Welche formalen logischen Systeme „lösen“ das Lügnerparadoxon?

In Hartry Fields Saving Truth from Paradox (2009) teilt er die Auflösung des Lügnerparadoxons in zwei weitgehend unterschiedliche Strategien auf. Entweder können wir die klassische Logik akzeptieren, müssen aber die Klasse von Aussagen einschränken, über die die Wahrheit sinnvoll operieren kann, oder wir können die logische Schlussfolgerung schwächen, um entweder die Ableitung eines Widerspruchs aus der Lügner-Proposition zu blockieren oder die Existenz eines Widerspruchs zu akzeptieren leugnen das Prinzip der Explosion - dass wir, wann immer wir einen Widerspruch haben, daraus alles schließen können, was wir wollen.

Wir könnten denken, dass eine Beschränkungsstrategie nutzlos ist, um sich Ihrer Herausforderung zu stellen, da Sie in der Lage sein möchten, die Lügner-Proposition darzustellen und robust zu verarbeiten. Wenn wir das denken, dann ist eine nicht-klassische Logik unerlässlich.

Nicht-klassische Ideen

Field selbst bevorzugt De Morgan Logics mit Explosion , aber nicht Excluded Middle . Das System, das er ursprünglich für die klassische Logik als Erweiterung der Basic De Morgan (BDM)-Logik (auch First Degree Entailment genannt) vorschlägt, kann in einem grundlegenden Rahmen für natürliche Deduktion aus Konjunktions- und Disjunktionseinführungen ausgezahlt werden, wobei bestimmte Klauseln für Negationen vorgesehen sind ( Nehmen Sie A, B, Cals Sätze und Γ, Γ'als Folgen von Sätzen). Wichtig ist, dass Ausgeschlossene Mitte und Explosion nicht nur logische Prinzipien sind, sondern primitive Axiome, die dem grundlegenden BDM hinzugefügt werden müssen:

Konjunktionen &-In -A, B Ⱶ A & B

&-Out- A & B Ⱶ A,A & B Ⱶ B

¬&-In- ¬A Ⱶ ¬(A & B),¬B Ⱶ ¬(A & B)

¬&-Out- wenn Γ, ¬A Ⱶ Cund Γ, ¬B Ⱶ CdannΓ, ¬(A & B) Ⱶ C

Disjunktionen v-In - A Ⱶ A v B,B Ⱶ A v B

v-Out- wenn Γ, A Ⱶ Cund Γ, B Ⱶ CdannΓ, (A v B) Ⱶ C

¬v-In-¬A, ¬B Ⱶ ¬(A v B)

¬v-Out- ¬(A v B) Ⱶ ¬A,¬(A v B) Ⱶ ¬B

doppelte Verneinung ¬¬-In -A Ⱶ ¬¬A

¬¬-Out-¬¬A Ⱶ A

Explosion Exp -A & ¬A Ⱶ B

ausgenommen Mitte Lem -Ⱶ A v ¬A

Auch beim Drehkreuz gehen wir von einigen konstruktiven Regeln aus:

Bestellen Sie Agnostizismus , wenn Γ Ⱶ Cdann Γ' Ⱶ C(wo Γ'ist eine Permutation der Sätze von Γ)

Bedingungsschwächung - wenn Γ Ⱶ C, dannΓ, A Ⱶ C

Transitivität - wenn Γ Ⱶ Bund Γ, B Ⱶ CdannΓ Ⱶ C

Die Idee hinter dieser Logik ist, dass man mit dem Lügner-Paradoxon tatsächlich falsch liegt, um zu beweisen, dass aus der Lügner-Proposition die Absurdität folgt. Mal sehen, wie der Beweis unter Verwendung der obigen Regeln aus dem Satz, der erfüllt, geht L == ¬L.

1. L Ⱶ ¬L(Definition von L)
2. L, ¬L Ⱶ L & ¬L(&-In mit A:L und B:¬L)
3. L Ⱶ L & ¬L(Transitivität mit 1. und 2.)
4. ¬L Ⱶ L(Definition von L)
5. ¬L, L Ⱶ L & ¬L(&-In mit A:¬L und B:L)
6. ¬L Ⱶ L & ¬L(Transitivität mit 4. und 5.)
7. L v ¬L Ⱶ L & ¬L(v-Out mit 3. und 6.)
8. Ⱶ L v ¬L(Lem)
9. Ⱶ L & ¬L(Transitivität, 7., 8.)
10. L & ¬L Ⱶ 0=1(Exp)
11. Ⱶ 0=1(Transitivität, 9., 10.)

Entweder das Blockieren von Lem oder Exp reicht aus, um die Schlussfolgerung auf 11 von 7 zu verhindern. Das Blockieren von Lem gibt Ihnen eine Theorie des Wertes 1 Sätze in Kleene Strong 3-value Logic (Wikipedia) ; Blocking Exp gibt Ihnen die LP-Logik von Graham Priest, wie sie in In Contradiction (1987) vorgestellt wird, die sowohl den Wert 1 als auch den Wert 1/2-Sätze unter derselben Semantik bewahrt.

Einige nützliche Beobachtungen zu jedem Zug:

• Das Blockieren von Lem entfernt die einzige Möglichkeit des Systems, Tautologien zu behaupten, daher gibt es aus diesem Grund keine rein logischen Wahrheiten. Wenn wir Regeln für einen Bedingungsoperator hinzufügen und ihn zu einer reflexiven ( Ⱶ A → A) materiellen Implikation mit Modus Ponens machen , würde die ausgeschlossene Mitte wieder als Theorem eingeführt werden, und daher müssen wir entweder auf die Bedingung verzichten, mpp/Reflexivität blockieren oder " A → Biff " ausdrücklich ungültig machen ¬A v B"
• Wenn wir Exp blockieren, müssen wir uns auch weigern, disjunktiven Syllogismus hinzuzufügen, um ihn zu ersetzen, da jeder den anderen im selben Hintergrund-Deduktionssystem beweist. Allerdings können wir in dieser Struktur immer noch einen Konditional (keinen materiellen, da wir den disjunktiven Syllogismus blockieren müssen) mit Modus Ponens beibehalten - er ist nur viel schwächer als alles Klassische, da Reductio Ad Absurdum einen viel eingeschränkteren Anwendungsbereich hat ohne weitere Regeln hinzuzufügen, um zu erklären, woher Absurditäten kommen.
• Beide Strategien können durch Hinzufügen von Regeln erweitert werden, um die Klassizität bei der Erfüllung bestimmter Hintergrundannahmen zu erfassen. Zum Beispiel führt Field eine Bedingung ein, die sich ausdrücklich klassisch verhält, wenn die ausgeschlossene mittlere Disjunktion als zusätzliche Prämisse auftritt, und es gibt nichts in Priests System, das verhindert, dass die explosive Schlussfolgerung für einige Aussagen wahr ist. Argumente für die Legitimität, dies zu tun, werden semantisch sein, und darauf wollen Sie jetzt nicht eingehen.

Die klassische Linie

Der Grund, warum nicht-klassische Ansätze angesichts Ihrer Untersuchungen notwendig erscheinen, liegt darin, dass Sie den Lügner streng propositional formuliert haben. Dies ist nicht die Norm in aktuellen klassischen Diskussionen über das Lügnerparadoxon. Nach Gödel und Tarski haben sich klassische Theorien der Paradoxvermeidung im Allgemeinen auf eine Wahrheitstheorie erster Ordnung berufen, wobei die Sätze oder Aussagen einer Sprache als Objekte fungieren, über die die Theorie quantifizieren kann. Das heißt, anstatt dass der Lügnersatz lautet, L: ¬Lnimmt er im Allgemeinen die Form an:

L: ¬Tr(<L>)

(wobei <L>die syntaktische Darstellung der Proposition oder des Satzes L ist und Trdie Eigenschaft erster Ordnung über Codes von Propositionen oder Sätzen ist und idealerweise immer dann gilt, wenn die Proposition oder der Satz, der codiert wird, wahr ist, und nicht gilt, wenn die Proposition oder der Satz falsch ist)

Wo ist der Unterschied? Nun, es macht den Begriff der Beschränkung viel haltbarer. Wir sagen nicht mehr, dass es einen Satz gibt, der seine eigene Negation behauptet (wir gehen davon aus, dass der propositionale Lügner einfach falsch formuliert ist), sondern dass es einen Satz gibt, der dem Code, der repräsentiert, die Eigenschaft zuschreibt, nicht wahr zu sein derselbe Satz. Dadurch wird die Paradoxizität des Lügners in den Bereich der syntaktischen Repräsentation von Sprache abgeführt, während die Idee beibehalten wird, dass Sätze mit selbstreferenziellen Merkmalen auf indirektere Weise ausgedrückt werden können. Für einen klassischen Theoretiker, der hofft, eine Theorie der Wahrheit zu konstruieren, bleibt es offen, dass er einen solchen Satz möglicherweise nur dann richtig definierbar hat, wenn zum Beispiel sehr hohe große Kardinalprinzipien in der Mengenlehre vorhanden sind.

Außer natürlich, Tarskis Theorem bedeutet, dass wir niemals eine vollständige interne Darstellung der Wahrheit in einer Sprache auf diese Weise haben werden. Wenn wir klassisch werden, wird unsere Theorie irgendwann einen Grenzwert akzeptieren müssen; oder, wie Tarski es ausdrückt, unsere Metasprache wird immer "wesentlich reichhaltiger" sein müssen als unsere Objektsprache. Dies ist für die meisten Mathematiker keine so große Sache, scheint aber ein ernsthaftes Problem für jede Hoffnung auf eine formelle Wiederherstellung einer klassischen Theorie der Wahrheit zu sein.

Viele klassische Logiker, die einer ähnlichen Linie wie Donald Davidsons Lektüre von Tarski folgen, haben versucht, Wahrheitstheorien auf axiomatische Weise zu formulieren – wir erfassen die Struktur einer Wahrheitstheorie, die bestimmte wünschenswerte Eigenschaften erfüllt, und bleiben agnostisch, ob solche Theorien irgendwelchen definierbaren entsprechen einzelne Eigenschaft, oder ob sie alles erfassen, was es über eine bestimmte Sprache oder ein bestimmtes System von Aussagen, Sätzen oder Behauptungen zu sagen gibt.

Wenn Sie im Prinzip gerne die Argumente von Field und Priest akzeptieren, aber weiter entwickelte Versionen der Ersetzungen für die Prinzipien sehen möchten, die sie ablehnen, könnten diese Theorien interessant sein, um hypothetische Wahrheitssysteme zu beschreiben, die einige paravollständige oder parakonsistente Theorien darstellen könnte letztendlich instanziieren. In der Zwischenzeit bewerten klassische Logiker sie in Abstraktion, um ihre beweistheoretischen Stärken zu berücksichtigen und potenzielle Anwendungen zu extrahieren. Es gibt einen leicht veralteten SEP-Artikel über einige der Arbeiten auf diesem Gebiet, der von Interesse sein dürfte, wenn Sie daran interessiert sind, weiter zu forschen.

Die aktuelle Antwort scheint nicht zu erwähnen, dass Ihr vorgeschlagenes formales System per Definition bereits fehlerhaft ist. Sie sagen, dass „¬L“ eine gültige Proposition ist, die Sie dann als „L“ bezeichnen. Es ist nichts falsch daran, solche Satzbildungsregeln für ein formales System willkürlich festzulegen , aber es entspricht einfach nichts Sinnvollem. Wieso den? Da ein Satz eine Tatsachenbehauptung darstellen soll , schlägt der erste Teil Ihrer Argumentation fehl, denn bevor Sie etwas als "L" bezeichnet haben, müssen Sie "L" bereits auf eine Tatsachenbehauptung beziehen. Aber das tut es nicht, also ist es sinnlos, Ihrer Argumentation zu folgen. Eine Analogie wäre zu sagen "Sei n = n + 1. (wobei n eine ganze Zahl ist)". Es ist bedeutungslos,

Kurz gesagt, Sie können sich nicht auf etwas beziehen, das Sie nicht definiert haben . Dies ist ein Prinzip, an dem wir in jeder Argumentation festhalten, nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Philosophie. Das von Ihnen vorgeschlagene formale System ergibt also keinen Sinn.

Es gibt jedoch eine interessante Variante, die in der anderen Antwort erwähnt wird, nämlich, ist es möglich, einen Satz P zu finden, so dass "P" äquivalent zu "¬Prov (P)" ist? "Prov" bezeichnet hier die metatheoretische Funktion derart, dass "Prov(P)" eine arithmetische Formel im fraglichen formalen System ist, die von N genau dann erfüllt wird, wenn das formale System P beweist. Tatsächlich gilt dies für jedes Formal System, das die PA erster Ordnung (Peano-Arithmetik) erweitert und in der Logik als Fixpunktsatz bezeichnet wird. Aber „¬Prov(⊥)“ kann von PA nicht bewiesen werden, obwohl es von N erfüllt wird , was die beabsichtigte Struktur war, die PA axiomatisieren sollte. Im Allgemeinen zeigt der Unvollständigkeitssatz von Gödel, dass das, was wir glauben, NDies kann von keinem formalen System mit entscheidbarer Beweisgültigkeit erfasst werden.

Man kann also sagen, dass die richtige Analyse des Lügnerparadoxons zu Gödels Unvollständigkeitssatz führt. Ebenso führt die richtige Analyse von Currys Paradoxon zu Lobs Theorem .

Beachten Sie schließlich, dass die natürliche Sprache Quines Paradoxon bietet , das im Gegensatz zum Lügnerparadoxon völlig ohne Zirkularität ist (keine Bezugnahme auf undefinierte Begriffe)!

„mit vorangestelltem Zitat von sich selbst ist ein falscher Satz.“ dem Zitat seiner selbst vorangestellt ist, ist ein falscher Satz.

Diese Konstruktion ist im Wesentlichen eine Quine . Der Unterschied besteht darin, dass, wenn wir davon ausgehen, dass jeder wohldefinierte Satz der Form „X ist Y“ einen Wahrheitswert hat, dies ein robustes Gegenbeispiel zu sein scheint. Sie können deutlich sehen, dass die erste Hälfte eine wohldefinierte Zeichenfolge ist und dass ihr das Zitat von sich selbst vorangestellt eine weitere wohldefinierte Zeichenfolge ist, von der der Satz behauptet, dass sie ein falscher Satz ist. Das Problem entsteht, wenn man versucht, dieser Behauptung einen Wahrheitswert zuzuordnen.

Zusätzlich zu dem, was gesagt wurde, schlage ich eine andere Sichtweise vor: Aus logischer oder mathematischer Sicht ist ein "Flip-Flop" zwischen zwei oder mehr Antworten nur dann ein Problem, wenn Sie entscheiden, dass dies der Fall ist. Sie könnten alle möglichen Antworten aufzählen und diese Menge könnte als richtige Antwort angesehen werden (oder Sie könnten eine Form von "Mittelwert" zwischen den Antworten berücksichtigen). Aber Sie wollen offensichtlich eine Antwort.

Aber wenn man die Zeit einführt , ist das überhaupt kein Problem: Es kann zu jeder Zeit t nur eine Antwort geben. Wenn es umkippt, wird es zu einer "Oszillation" (und beachten Sie, dass es, wenn es uns als " Paradoxon " erscheint, daran liegt, dass wir aufeinanderfolgende unterschiedliche Antworten aufzählen müssen, während wir mit unseren Berechnungen fortfahren, was Zeit erfordert ).

Daher wird das Problem "robust" lösbar, wenn Sie Zeit in Ihr Modell einführen, sowie Ursache und Wirkung (und Rückkopplungsregeln). Und tatsächlich, wenn wir jeder Berechnung eines Satzes im Lügnerparadoxon (traditionell modelliert) einen Zeitwert von 1 zuweisen, sehen wir ein Flip-Flop, während die Uhr tickt.

Die einfachste Anwendung von „Zeit“ wäre natürlich ein zeitliches Vorrangsystem zwischen Ihren Sätzen, das bei dem ersten stoppt, der eine relevante Antwort gibt. Bei automatischen Regelwerken, die auf der Basis von „first fit“ arbeiten, würde ein später widersprechender Vorschlag ignoriert werden. Aber das würde die Herausforderung in Ihrer Frage beseitigen.

Eine andere (am Anfang etwas komplexere, aber am Ende vielleicht weniger komplizierte) besteht darin, die Sätze A, B und C genauer zu definieren: Mit anderen Worten, sie wären Funktionen anderer Eigenschaften, die sich im Laufe der Zeit ändern könnten. Wir hätten also A(t), B(t) und C(t). Dann müssten wir die Ursache-Wirkungs-Regeln zwischen diesen Eigenschaften definieren (Prinzip der Rückkopplung ).

Das Ergebnis könnte eine einzige, eindeutige Antwort sein, oder es könnte zwischen zwei oder mehr Antworten wechseln (Oszillation), oder es könnte chaotisch werden (was im Allgemeinen unerwünscht ist) oder es würde ins Unendliche divergieren (was in der Physik oft der Fall ist gleichbedeutend mit "auseinanderbrechen") usw.

Das erfordert natürlich eine etwas erweiterte Art von Mathematik als Ihr formales Modell (obwohl seine Grundlagen dieselben wären): Tatsächlich sind es einfach die mathematischen Modelle digitaler Schaltungen . Aber vielleicht sind die Ergebnisse am Ende intuitiver.

Frühere Antworten erläutern die Mechanismen, wie dies funktioniert, aber ich möchte auf die Motivation eingehen. Sie können logischen Fiktionalismus akzeptieren , in dem Sinne, dass "wenn es Wahrheit gäbe, es sich so verhalten würde, wie es unsere Intuition diktiert und die klassische Logik befriedigt, aber es gibt keine Wahrheit".

Wir wissen aus unserer Interaktion, dass Logik große Bereiche relativer Konsistenz enthält, die es uns ermöglichen, mit Fakten zu arbeiten, aber wir haben auch die religiöse Intuition, dass wir bis zu einem gewissen Grad „immer sicher und göttlich beschützt“ sind und dass „Wunder geschehen“. Wir ignorieren routinemäßig Humes grundlegendes Argument und wir wissen, dass fast alles Ausnahmen hat. Die klassische Logik kommt dem ersteren entgegen, kann dem Paradoxon aber nicht vernünftig begegnen. Warum nicht letzteres zugeben?

Dann geht es nicht darum, Widerspruch zu vermeiden, auf keine der beiden Arten, wie wir dies versuchen. Es bedeutet, Ihre Abhängigkeit in Bereichen zu halten, die offensichtliche Fallstricke vermeiden, und Paradoxonen ad hoc Rechnung zu tragen, wenn sie auftreten, vorausgesetzt, dass unsere Erfahrung mit der Stabilität natürlicher Sprache bedeutet, dass dies nicht sehr oft passieren wird.

Das entsprechende logische System kann einfach klassische Logik sein, die auf beobachtbare Ableitungen beschränkt ist. Sie müssen nicht bis zu intuitionistischen oder konstruktivistischen Extremen gehen, noch müssen Sie Selbstreferenzen künstlich sequenzieren. Aber wenn es einen Konflikt gibt, braucht man ein Axiom, das ihn löst.

Der einfachste Ausweg, der in der breiten Antwort von @PaulRoss ausgelassen wird, ist Quines Herangehensweise an den Begriff der Fundiertheit: die Berufung auf „schwache Schichtung“. Sie nehmen das Gegenteil von Zorns Lemma als Axiom, das Sie dazu zwingt, alle Selbstreferenzen implizit zu ordnen, und Sie wählen eine Regel, um sie der Reihe nach anzusprechen.

Nach der Theorie der Typen haben Wahrheit und Falschheit Ordnungen, und Wahrheit und Falschheit in der Laiensprache sind mehrdeutig. Wenn wir sagen, dass ein Satz wahr ist, haben wir es unterlassen, die Reihenfolge der Wahrheit anzugeben. Wenn die Ordnungen von Wahrheit und Falschheit ausgesprochen werden, ist „Ich lüge“ kein Paradoxon.

Die Leute denken die ganze Zeit mit der Theorie der Typen; Deshalb sagte Russell, er habe die Theorie der Typen entdeckt – was impliziert, dass die Menschen tatsächlich so denken. Wenn ich zum Beispiel sage „der Schmelzpunkt von Eis ist t“, würde man erwarten, dass t eine Temperatur ist; wenn ich eine Länge, sagen wir 50 Fuß, für t ersetze, ist der resultierende Satz ein Unsinn.

Nehmen Sie zum Beispiel „x ist ein Mann“: „der Mond ist ein Mann“ ist falsch, aber dennoch bedeutsam; "Sokrates ist ein Mann ist ein Mann" macht jedoch keinen Sinn.

Einer Aussagenfunktion f(x) entspricht eine Gesamtheit {x | f(x) oder ~f(x) }, deren Mitglieder jeweils f(x) signifikant machen (entweder wahr oder falsch). Eine Totalität kann sich selbst nicht als Mitglied haben, weil eine Totalität nicht bestimmt werden kann, bis jedes ihrer Mitglieder bestimmt ist; wenn ein Mitglied der Totalität die Totalität selbst ist, entsteht ein Teufelskreis. Daraus folgt, dass eine Aussagefunktion sich selbst nicht als Argument haben kann.

Nach der Theorie der Typen bilden alle x, die „x ist ein Mann“ wahr oder falsch machen, einen Typ. Alle p's, die "p hat Wahrheit erster Ordnung" wahr oder falsch machen, bilden einen anderen Typ; p sind Aussagen erster Ordnung wie „Sokrates ist ein Mensch“. Sowohl „Sokrates hat Wahrheit erster Ordnung“ als auch „Sokrates ist ein Mann ist ein Mann“ sind Unsinn.

Alle Qs, die "Q hat Wahrheit zweiter Ordnung" ergeben, bilden den Typ dritter Ordnung. Q's sind solche Aussagen wie "'Sokrates ist ein Mann' hat Wahrheit erster Ordnung."

Und so weiter und so fort.

Prädikate über Personen heißen Aussagen erster Ordnung; Prädikate über andere Aussagen stehen eine Ordnung über der Aussage, die sie als Argumente annehmen. Somit liegt die Aussage „p ist falsch“ eine Ordnung über p. Im Paradoxon des Lügners ist "p ist falsch", wobei p = "p ist falsch" ein selbstreferenzieller Satz ist, dh "p ist falsch" sich selbst als Argument nimmt - das ist Unsinn, weil ein Argument zu einer Aussagefunktion gehören muss Sätze niedrigerer Ordnung oder Personen. Gemäß der Theorie der Typen macht das Lügnerparadox denselben Fehler wie „Sokrates ist ein Mann ist ein Mann“. Wörtlich genommen ist "Ich lüge" Unsinn.

Nach der Theorie der Typen haben Wahrheit und Falschheit jedoch Ordnungen. Genau genommen ist "'Sokrates ist ein Mann' ist wahr" nicht genau, es sollte geschrieben werden als "'Sokrates ist ein Mann' hat Wahrheit erster Ordnung". Daraus folgt, dass die Aussage „‚Sokrates ist der Mensch‘ hat Wahrheit erster Ordnung“ Wahrheit zweiter Ordnung hat.

Wenn die Reihenfolge der Wahrheit festgelegt ist, gibt es keinen Widerspruch, aber „Ich lüge“ wird zu einer gleichzeitigen Behauptung mehrerer Aussagen:

 I'm asserting a false statement of the 1st order. --- p2
 -False, because no first order statement is being asserted,
         a statement about a statement is at least 2nd order.

 I'm asserting a false statement of the 2nd order.  --- p3
 -True because p2 is asserted and is false.

 I'm asserting a false statement of the 3rd order.  --- p4
 -False because p3 is asserted and is true.

Und so weiter und so fort.

Wir können sehen, dass, wenn die Ordnungen von Wahrheit und Falschheit ausgesprochen werden , „Ich mache eine falsche Aussage der Ordnung 2n+1“ falsch ist, während „Ich mache eine falsche Aussage der Ordnung 2n“ wahr ist, aber es gibt kein Paradoxon.

Klassische Logik funktioniert gut!

Wir nehmen an, dass es einen Satz L gibt, so dass L = "L ist falsch"

1) L = "L ist falsch"

Jetzt wenden wir das Leibniz-Gesetz an: https://en.wikipedia.org/wiki/Identity_of_indiscernibles

2) L ist wahr, IFF „L ist falsch“ ist wahr

Mit der Definition der Wahrheit erhalten wir:

3) L ist wahr, WENN L falsch ist

Unsere Annahme war falsch! Es gibt kein L, so dass L = "L ist falsch"! (QED)

Aber DAS wird angenommen, um das Lügnerparadoxon zu konstruieren!

Beispiel:

1 L ist falsch

2 "L ist falsch" = L

3 „L ist falsch“ ist falsch

Hurkyl fragt, was das Lügnerparadoxon IST und was als Lösung angesehen werden kann. Er sucht auch nach einer Definition von Sätzen, nach den Regeln für deren Konstruktion und wie diese Regeln Paradoxien vermeiden. Eine große Bestellung :)

In der obigen Einführung habe ich den Stil der Aussagenlogik verwendet, bei dem Aussagen durch einzelne Großbuchstaben dargestellt werden. Dies ist nicht mein gewöhnlicher Stil. Ich ging davon aus, dass dies hier die Norm ist.

Wenn wir genauer hinsehen, sagt Paul Ross: „Das heißt, anstatt dass der Lügnersatz L: ¬L lautet, nimmt er im Allgemeinen die Form an:

L: ¬Tr() "

Aber immer noch mit Aussagenlogik im Grunde. Es werden formalere Systeme verwendet, vielleicht kommt der nächste interessante Beitrag von jemandem, der Boolesche Algebra verwendet?

Ich habe vorgeschlagen, dass die klassische Logik ausreicht, um mit dem Lügnerparadoxon umzugehen, aber wir müssen zumindest eine bessere Auflösung von Aussagen und eine Prädikatenlogik erster Ordnung zulassen. Oder ein anderes System zur Darstellung von Subjekt-/Prädikatsaussagen.

Lassen Sie mich also eine Subjektvariable x und eine Prädikatvariable Z verwenden und (zunächst) behaupten, dass jedes Subjekt x (das ein Objekt darstellt) mit jedem Prädikat Z (das eine Eigenschaft darstellt) verbunden werden kann, um die Proposition Zx zu bilden.

Ich gehe davon aus, dass die gewöhnlichen Regeln der Aussagenlogik für die Aussagen gelten. Wenn wir also Summenformeln mit unterschiedlichen Aussagen wollen, führen wir entweder mehr Variablen ein oder indizieren die Variablen, die wir haben. Eine strittige Frage zur Zeit, weil die Lügnerparadoxien normalerweise nicht in molekularen Formen ausgedrückt werden.

Lügnerparadoxien werden normalerweise von einem atomaren Satz in der Form abgeleitet: Dieser Satz ist falsch, dann können wir ihn darstellen als: Zx, wobei x „Dieser Satz“ und Z „ist falsch“ ist.

Wir sollten uns einen gewöhnlicheren Vorschlag ansehen und sehen, wie sie funktionieren:

1) dieser Satz enthält genau sechs Wörter
Es wird zu 1) Zx

WELCHER SATZ?

2) dieser Satz ist "dieser Satz enthält genau sechs Wörter"

2) x = "Zx"

Und jetzt können wir ersetzen!

3) „dieser Satz enthält genau sechs Wörter“ enthält genau sechs Wörter

3) Z"Zx"

Wir haben eine effektive Methode gesehen, um die Wahrheit elementarer selbstbezogener Sätze zu finden! Wir können es auf gewöhnliche typifizierbare Aussagen erweitern, aber das interessiert uns jetzt nicht!

Formal haben wir:

1) Zx (ANNAHME)

2) x = "Zx" (DEFINITION)

3) Z"Zx" (SCHLUSSFOLGERUNG)

Wir stellen fest, dass die Schlussfolgerung ein sogenannter ANALYTISCHER VORSCHLAG ist! Nur indem wir es untersuchen, können wir seine Wahrheit finden! (Aufgrund seiner Semantik!)

Wir können nun eine interessante Formel herleiten:

4) WENN (x = "Zx") DANN (Zx IFF Z"Zx")

WENN die rechte Seite der Implikation falsch ist, dann ist es auch die linke Seite: Was uns sagt, dass x nicht identisch mit Zx ist und dass Zx kein selbstbezüglicher Satz ist!

Der Ausdruck: Zx IFF Z"Zx", kann daher (möglicherweise sogar von Computern) als Test für Paradoxien verwendet werden.

Wir können nun einen selbstreferenzierenden Satz als ein beliebiges Objekt der Form "Zx" definieren, sofern Zx IFF Z"Zx".

Das Schöne daran ist, dass es sich um eine syntaktische Definition handelt!

Setzt man x = "dieser Satz" und Z = "ist falsch, wird der Test zu:

Dieser Satz ist falsch IFF „Dieser Satz ist falsch“ ist falsch

Was sich reduziert auf:

Dieser Satz ist falsch IFF Dieser Satz ist wahr.

Der Widerspruch sagt uns, dass es nicht so ist: dieser Satz = "dieser Satz ist falsch" ...

Und "dieser Satz ist falsch" ist kein selbstbezüglicher Satz. (QED)

Das Lügner-Paradoxon ist es einfach nicht!

Hoffentlich hilft dir das, Hurkyl :)

„Ich würde gerne sagen „P ist wahr“, wenn und nur wenn P von den Prämissen ableitbar ist, die wir im formalen System zugestehen; und ich möchte nur sagen „P ist falsch“, wenn und nur wenn ¬ P ähnlich ist ableitbar." Niel de Beaudrap (ursprünglicher Beitrag).

Das ist genau dieselbe Grundlage, die Wittgenstein in seiner Widerlegung von Gödels Unvollständigkeitssatz von 1931 verwendete. Wenn wahr und falsch abgeleitet werden müssen (was bedeutet, dass sie bewiesen werden müssen), dann bedeutet unbeweisbar nur unwahr und nichts weiter.

Wittgenstein, Ludwig 1983. Bemerkungen zu den Grundlagen der Mathematik (Anhang III), 118-119. Cambridge, Massachusetts und London, England: The MIT Press

8. Ich stelle mir vor, dass mich jemand um Rat fragt; er sagt: "Ich habe in Russells Symbolik einen Satz konstruiert (ich werde 'P' verwenden, um ihn zu bezeichnen), und durch bestimmte Definitionen und Transformationen kann er so interpretiert werden, dass er sagt: 'P ist in Russells System nicht beweisbar' ... Muss ich nicht sagen, dass dieser Satz einerseits wahr und andererseits unbeweisbar ist? dann ist bewiesen, dass es nicht beweisbar ist. Also kann es nur wahr, aber unbeweisbar sein.“

   So wie wir fragen: „‚beweisbar‘ in welchem ​​System?“, so müssen wir auch fragen: „‚wahr‘ in welchem ​​System?“ „Wahr in Russells System“ bedeutet, wie gesagt wurde: bewiesen in Russells System; und „falsch in Russells System“ bedeutet: das Gegenteil ist in Russells System bewiesen worden. -Nun, was bedeutet Ihr "Angenommen, es ist falsch"? Im Sinne Russells bedeutet es „angenommen, das Gegenteil wird in Russells System bewiesen“; wenn das Ihre Annahme ist, werden Sie jetzt vermutlich die Interpretation aufgeben, dass sie nicht beweisbar ist.

   Und unter 'dieser Interpretation' verstehe ich die Übersetzung in diesen englischen Satz. - Wenn man davon ausgeht, dass der Satz in Russells System beweisbar ist, bedeutet das, dass er im Russellschen Sinne wahr ist, und die Interpretation "P ist nicht beweisbar" wieder hat aufgegeben werden. Wenn Sie davon ausgehen, dass der Satz im Sinne von Russell wahr ist, folgt das Gleiche ...

Ich möchte das Gespräch nicht entgleisen; Vielleicht ist mein Beitrag hier lächerlich. Ich komme aus einer viel naiveren Richtung und betrachte statt der formalen Logik hauptsächlich die informelle Rhetorik und die Natur der Sprache an sich. Ihre Diskussion über formale Logik ist mir etwas schleierhaft.

Die einzige Beobachtung, die ich machen kann, die Sie vielleicht aufschlussreich finden oder auch nicht, ist, dass nicht jede Aussage einen Wahrheitswert erfordert. Macht es? Vielleicht tut es das, aber ich neige dazu, es nicht zu glauben. Hier ist eine kurze Liste von Sätzen, die meiner Meinung nach keinen Wahrheitswert benötigen:

1. Addiere 1 zu 1. (ein Befehl)
2. Was ist der Sinn des Lebens? (eine Frage, keine Antwort)
3. Diese Aussage ist falsch. (eine selbstbezogene Aussage)

Die ersten beiden mögen offensichtlich erscheinen, wenn Sie meiner Prämisse zustimmen, dass nicht alle Aussagen einen Wahrheitswert erfordern. Sie können bestreiten, dass es sich überhaupt um Aussagen handelt. Aber warum sollte die dritte einen Wahrheitswert haben? Welche Verpflichtung besteht? Weil es am Ende einen Punkt hat? Wenn Sie akzeptieren, dass nicht alle Aussagen einen logischen Wert haben, können wir sicherlich Beispiele wie das Lügner-Paradoxon finden, die den Umfang solcher logisch bedeutungsloser Aussagen erweitern könnten.

Es ist selbstreferenziell, von Natur aus hat es keine Bedeutung oder Auswirkung auf die Welt und beschreibt nichts als sich selbst. Es wird nichts Wesentliches mitgeteilt; es findet keine Übertragung von nützlichen oder bedeutungsvollen Informationen an die Außenwelt statt.

Ich unterstelle Ihnen, dass solche Aussagen keiner Wahrheitsbewertung bedürfen, weil sie bedeutungslos sind. Genauso wie andere Arten von Satzstrukturen - zum Beispiel Fragen und Befehle - die wir alle erkennen, keinen Wahrheitswert benötigen. Ich würde argumentieren, dass alles, was sich auf sich selbst bezieht, von jeder rationalen Konversation sofort außer Acht gelassen wird, genauso wie wir uns weigern, Logik über einen Widerspruch hinaus fortzusetzen (weil keine Einsichten aus falschem Denken kommen können), so können wir uns auch weigern, selbstreferenzielle Aussagen zu berücksichtigen.

Selbstreferenz ist so ähnlich wie Bootstrapping oder das Vorspannen des Pferdes. Oder Bürokratie für diese Angelegenheit. Wenn es nur existiert, um sich selbst zu legitimieren, dann hat es keinen Sinn und es kann sich selbst keine Bedeutung geben. So ist das Leben im Allgemeinen, wirklich; Bedeutung ergibt sich aus der Interaktion mit der Welt jenseits. Die Legitimierung einer selbstreferenziellen Aussage ist meiner Meinung nach genauso lächerlich wie der Versuch, die Existenz des Universums selbst zu legitimieren. Es gibt keine Bedeutung, die sich nach außen überträgt. Sie können das Paradox aus der Existenz streichen, und es hätte keine Wirkung, nichts geht verloren oder in der Welt gewonnen, wenn Sie es täten.

Es ist ziemlich klar, dass das „Paradoxon“ überhaupt kein Paradoxon ist. Es ist eine Aussage mit einem eingebauten Widerspruch. Macht es das zu einem Paradoxon? Vielleicht, sicher. Aber der Punkt ist, wann immer Sie auf eine Aussage P AND NOT P stoßen, sollten Sie aufhören und spülen. Das Auflösen des Paradoxons ist der Versuch, einen Widerspruch zu beheben, ohne den Widerspruch abzulehnen, und das ist meiner Ansicht nach logisch absurd.

Dies ist keine Übung zum Beweis durch Widerspruch, bei der Sie eine Annahme treffen, einen Widerspruch finden und die Annahme schließlich ablehnen. Nein, diesen Spielraum hast du nicht. Der Widerspruch wird Ihnen als Prämisse vorangestellt. Kein Argument, das sich daraus ergibt, kann stichhaltig oder gültig sein.

Oder anders ausgedrückt, das Paradoxon ist ein Artefakt der Semantik, ein Missbrauch oder Versagen der Sprache ... kein logisches Rätsel.

Vielleicht kann mir jemand das Gegenteil beweisen, dass es etwas Wertvolles zu lernen gibt, wenn man eine Aussage wie das Lügnerparadoxon analysiert. Ich argumentiere nicht utilitaristisch, ich argumentiere pragmatisch. Sprache soll eine Bedeutung vermitteln und ein Satz, der dies nicht tut, ist nicht wirklich der Überlegung wert (auch ein Argument für eine gute Grammatik).