Wirkungsgrad des Stirlingmotors und Satz von Carnot

Überarbeitete Antwort. 01.07.2017

Das ist kein Widerspruch, denn Ihre Analyse beinhaltet nur, was mit dem gasförmigen Arbeitsstoff im Stirlingmotor passiert, und vernachlässigt eine entscheidende Komponente des Motors, den Regenerator. Wenn der Regenerator bei der Effizienzanalyse nicht als Bestandteil des Motors einbezogen wird, haben wir kein Gerät, das sich als Wärmekraftmaschine zwischen zwei Temperaturen qualifiziert, und wir sollten daher nicht erwarten, dass es sich an Carnot hält Satz, wie ich in der Originalversion dieser Antwort angegeben habe.

Wenn wir jedoch den Regenerator richtig berücksichtigen, dann stellen wir fest, dass der Wirkungsgrad des Motors der Carnot-Wirkungsgrad ist .

Natürlich ist die ganze Analyse hier eine idealisierte, bei der wir zum Beispiel davon ausgehen, dass es keine Energieverluste durch Reibung in den Komponenten des Motors gibt.

Einzelheiten.

Ein Stirlingmotor ist komplexer als der$P$-$V$Das in der Fragestellung gezeichnete Diagramm scheint darauf hinzudeuten. Wenn wir den Motor konzeptionell auf seine einfachste Form reduzieren, enthält er zwei grundlegende Komponenten:

1. Ein gasförmiger Arbeitsstoff . Dies ist der Teil des Motors, dessen thermodynamischer Zustand entlang der Kurve in der wandert$P$-$V$Diagramm.
2. Ein Regenerator . Dieser Teil des Motors absorbiert und speichert die Energie, die der gasförmige Arbeitsstoff während des Prozesses durch Wärmeübertragung abgibt$2\to 3$und gibt diese Energie dann während des Prozesses an den gasförmigen Arbeitsstoff zurück$4\to 1$.

Der entscheidende Punkt ist, dass bei Einbeziehung des Regenerators während der Prozesse keine Nettowärmeübertragung in den oder aus dem Motor erfolgt$2\to 3$und$4\to 1$. Die Energie, die das gasförmige Arbeitsmittel während des Prozesses verlässt$2\to 3$durch Wärmeübertragung wird im Regenerator gespeichert, und diese Wärme wird dann während des Prozesses wieder an das Arbeitsmittel abgegeben$4\to 1$. Während dieser Phasen des Zyklus wird keine Wärme zwischen dem Motor und seiner Umgebung übertragen.

Daraus folgt, dass die einzige auf den Motor als Ganzes übertragene Wärme während übertragen wird$1\to 2$. Dies qualifiziert das Gerät als Wärmekraftmaschine (siehe alte Antwort unten) und der Wirkungsgrad des Motors wird dann als Verhältnis der Nettoarbeitsleistung dividiert durch die Wärmezufuhr im Prozess berechnet$1\to 2$. Dies ergibt den Carnot-Wirkungsgrad , wie er sollte.

Meine ursprüngliche Antwort behauptete, dass der gezeichnete Zyklus nicht den Betrieb einer Wärmekraftmaschine darstellt, die zwischen zwei Temperaturen arbeitet, aber ich habe den Regenerator vernachlässigt, und ich glaube, das haben Sie implizit auch in der ursprünglich durchgeführten Berechnung getan, und dies ergab der falsche Wirkungsgrad.

Ursprüngliche, unvollständige Antwort.

Es gibt keinen Widerspruch. Der Stirling-Zyklus, den Sie oben gezeichnet haben, ist reversibel, arbeitet jedoch nicht zwischen zwei Reservoirs bei festen Temperaturen$T_1$und$T_2$. Die isovolumetrischen Teile des Zyklus arbeiten bei sich ständig ändernden Temperaturen (denken Sie an das ideale Gasgesetz).

Alter Nachtrag. Beachten Sie, dass in der Thermodynamik eine Wärmekraftmaschine zwischen (zwei Reservoirs bei) Temperaturen arbeiten (oder arbeiten) soll$T_1$und$T_2$vorausgesetzt, die gesamte Wärme, die es aufnimmt oder abgibt, erfolgt bei einer dieser beiden Temperaturen.

Um dieser Definition Glaubwürdigkeit zu verleihen (die im Wesentlichen in den meisten Diskussionen über Wärmekraftmaschinen enthalten ist, die ich gesehen habe), hier ein Zitat aus Fermis Thermodynamik-Text:

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir einen reversiblen zyklischen Motor beschrieben, den Carnot-Motor, der eine Menge Arbeit verrichtet$L$während jedes seiner Zyklen durch Aufnahme einer Wärmemenge$Q_2$aus einer Quelle bei Temperatur$t_2$und Abgabe einer Wärmemenge$Q_1$zu einer Quelle bei der niedrigeren Temperatur$t_1$. Wir werden sagen, dass ein solcher Motor zwischen den Temperaturen arbeitet$t_1$und$t_2$.

Der Stirling-Zyklus, wie Sie ihn beschreiben, ist nicht umkehrbar. Die Übertragung von Wärme aus Wärmereservoirs entlang der Pfade 4->1 und 2->3 ist kein reversibler Prozess, da Wärme zwischen zwei Objekten mit unterschiedlichen Temperaturen übertragen wird. Um den Prozess umzukehren, müssten Sie spontan Wärme von einem kälteren zu einem heißeren Reservoir übertragen, was gegen den 2. Hauptsatz der Thermodynamik verstößt.

Stirlingmotoren werden oft als reversibel bezeichnet, dies erfordert jedoch ein spezielles Verfahren. Beachten Sie, dass die Wärme, die entlang 4->1 in den Motor übertragen wird, die gleiche ist wie die Wärme, die entlang 2->3 aus dem Motor übertragen wird, und dass 4->1 und 2->3 zwischen denselben zwei Temperaturen arbeiten. Daher kann ein Carnot-effizienter Stirlingmotor konstruiert werden, wenn die Wärme innerhalb des Motors entlang dieser Wege isotherm übertragen wird. Dies wird mit einem "Regenerator" erreicht, einer thermischen Masse, die die in 2->3 freigesetzte Energie speichert und sie auf dem Weg 4->1 an das Gas zurückgibt. Sie können sehen, dass der Regenerator zwischen T2 und T1 kontinuierlich in der Temperatur variieren und beim Durchgang Wärme isotherm mit dem Gas austauschen muss.

Beachten Sie, dass alle reversiblen Motoren mit der gleichen Effizienz arbeiten müssen. Dies folgt aus den Definitionen von Effizienz und Entropie. Ein reversibler Motor arbeitet mit 0 Entropieänderung.$\Delta S = -\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c}$, Also$\Delta S = 0$impliziert$\frac{Q_h}{T_h} = \frac{Q_c}{T_c}$oder Effizienz =$\frac{Q_h - Q_c}{Q_h} = \frac{T_h - T_c}{T_h}$

In einem idealen Stirling-Zyklus haben die isochoren Schritte einen Wärmeaustausch über eine infinitesimale Temperaturdifferenz, die dadurch aufrechterhalten wird, dass der Regenerator einen kontinuierlichen Temperaturgradienten zwischen den heißen und kalten Reservoirs aufweist. Das Gas kann dann entsprechend diesem Gradienten abkühlen oder erwärmen. Dies ist der sehr ideale Teil des Designs, der eine Nulländerung der Entropie während der beiden isochoren Stufen ermöglicht. Diese Wärme wird nur intern hin- und hergeschoben, sodass der einzige tatsächliche Austausch mit der Außenwelt über das heiße Reservoir nach innen und über die Kälte nach außen erfolgt. Daher der ideale Wirkungsgrad. Ich bin mir nicht sicher, ob es richtig ist, das, was in den Regeneratorstufen passiert, als isotherm zu bezeichnen. Die Temperatur ändert sich kontinuierlich, aber im Idealfall immer über einen verschwindend kleinen Unterschied. Gibt es dafür einen allgemein gebräuchlichen Begriff? Dennoch,

Ich habe bei meinen Recherchen im Internet zum Thema Stirlingmotoren festgestellt, dass viele Quellen diese Ideen verwirren. Ich habe oft Effizienzanalysen gesehen, die die Wirkung des Regenerators völlig außer Acht lassen. Dies hängt möglicherweise damit zusammen, dass isochore Prozesse normalerweise nicht mit einer Nulländerung der Entropie verbunden sind, aber im Fall des Stirlingmotors handelt es sich um eine ganz besondere Art dieses Prozesses, indem ein Regenerator verwendet wird.

Der ideale Stirlingmotor hat den gleichen Wirkungsgrad wie der Carnot-Zyklus, aber sein Vorteil besteht darin, dass er den Bau echter Motoren ermöglicht, die zwar möglicherweise keine perfekten isothermen und völlig glatten isochoren Stufen des Regenerators erreichen, aber nahe kommen und sind viel praktikabler als die Möglichkeit, einen praktischen Carnot-Motor zu bauen.

In Wirklichkeit erreichen real hergestellte Stirlingmotoren nicht den vollen idealen Carnot-Wirkungsgrad, aber viele sind viel besser als andere Arten von Wärmekraftmaschinen.

Abschließend unter Berücksichtigung des idealen Stirlingmotors:

(1) Der ideale maximale Wirkungsgrad des Carnot-Motors wird erreicht. (2) Ihre Rechnung widerspricht dem nicht, weil sie falsch ist. Sie rechnen die in den isochoren Phasen ausgetauschte Wärme in die Kosten ein, während die einzigen Kosten die externe Wärmezufuhr während des isothermen Arbeitstakts sind. (3) Dieser Zyklus ist reversibel, da es während der isochoren Phasen keine Entropieänderung gibt. (4) Das Diagramm allein reicht nicht aus, um dies zu zeigen, da wir auch wissen müssen, dass der ideale Regenerator den dritten Punkt ermöglicht. Das heißt, wenn Sie den Regenerator entfernen, ist das Diagramm immer noch dasselbe.

Das Problem ergibt sich aus der 9. Gleichung. Beachten Sie, dass sich die Wärme, die während der beiden Prozesse 4-1 und 2-3 übertragen wird, gegenseitig aufhebt. Die Wärme Q41 wird an den Regenerator abgegeben und dann von ihm durch das Arbeitsmaterial des Systems wieder absorbiert. Diese Wärmemenge wird "nicht" von dem heißen Reservoir an das System abgegeben oder von dem kühlen Reservoir absorbiert, sondern wird gewissermaßen "reversibel" zwischen zwei Teilen des Arbeitsmaterials selbst übertragen. Also, einschließlich der Hitze Q41 in der 9. Gl. als Teil der Wärme, die vom Heißbewahrer auf das System "übertragen" wird, ist der falsche Punkt in den obigen Berechnungen, der zu dem falschen Ergebnis in der 11. Gleichung geführt hat.

Jeder Zyklus auf dem pv-Diagramm ist reversibel. Wenn Sie nach Q auflösen, müssen Sie integrieren, und der Integrationsprozess selbst beinhaltet dT, was bedeutet, dass der Temperaturunterschied unendlich klein ist, wodurch der Prozess reversibel wird. Die von Ihnen abgeleitete Formel für den Wirkungsgrad des Stirlingmotors ist korrekt, außer dass die Anzahl der Mole (n) sich hätte aufheben müssen. Der Wirkungsgrad des Stirlingmotors ist geringer als bei Carnot und das ist in Ordnung. Wie einer von Ihnen erwähnt hat, kann man es nicht mit Carnot vergleichen, da der Wärmeaustausch im Carnot-Zyklus bei zwei festen Temperaturen stattfindet, während im Stirlingmotor der Wärmeaustausch auch entlang der beiden Prozesse mit konstantem Volumen stattfindet, bei denen die Temperaturen variieren. Im Carnot-Zyklus gibt es keinen Wärmeaustausch entlang der adiabatischen Kurven, entlang derer sich die Temperatur ändert. Ich hoffe das hilft.