Wo könnte Hertz pro Dioptrie eigentlich sinnvoll sein?

In der speziellen Relativitätstheorie ist Hertz pro Dioptrie eine hervorragende Einheit, um die gemeinsame Invarianz elektromagnetischer Phänomene im Verhalten aller Arten von Linsen, reflektierend oder brechend, unter den Auswirkungen der Lorentz-Transformation entlang der Bewegungsachse zu zeigen. Mir ist keine andere Einheit bekannt, die diese beiden Domänen auf diese Weise verbindet. Im Fall von refraktiven Linsen mit chromatischer Dispersion erweist sich die Invarianz als nicht trivial und etwas überraschend, da sie behauptet, dass die atomaren Materialien in einer Lorentz-komprimierten Linse eine sehr spezifische Beziehung in ihrer Wechselwirkung mit einem Spektrum von aufrechterhalten müssen Gamma-verschobene Lichtfrequenzen.

So funktioniert es für den einfacheren Fall mit reflektierenden Linsen. Stellen Sie sich zunächst eine Kugel mit einem Durchmesser von 4 Metern vor$f=280$THz resonante Infrarotlichtwelle im Inneren. Warum 4 Meter? Nun, ich versuche, die korrekte Definition von Dioptrie zu verwenden . Das ist die Brennweite einer refraktiven oder reflektierenden Linse, d. h. die Entfernung, die erforderlich ist, um paralleles Licht auf einen einzigen Brennpunkt zu bündeln. In diesem Fall ist die Linse reflektierend und hat eine sphärische Krümmung . Betrachtet man nur einen Bereich, der klein genug ist (z. B. 2 cm im Durchmesser), um sphärische Aberration zu vermeiden, wird die Brennweite des$d=4$m Kugel ist$L=\frac{1}{2}r=\frac{1}{4}d=\frac{1}{4}4=1$M. Eine Kugel mit 4 m Durchmesser ergibt also korrekterweise eine Dioptrie (Krümmung) von$\delta=1/L=1/1=1$D, wo D$=m^{-1}$.

Als nächstes beschleunigen Sie die Kugel entlang ihrer X-Achse auf eine Geschwindigkeit von$v=\sqrt{\frac{3}{4}}$c, was einen Lorentzfaktor von ergibt$\gamma=2$. Das bedeutet, dass sowohl die Kugel als auch das resonante Lichtmuster darin komprimiert werden$\frac{1}{2}$ihre ursprünglichen Längen entlang der X-Achse, aus der Perspektive eines relativ zu der sich bewegenden Kugel "ruhenden" Betrachters.

Für die kleinen reflektierenden Linsenbereiche um jedes Ende herum, wo die X-Achse die Kugel kreuzt, war die Vorbeschleunigungskrümmung$\delta_0=1D$(die tiefgestellte Null zeigt das Ruhebild an). Nach dem Beschleunigen zu$\gamma=2$Die Kugel wird zu einem abgeflachten Sphäroid, und die Krümmungen der beiden reflektierenden Linsenbereiche wurden auf reduziert$\delta_1=2D$, wobei höhere Dioptrienzahlen flachere Kurven anzeigen. (Der Beweis dafür bleibt dem Leser als Übung überlassen, ist aber nicht schwierig.)

Lassen Sie uns nun untersuchen, was mit der Frequenz des Lichts innerhalb der Kugel passiert. Das Schöne an der speziellen Relativitätstheorie ist, dass die Physik sowohl für den Beobachter als auch für das beobachtete System unveränderlich bleiben muss. Wenn also n Wellenlängen von resonantem Licht die Kugel entlang der X-Achse durchquert haben, bevor sie beschleunigt wurde, müssen nach der Kompression auch n Wellenlängen entlang derselben Länge vorhanden sein. Mit anderen Worten müssen auch die Wellenlängen der Strahlung (nur) entlang X halbiert werden, was zu einer doppelten Frequenz wie zuvor führt. Das transformiert die ursprüngliche X-Achse$f_0=280$THz-Licht der ruhenden Kugel hinein$f_1=560$THz-Licht in der sich bewegenden Kugel. Ein Beobachter im Ruhesystem würde dies als hellgrün sehen.

Aufmerksame Leser werden jetzt vielleicht sagen: "Hey, das kann nicht stimmen! Der Lorentz-Faktor verlangsamt auch die Zeit ... sollte das Licht in der sich bewegenden Sphäre nicht langsamer und damit weniger energiereich sein?"

Es stimmt zwar, dass die Zeit innerhalb der sich bewegenden Sphäre langsamer vergeht, aber es ist nicht richtig zu glauben, dass dasselbe Licht langsamer sein wird, wenn es vom Ruhesystem aus betrachtet wird. Für diese Situation gewinnt die Geometrie der Wellenlängen und das Licht sieht grün aus. Eine einfachere Art, sich das vorzustellen, ist jedoch, dass das Licht von einem Objekt, das sich bewegt, emittiert und reflektiert wird$\gamma=2$(oder gleichwertig$v=\sqrt{\frac{3}{4}}$c) wird der gewöhnliche Dopplereffekt seine Frequenz verdoppeln.

(@ColinK hat zu Recht bemerkt, dass die obige Erklärung einige wichtige Komplikationen beschönigt. Weitere Informationen finden Sie in seinem ausgezeichneten Kommentar. Ich werde versuchen, das bald anzusprechen.)

Jetzt ist es an der Zeit, dies alles zusammenzusetzen.

Das ursprüngliche Licht und die Sphäre hatten einen Eta-Faktor von:

$\eta_0=f_0/\delta_0 = (280 THz)/(1 D) = 280\times{10}^{12}$HPD

wobei 1 HpD = 1 Hz/D (Hertz pro Dioptrie).

Das sich bewegende Licht und die Kugel haben einen Eta-Faktor von:

$\eta_1=f_1/\delta_1 = (560 THz)/(2 D) = 280\times{10}^{12}$HPD.

Mit anderen Worten, der Eta-Faktor$\eta$, die die Lorentz-transformierten elektromagnetischen Wellen mit den Lorentz-kontrahierten physikalischen Spiegeln in Beziehung setzt, von denen sie reflektiert werden, ist für dieses Beispiel unverändert geblieben$\gamma=2$.

Es ist kein Einzelfall. Es ist leicht, das zu zeigen$\eta$ist eine universelle Invariante der speziellen Relativitätstheorie:

$\forall{v_i}(\eta_i=\frac{f_i}{\delta_i}= C)$

wobei C eine Konstante in Einheiten von HpD = Hz/D = Hertz pro Dioptrie ist.

Die bemerkenswerte Verallgemeinerung von all dem ist nun, dass durch die gleichen geometrischen Argumente und die Anwendung des Prinzips „Physik muss in beiden Fassungen erhalten bleiben“ auch refraktive Linsen unter das obige Argument fallen müssen. Wenn eine Brechungslinse eine chromatische Dispersion aufweist (die farbigen Ränder, die bei billigen Linsen zu sehen sind), wird die Konstante C in der obigen Gleichung zu einem frequenzabhängigen Wert$C(f)$. Die eta-Invarianz bleibt jedoch erhalten! Das ist überraschend, weil die Lichtstreuung ein ziemlich kompliziertes Phänomen ist, aber vom Ruhesystem aus müssen diese chaotisch komprimierten Atome dennoch die Eta-Invarianz beibehalten. Das ist ... unerwartet.

Somit haben HpD-Einheiten nicht nur eine echte physikalische Bedeutung, sondern eine Bedeutung, die sich direkt auf die ursprüngliche Absicht sowohl der Hertz- als auch der Dioptrien-Einheit bezieht (im Gegensatz zu nur Sein$m/s$verkleidet). Diese Bedeutung wiederum bietet eine einfache Möglichkeit, eine invariante Beziehung in der speziellen Relativitätstheorie auszudrücken, die die elektromagnetische und die mechanische Lorentz-Transformation auf unerwartete und nicht intuitive Weise miteinander verbindet.

Und schließlich, trotz all der oben genannten unerwartet interessanten (zumindest für mich!) SR-Beziehungen, entstand die HpD-Einheit wirklich als ein bisschen Humor in diesem xkcd-Diskussionsbeitrag (soweit ich das erkennen konnte) im Jahr 2007 . Also, Shrodingersduck aus der Demokratischen Volksrepublik Leodensia, wo auch immer Sie sich sechs Jahre später befinden, ich danke Ihnen dafür, dass Sie versehentlich eine interessante und ziemlich unterhaltsame Gelegenheit geschaffen haben, die spezielle Relativitätstheorie in einem ziemlich ungewöhnlichen Kontext zu erforschen.

Nachtrag 31.01.2013

Die Allgemeingültigkeit der HpD-Einheit in der speziellen Relativitätstheorie kann meines Erachtens noch weiter gefasst werden. Also, hier geht's:

Lichtfrequenz, geometrische Formen und frequenzabhängige Brechungsindizes ändern sich alle, wenn Systeme einer Lorentz-Transformation unterzogen werden, sodass sie nicht individuell Lorentz-invariant sind. Satz: Wenn die optischen Eigenschaften eines optischen Systems stattdessen mit HpD (Hertz pro Dioptrien) und/oder seiner inversen Einheit DpH (Dioptrien pro Hertz) beschrieben werden, bleibt die resultierende Beschreibung seiner optischen Eigenschaften unabhängig davon konstant ("eta-Invarianz") des relativistischen Rahmens oder der Orientierung, aus der das optische System analysiert wird.

Das ist nur ein Theorem. @ ColinKs hervorragende Beobachtung, dass das Doppler-Argument, das ich vorgebracht habe, falsch sein könnte, weil die Verschiebung unterschiedlich funktioniert, je nachdem, ob sich das Licht mit oder gegen die Geschwindigkeit bewegt, betrifft mich immer noch. Ich möchte mir das also viel genauer ansehen und sehen, ob ich mein eigenes Theorem widerlegen kann.

Aber wäre es nicht entzückend, wenn sich herausstellen würde, dass eine als Witz definierte Einheit relativistisch invariant ist, während die gemeinsamen Einheiten für dieselben Phänomene es nicht sind?

Die andere offensichtliche Verallgemeinerungsfrage lautet: Gilt die Eta-Invarianz (falls vorhanden) auch für andere Wellenphänomene?

Und schließlich, @JoeZeng, ich glaube, ich habe Ihre Frage falsch verstanden, ob die Eta-Faktoren (Beschreibungen optischer Komponenten mit HpD-Einheiten) mit der Lichtgeschwindigkeit zusammenhängen. Nun, HpD hat eine dimensionale Äquivalenz zu einer Geschwindigkeit ($m/s$), aber wenn es einen sinnvollen Weg gibt, einen HpD-Wert als Geschwindigkeit neu zu interpretieren, sehe ich ihn sicher nicht. Spannende Frage, aber...

Es ist ein Witz - Menschen etwas über Dimensionsanalyse beizubringen

Es kann einen gewissen Sinn machen, die Sekunde durch das Hertz (1/s) zu ersetzen, da es viel mehr physikalische Gleichungen gibt, bei denen eine Größe durch Sekunden geteilt als multipliziert wird - einfach weil Sie häufig die Geschwindigkeit von etwas untersuchen.

Wenn Sie dieser Logik bis zum Ende folgen, könnten Sie auch Dioptrien (1/m) verwenden und die Geschwindigkeit als Hertz/Dioptrien anstelle von Metern/Sekunde haben.