Wie wäre es mit einer exakten Lösung für die Position eines Planeten als Funktion der Zeit?

Kürzlich stellte ich überrascht fest, dass es keine exakte Lösung für die Position eines Planeten als Funktion der Zeit gibt. Ich beziehe mich auf das Zwei-Körper-Problem in einem Gravitationsfeld, in dem das Newtonsche Gravitationsgesetz gilt.

Bekannt sind Beweise dafür, dass sich der Planet in einer Ellipse bewegt, Keplersche Gesetze lassen sich recht einfach ableiten usw., aber für die exakte Position des Planeten auf der Ellipse als Funktion der Zeit gibt es keine Formel, sondern nur numerische Näherungen.

Ist das richtig?
Kann jemand die tieferen Gründe erläutern, warum dieser relativ einfache Fall nicht gelöst werden kann?

Sind Sie sicher, dass es keine exakte Lösung gibt? Vielleicht unter besonderen Bedingungen. Andernfalls haben Sie en.wikipedia.org/wiki/…
Siehe Wikipedia : Das Problem besteht nicht darin, eine Gleichung abzuleiten, die Zeit beinhaltet, sondern darin, dass die Gleichung transzendental ist . Aber ich denke, diese "Unlösbarkeit" tritt erst bei drei und mehr Körpern auf
Sind elliptische Funktionen (siehe Antwort von mbq) nicht böser als transzendentale Funktionen wie sin, exp, log?
Nichts "Böses" an transzendentalen Funktionen wie elliptischen Funktionen. Eigentlich sollte man froh sein, dass sich die Lösung dieses Problems in gut untersuchten Funktionen ausdrücken lässt!
Ok transzendental. Log, exp, sin, cos sind transzendente Funktionen, aber eine solche Lösung wäre aus meiner Sicht "exakt". Gibt es nicht einen grundlegenden Unterschied zwischen log, exp, sin, cos und elliptischen Funktionen?!
Nö, soweit ich weiß nicht. Es ist nur so, dass wir mit elliptischen Funktionen weniger vertraut sind als beispielsweise mit trigonometrischen. Obwohl das vielleicht etwas ist, was man auf der Math SE-Site fragen sollte.
Gerard: Das könnte von Interesse sein. :) Der Punkt ist, dass elliptische Funktionen mindestens so nützlich sind wie trigonometrische Funktionen, nur weniger beliebt (was ich schade finde, da ihr Studium nicht schwieriger ist als das Studium trigonometrischer Funktionen).

Antworten (2)

Das heißt nicht, dass es keine exakte Lösung gibt, sondern nur die exakten Lösungen für X ( T ) Und j ( T ) Elliptische Funktionen verwenden. Das Problem, ob elliptische Funktionen (die durch die Umkehrung einiger Integrale definiert sind) "gute" Funktionen sind, ist ein bisschen philosophisch; man kann einerseits sagen, dass der Sinus keine reelle Funktion ist, weil man eine unendliche Reihe integrieren oder summieren muss, um ihn zu berechnen, und andererseits, dass sogar die Lorentz-Attraktor-Lösung als drei chaotische Lorentz-Funktionen mit 4 Parametern bezeichnet werden kann A , B , C Und T und tabelliert.

Ich habe dies als Lösung akzeptiert, aber ich habe immer noch das Gefühl, dass diese elliptischen Funktionen irgendwie zeigen, dass die Lösung nicht "exakt" ist.
Warum werden dann die Dinge in Form von Sinus und Cosinus "exakt" ausgedrückt? Nicht alle sind als algebraische Zahlen ausdrückbar 2 2 .
@Gerard Wie ich auszudrücken versucht habe, ist Genauigkeit nicht gut definiert, Sie können sie also so nennen, wie Sie möchten (-; Andererseits wird dieses Problem normalerweise als sehr genau angesehen, da die Pfadgleichung in radialen Koordinaten ( R ( ϕ ) ) ist ganz einfach.
@Gerard: Eine elliptische Funktion ist genauso genau wie die Sinusfunktionen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass letzteres gelehrt wird, während ersteres im College kaum verwendet wird. Was hat der eine, was der andere nicht hat?
Einverstanden: Sinus und Cosinus sind lediglich Lösungen einer Differentialgleichung y'' + cy = 0, die die Eigenwertgleichung für den Operator '' ist. Dies ist der Laplace-Operator in 1d. Studieren Sie dies in höheren Dimensionen mit geradlinigen Randbedingungen und Sie haben immer noch Sinus. Aber bei zylindrischen/sphärischen Randbedingungen entdeckt man sofort Bessel-Funktionen und sphärische Harmonische. Sie lernen, dass Sie nicht wirklich viel über den Sinus "wissen", außer dass er vertraut ist. Ebenso für viele andere Arten von Lösungen für ODEs: Sie erscheinen natürlich und sollten respektiert werden!

Ich glaube, ich habe kürzlich eine Lösung dafür gelernt.
Ich hoffe, die Kepler-Gleichung kann hilfreich sein; das ist:

M = 2 π T P = E − e Sünde ⁡ E

Wo E ist definiert durch:

bräunen ⁡ E 2 = 1 − e 1 + e bräunen ⁡ θ 2

Und e & θ sind Exzentrizität der Umlaufbahn bzw. echte Anomalie.

Wie wäre es mit einer exakten Lösung für die Position eines Planeten als Funktion der Zeit?
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