiges) Ergebnis. In Bezug auf diese leichten Pendel erwähnte ich:

... vernetzen Sie eine große Anzahl von ihnen miteinander, indem Sie sie an ihren Seitenecken berühren lassen. Wenn die zentralen Uhren auch Daten sammeln können, ist das eigentlich die genauere Art, einen Schnüffler zu definieren.

Nachtrag 2013-02-02: Mehrere relevante Online-Referenzen

Aufgrund der hervorragenden Informationen, die über die Antwort von @RetardedPotential hinzugefügt wurden, kenne ich jetzt den "Standard" -Namen für Rho-Zellen innerhalb der Curved-Space-Community: Causal Diamonds . Das schöne kausale Diamantdiagramm in dem Link, den ich gerade gegeben habe, stammt aus diesem Blogeintrag von 2009 der theoretischen Physiker Sabine Hossenfelder und Stefan Scherer . Aus der Vielfalt, die ich bei der Suche nach Beispielen sehe, scheint es keine einzige hochgradig standardisierte Methode zu geben, die rückwärts und vorwärts gerichteten Lichtgeodäten zu kennzeichnen, die die Seiten kausaler Diamanten bilden. Ich habe sie beschriftet${\pi_\phi}^-$Und${\pi_\phi}^+$für hinten ($-$) und vorwärts ($+$) Photonenkoordinaten ($\pi$) des Rahmens$\phi$, aber ich kann sie umbenennen, wenn etwas mehr Standard existiert.

Noch wichtiger ist, dass die Idee, Zellen zu verwenden, die klein genug sind, um sicherzustellen, dass der Raum lokal flach ist – dieselbe Glätteannahme, die dem Kalkül zugrunde liegt – ebenfalls untersucht wurde! Ich nenne solche Netzwerke Schnüffler, aber die Arbeit von GW Gibbons und SN Solodukhin aus dem Jahr 2007, The Geometry of Small Causal Diamonds (Physics Letters B, Bd. 649, Ausgabe 4, 7. Juni 2007, S. 317–324) erkennt genau dieselbe Idee und untersucht sie es aus der Perspektive der Analyse des gekrümmten Raums.

Und wow! Hier ist, was für eine feinkörnige kausale Diamantanalyse von vor ein paar Monaten sehr relevant zu sein scheint:

Die diskrete Geometrie eines kleinen kausalen Diamanten , von Mriganko Roy, Debdeep Sinha und Sumati Surya. Eingereicht bei arXiv am 4. Dezember 2012

Also, Haskell Curry, vielleicht möchten Sie sich die obigen Referenzen als Ausgangspunkte ansehen, wenn Sie an der feinkörnigen Kartierung gekrümmter Räume interessiert sind.

(Meine eigenen SR-Interessen an Schnüfflern bleiben ein bisschen tangential zu gekrümmten Räumen ... ähm, habe ich gerade ein Wortspiel gemacht?)

2013-02-03

Bereits 2007 fasste @lubosmotl einen Vortrag von Raphael Bousso zusammen, in dem Bousso kausale Diamanten im Zusammenhang mit seiner Idee eines holografischen Universums erwähnt. Der Ausdruck ist deutlich älter, siehe z. B. diese Erwähnung kausaler Diamanten von George Svetlichny aus dem Jahr 1999 . Höchstwahrscheinlich war es in den 1990er Jahren ein gebräuchliches Schlagwort für das einfache Relativitätskonzept der sich schneidenden vorwärts- und rückwärtsgerichteten Lichtkegel.

Meine Rho-Zellen haben notwendigerweise die gleiche Geometrie wie kausale Diamanten, aber das ist ungefähr die Ähnlichkeit. Per Definition hat eine Rho-Zelle eine unbeschleunigte Ruhemassenuhr als Rückgrat und verwendet diese Uhr zur Definition$\tau_\rho$,$t_\rho$, Und$l_\rho$, wobei letzteres nur innerhalb des Taktrahmens isotrop ist. Die Uhr könnte so einfach wie ein Myon sein, und die Reflektoren könnten durch Photonenaustausch zwischen Uhren ersetzt werden. Ohne Ruhemasse-Rückgrat sehe ich jedoch nicht ohne weiteres ein, wie ein kausaler Diamant sozusagen eine Ursache haben kann, für die er kausal sein muss.

Die Idee des Koordinatensystems im Minkowsky-Raum ist eine Verallgemeinerung beispielsweise eines kartesischen Koordinatensystems, in dem Sie an jedem Punkt eine Reihe von Zahlen haben, die Ihre Position innerhalb dieses Koordinatensystems angeben. Die Uhren werden hinzugefügt, um das Koordinatensystem in 3 Dimensionen visualisieren zu können, aber Sie können sich auch vorstellen, dass die Zeit eine senkrechte Achse zu den anderen 3 ist.

Stellen Sie sich zum Beispiel in 1+1 Dimensionen vor, das ist 1 Raumdimension und 1 Zeitdimension. Sie verlängern einen unendlichen eindimensionalen Stab und platzieren Uhren darauf, mit einem Abstand, der so klein sein kann, wie Sie wollen. Wenn Sie sich dann zu einem bestimmten Raumpunkt und zu einer bestimmten Zeit auf der Stange befinden, erhalten Sie eine Zahl von der Stange, die Ihre Raumkoordinate darstellt, und eine Zahl von der Uhr, die Ihre Zeitkoordinate darstellt. Die Uhren werden in dem Sinne synchronisiert, dass wenn Sie einen Lichtstrahl von einem Punkt senden$(x_0,t_0)$, wenn der Strahl eine Raumposition eines Beobachters an erreicht$x_0+\Delta x$, die Uhr neben dem Beobachter misst eine Zeit$t_0+\Delta x/c$.

Eine andere Sichtweise auf diese Konstruktion besteht darin, sie in einen euklidischen 2D-Raum einzubetten, in dem eine gerade unendliche Linie die Raumkoordinate darstellt und eine senkrechte gerade Linie die Zeitkoordinate darstellt. In dieser Darstellung ist klarer, was wir meinen, wenn wir synchronisierte Uhren haben. Es ist nur so, dass der Pfad, auf dem sich das Licht in dieser 2D-Darstellung bewegt, eine Neigung von 45º hat (unter der Annahme, dass$c=1$). Wenn Sie also im Uhrstabbild das Gitter in mehr Knoten teilen, bedeutet dies in diesem Bild, dass Sie mehr Schnitte auf Ihren senkrechten Achsen hinzufügen. Dies sollte nicht mehr Probleme bereiten, als beispielsweise die Konstruktion der reellen Linie (die für einige reine Mathematiker einige logische Fehler aufweist).

Auf der zweiten Anmerkung, über gekrümmte Raumzeit. Das Wort gekrümmt bedeutet, dass Sie Ihre Stäbe im Uhrenstabbild aufgrund der intrinsischen Krümmung der Raumzeit nicht ewig verlängern können. Was Sie dann tun können, ist, sie nur um ein bestimmtes Maß zu erweitern, das Sie als "lokales" Koordinatensystem betrachten. Daher ist dieses Koordinatensystem nur in der Umgebung eines von Ihnen gewählten Raum-Zeit-Punktes gültig. Diese Konstruktion wird natürlich auf Mannigfaltigkeiten realisiert, da Sie in diesen mathematischen Strukturen eine Vorstellung von einem lokalen Koordinatensystem haben, das jedem Element Ihres topologischen Raums zugeordnet ist.