Wo sollte man Quantoren platzieren, wenn man Sätze in die Prädikatenlogik übersetzt?

Ich habe versucht, formale Logik zu lernen, bin aber etwas verwirrt. Wie würde ich angesichts des folgenden Schlüssels den Satz „Jeder, der Ingmar vertraut, vertraut einem Vegetarier“ symbolisieren?

Domäne: Menschen
Vx: x ist Vegetarier.
Txy: x vertraut y
i: Ingmar

In dem Text, den ich verwende, wird die richtige Antwort als ∀x[Txi→∃y(Txy&Vy)] angezeigt, aber ich habe mich gefragt, welche Auswirkung es hätte, den Umfang von ∃y zu ändern, sodass der Satz stattdessen als ∀ symbolisiert wird x∃y[Txi→(Txy&Vy)]? Gibt es einen Unterschied zwischen diesen beiden Übersetzungen? Soweit ich das beurteilen kann, bedeutet die erste Übersetzung, dass es für alle x Mitglieder der Domäne gilt, dass, wenn x Ingmar vertraut, es eine y-Person gibt, der x vertraut, und y ist Vegetarier. Während, wenn ich das richtig interpretiere, die zweite Übersetzung zu sagen scheint, dass es für alle x Menschen gilt, dass es eine y Person gibt, so dass, wenn x Ingmar vertraut, dann x auch y vertraut, der Vegetarier ist.

Antworten (1)

Ihre Umformulierungen von Formeln in Worten sind korrekt, aber in diesem Fall macht das Verschieben des Quantifizierers keinen logischen Unterschied (klassisch). Sie können dies überprüfen, indem Sie Formeln ohne Implikationen mit A → B = ¬A ∨ B in eine äquivalente Form umwandeln und dann die Tatsache verwenden, dass Quantoren frei über Konjunktion und Disjunktion bewegt werden können, solange die gebundenen Variablen unterschiedlich bleiben, siehe Pränex Normalform . Deswegen,

∀x[Txi → ∃y(Txy ∧ Vy)] = ∀x[¬Txi ∨ ∃y(Txy ∧ Vy)]

                        = ∀x∃y[¬Txi ∨ (Txy ∧ Vy)]  = ∀x∃y[Txi → (Txy ∧ Vy)].

Mit anderen Worten, die beiden "Symbolisierungen" sind logisch gleichwertig, obwohl die zweite in Worten umständlicher klingt. In manchen nicht-klassischen Logiken ist die Umrechnungsformel A → B = ¬A ∨ B ungültig, aber darüber musst du dir keine Gedanken machen, vermute ich.

Beachten Sie jedoch, dass selbst klassisch die Dinge anders wären, wenn Sie einen Quantor auf der Prämisse der Implikation und nicht auf der Schlussfolgerung hätten:

∀x[∃y(Txy ∧ Vy) → Txi] ist nicht logisch äquivalent zu ∀x∃y[(Txy ∧ Vy) → Txi].

Die Negation in ¬A ∨ B verhindert nun, dass man ∃y herausbewegt.

Interessanter Unterschied in der Terminologie. Ich würde den ersten Teil des if-then als den Antezedens des Bedingungssatzes bezeichnen . Die "Prämisse"-Terminologie, die ich normalerweise gesehen habe, beschränkte sich auf Prämissen eines Arguments (was natürlich als eine Art Bedingung angesehen werden kann).
@Dennis Bitte lesen Sie nicht zu viel hinein, ich dachte eigentlich daran, die Terminologie des Vordersatzes/Folgesatzes zu verwenden, entschied aber, dass es zu "schick" klingen würde.
Oh, ich habe definitiv nicht viel hineininterpretiert. Ich war eher neugierig, ob es andere Konventionen in anderen Teilen der Welt gibt, da ich (vielleicht fälschlicherweise) irgendwie den Eindruck bekommen habe, dass Sie nicht in den USA ansässig sind.
Wo sollte man Quantoren platzieren, wenn man Sätze in die Prädikatenlogik übersetzt?
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