Wie viele Röntgenstrahlen sendet eine Glühbirne aus?

Die gewünschte Formel heißt Plancksches Gesetz . Wikipedia kopieren:

Die spektrale Strahlkraft eines Körpers,$B_{\nu}$, beschreibt die Menge an Energie, die es als Strahlung unterschiedlicher Frequenzen abgibt. Sie wird in Bezug auf die Leistung gemessen, die pro Flächeneinheit des Körpers, pro Raumwinkeleinheit, über die die Strahlung gemessen wird, pro Frequenzeinheit emittiert wird.

$$B_\nu(\nu, T) = \frac{ 2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h\nu}{k_\mathrm{B}T} - 1}$$

Um nun die Gesamtleistung zu berechnen, die pro Flächeneinheit pro Raumwinkel von unserer Glühbirne im Röntgenteil des EM-Spektrums emittiert wird, können wir dies ins Unendliche integrieren:

$$P_{\mathrm{X-ray}} = \int_{\nu_{min}}^{\infty} \mathrm{B}_{\nu}d\nu,$$

wo$\nu_{min}$Hier wählen wir (etwas willkürlich) das Photon mit der niedrigsten Frequenz, das wir als Röntgenphoton bezeichnen würden. Nehmen wir an, ein Photon mit einer Wellenlänge von 10 nm ist unsere Grenze. Nehmen wir auch an, dass eine 100-W-Glühbirne eine Oberflächentemperatur von 3.700 K hat, die Schmelztemperatur von Wolfram. Dies ist eine sehr großzügige Obergrenze – es scheint, dass eine typische Zahl 2.500 K sein könnte.

Wir können dies vereinfachen zu:

$$P_{\mathrm{X-ray}} = 2\frac{k^4T^4}{h^3c^2} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{x_{min}}^{\infty}x^3e^{-nx}dx,$$

wo$x = \frac{h\nu}{kT}$. Wythagoras weist darauf hin, dass wir dies in Bezug auf die unvollständige Gammafunktion ausdrücken können, um zu erhalten

$$2\frac{k^4T^4}{h^3c^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4} \Gamma(4, n\cdot x)$$

Das Einsetzen einiger Zahlen zeigt, dass der Term n = 1 die anderen Terme dominiert, sodass wir höhere n Terme weglassen können, was zu führt

$$P \approx 10^{-154} \ \mathrm{Wm^{-2}}.$$

Das ist winzig . Im Laufe der Lebensdauer des Universums können Sie im Durchschnitt erwarten, dass keine Röntgenphotonen vom Filament emittiert werden.

Genauere Behandlungen könnten Ihnen genauere Zahlen liefern (wir haben beispielsweise die Oberfläche des Filaments und den Raumwinkelfaktor ignoriert), aber die Größenordnung ist sehr aussagekräftig - von einem Standardlicht werden keine Röntgenphotonen emittiert Birne.

Die Wellenlängen des emittierten Lichts können anhand des Brettgesetzes und der Temperatur des Objekts berechnet werden. Für Ihre durchschnittliche 100-W-Glühlampe beträgt der Glühfaden laut Google 2823 Kelvin.

Die spektrale Strahlkraft ,$B$, ist gleich

$$\frac{1.2\cdot10^{52}}{\mathrm{wavelength}^{5}\cdot e^{\frac{1.99\cdot10^{43}}{\mathrm{wavelength}\cdot4\cdot10^{26}}}-1}$$

Die mathematische Lösung für die spektrale Strahlung ist schwierig, daher erledigt dieser Online- Rechner die ganze Arbeit. Röntgenstrahlen liegen zwischen 0,01 nm und 10 nm. Die Gesamtstrahlung bei 10nm ist$2.7\cdot10^{-187}$Photonen/s/m2/sr/µm. Das ist so unglaublich klein, dass es sehr lange dauern würde, bis diese Glühbirne ein Röntgenphoton aussendet. Der Rechner gibt nicht die spektrale Strahlung der Röntgenstrahlen mit kleineren Wellenlängen an, also verwenden wir einfach die größten Röntgenstrahlen.

Um herauszufinden, wie viele Photonen pro Sekunde emittiert werden, müssten Sie die Oberfläche des Filaments kennen. Es ist ein winziger Metallstich, der schwer herauszufinden wäre, aber wenn Sie wirklich wollen, brechen Sie eine Zwiebel auf und messen Sie ihre Länge und ihren Durchmesser mit einem Messschieber. Schätzen Sie die Oberfläche mit der Formel für die Oberfläche eines Zylinders A = πdh. Vergiss die Enden, sie sind zu klein, um sich darum zu kümmern.

Wenn Sie sich nicht die Mühe machen wollen, eine Glühbirne zu zerbrechen, machen Sie eine wilde Vermutung. 0,6m Länge u$5\cdot10^{-4}$Durchmesser, großzügig sein. Fläche von 0,001 m ² . So$2.7\cdot10^{-187}$Photonen/s/m^2/sr/µm, dann mit gegebener Oberfläche,$2.7*10^{-190}$Photonen/s/sr/µm. Das sind jeweils 8,5 Photonen$10^{186}$Jahre. Wenn Sie 100.000.000.000.000 Glühbirnen anschauen, könnten Sie vielleicht in Ihrem Leben eine Röntgenaufnahme machen.

Ich werde eine geschlossene Form für das Integral in Chris Cundys Antwort geben.

Substitution machen$u=nx$, wir bekommen

$$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{x_{min} \cdot n}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{u}{n}\right)^3e^{-u}\mathrm{d}u$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \Gamma(4,x_{min}\cdot n)$$

wo$\Gamma$ist die obere vollständige Gammafunktion. Wir schreiben$a=x_{min}$Da er häufig verwendet wird, ist ein kurzer Name sinnvoller. Unter Verwendung der Reduktionsformel für die Gammafunktion erhalten wir, wenn das erste Argument eine Ganzzahl ist:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n^4}e^{-an}\left(6+6an+3a^2n^2+a^3n^3\right)\right)$$

$$6\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}e^{-an} + 6a\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}e^{-an}+ 3a^2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}e^{-an}+a^3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-an}$$

Nun beachte das

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-an} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left[\frac{1}{n}e^{-an}\right]=\sum_{n=1}^{\infty}-e^{-an}=-\sum_{n=1}^{\infty}(e^{-a})^n=1-\frac{1}{1-e^{-a}}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-an} = \int 1-\frac{1}{1-e^{-a}} \mathrm{d}a = -\ln|1-e^{-a}|$$

Die anderen Terme erhalten wir auf ähnliche Weise. Das Endergebnis ist:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{\infty} x^3e^{-nx}dx = -6\mathrm{Li}_4(e^a)+6a\mathrm{Li}_3(e^a)+6a^2 \mathrm{Li}_2(1-e^{-a})-9a^2\mathrm{Li}_2(e^a)\\+2a^3\ln|1-e^{-a}|-9a^3\ln|1-e^{a}|+5\frac{3}4 a^4$$

Ich habe ein Computer-Algebra-System verwendet, um diese Form zu finden.$\mathrm{Li}_n$ist die Polylogarithmusfunktion.