Wie wird ein Zustandsvektor nach der Messung auf einen Eigenraum projiziert?

1) Es sei ein Hilbertraum gegeben$H$und ein gemischter Zustand, der durch einen Dichteoperator beschrieben wird $\hat{\rho}:H\to H$, was ein positiver Operator ist $\hat{\rho}\geq 0$, und mit Spur${\rm Tr}(\hat{\rho})=1$.

2) Lass$V\subseteq H$sei ein Eigenraum von Zuständen für eine hermitesche Observable $\hat{A}:H\to H$mit Eigenwert$\lambda\in\mathbb{R}$. (Wir werden Feinheiten mit unbegrenzten Operatoren , Domänen, selbstadjungierten Erweiterungen usw. in dieser Antwort ignorieren.)

3) Lass$\hat{P}:H\to H$sei der Projektionsoperator auf$V$. Es ist der eindeutige Operator, so dass

1. $\hat{P}$ist hermitesch$\hat{P}^{\dagger}=\hat{P}$(und daher$\hat{P}$ist orthonormal diagonalisierbar).
2. Ein Idempotent$\hat{P}^2=\hat{P}$(und kann daher nur Eigenwerte haben$0$Und$1$).
3. Der Eigenraum${\rm ker}(\hat{P}-1)$für$\hat{P}$mit Eigenwert$1$ist gleich dem Unterraum$V$.

Wenn$(\mid\psi_i\rangle)_{i\in I}$ist eine orthonormale Basis für$V$, Dann

4) Dann der Zusammenbruch $\hat{\rho}\longrightarrow \hat{\rho}^{\prime}$des Dichteoperators aufgrund der Messung wäre

5) Für einen reinen Zustand$\hat{\rho}=\mid\psi\rangle\langle\psi\mid$, der Kollaps$\mid\psi\rangle\longrightarrow\mid\psi\rangle^{\prime}$wird

Also wenn man von einem reinen Zustand ausgeht$\mid\psi\rangle$, der kollabierte Zustand$\mid\psi\rangle^{\prime}$wäre auch rein.

Die genaue Projektion, die eine Messung macht, hängt von den Details des Messvorgangs ab. Eine idealisierte Positionsmessung ist eine unmögliche Sache, weil sie auf einen Zustand von unendlich unbestimmtem Impuls und unendlicher Energie projizieren würde.

Jede Wechselwirkung eines Quantenteilchens mit einem anderen Quantensystem, die mit einem Produktzustand beginnt, in dem sich das Teilchen in dem Zustand befindet$\psi$und das System ist im Zustand$\chi$erzeugt einen verschränkten Zustand, bei dem verschiedene Zustände des Teilchens mit verschiedenen Zuständen des Systems verschränkt sind. Wir sagen, dass das System das Teilchen „misst“, wenn einige der Zustände des Systems einen klassischen Eindruck hinterlassen. Wenn das Messgerät aufhört, mit dem Partikel zu interagieren, sieht der verschränkte Zustand des Partikels wie eine Dichtematrix aus, und das Partikel verbleibt im relativen Zustand zum entsprechenden Zustand des Messgeräts, wie durch das Ergebnis projiziert.

Das Konzept des relativen Zustands stammt von Hugh Everett und ist von zentraler Bedeutung für die Viele-Welten-Interpretation. Abgesehen von der Interpretation ist es das zentrale Werkzeug zur Beschreibung nicht idealisierter Messbegriffe in der Quantenmechanik.

Wenn Sie also ein Photon der Wellenlänge streuen$\lambda$von einem Teilchen erhalten Sie unterschiedliche Streuwinkel an verschiedenen Positionen. Der Streuwinkel ist mit der Teilchenposition verschränkt. Wenn Sie das Photon dann von einem lichtempfindlichen Gerät absorbieren lassen, verrät die Position des Photons, welcher bestimmte Zustand des Teilchens vorliegt. Die Beschreibung eines Teilchens, wenn es verschränkt ist, erfolgt nicht mehr durch eine Wellenfunktion, sondern durch eine Dichtematrix, und dies gilt weiterhin, es sei denn, das ausgehende Photon kehrt zum Teilchen zurück, um die Verschränkung aufzuheben. Wenn die Messung makroskopisch wird, wird dies einfach nicht passieren, weil sich das Photon mit allem anderen verschränkt hat.

Angenommen, Sie sind im Staat

$|\alpha_1\rangle$Und$|\alpha_2\rangle$sind Eigenvektoren der Observablen$A$, beide mit Eigenwert$\alpha$.$|\beta\rangle$ist auch ein Eigenvektor dieser Observablen, aber mit dem anderen Eigenwert$\beta$.

Wenn Sie eine Messung vornehmen$A$und das Ergebnis ist$\alpha$, wird der Zustand des Systems zum Zustand

mit$N$ein Faktor, der gewählt wurde, um den Zustand normalisiert zu halten.

Wenn Sie den Zustand nicht kennen$|\Psi\rangle$bevor Sie die Messung durchführen, dann führen Sie die Messung durch und erhalten den Wert$\alpha$, Sie kennen die Wellenfunktion nach der Messung nicht. Unter der Annahme der drei Zustände$|\alpha_1\rangle, |\alpha_2\rangle, |\beta\rangle$Basis bilden, kann man nach der Messung nur sagen

mit$p^*p + q^*q = 1$, aber du weißt nicht was$p$Und$q$Sind. Wenn Sie sie bestimmen wollen, sollten Sie sich einen anderen Operator suchen$B$mit dem pendelt$A$, so dass$|\alpha_1\rangle$Und$|\alpha_2\rangle$sind Eigenvektoren von$B$, haben aber unterschiedliche Eigenwerte. Dann messen$B$ermöglicht es Ihnen, den Zustand vollständig zu bestimmen.

Der Projektionsoperator auf einen Unterraum$E$von einer Menge orthogonaler Zustände überspannt$\{|e_k\rangle\}$Ist

Das war der einfache Teil. Aber herauszufinden, ob Sie nach einer Messung einen reinen Zustand oder einen gemischten Zustand haben, ist in gewisser Weise eine Frage der Definitionen.

Stellen Sie sich ein einzelnes Quantensystem vor, das in einem reinen Zustand beginnt$|\psi\rangle$oder$\rho$(wenn Sie Dichteoperatoren bevorzugen). Angenommen, Sie messen eine Observable, die dem Operator entspricht$A$. Als hermitescher Operator$A$hat Eigenzustände$|a^i_k\rangle$, verbunden mit Eigenwerten$a^i$, die eine orthonormale Basis bilden. Nehmen wir an, das Ergebnis, das Sie erhalten, ist$a^0$; dann projiziert diese bestimmte Messung den Zustand des Systems auf den Unterraum$A_0$von den Eigenzuständen aufgespannt$|a^0_k\rangle$:

Offensichtlich, wenn Sie es mit einer einzelnen Messung auf einer einzigen zu tun haben System zu tun haben, unter der Annahme, dass Sie mit einem reinen Zustand begonnen haben, den Zustand nach der Messung als einen reinen Zustand ausdrücken.

Was aber, wenn Sie stattdessen ein großes Ensemble von Systemen haben, die alle identisch präpariert und dann gemessen werden? Nach der Messung für jedes mögliche Ergebnis$a^i$, eine Fraktion$p(a^i)$der Systeme wird das Ergebnis erzeugt haben$a^i$und wird somit im Staat sein$P_{A_i}|\psi\rangle$oder$P_{A_i}\rho P_{A_i}$. Dies ist eine Mischung von Systemen in verschiedenen reinen Zuständen und entspricht somit einem gemischten Zustand

Der Hauptunterschied besteht darin, dass Sie mit einem einzigen System das Ergebnis der Messung kennen konnten, dh das Wissen, das Sie benötigten, um einen einzigen reinen Zustand aus der Mischung zu "extrahieren". Aber in diesem Fall können Sie das nicht tun, weil Sie viele verschiedene Ergebnisse der Messung haben.