Was ist der Unterschied zwischen einem Widerspruch und einem Paradoxon?

Paradoxien sind in der Tat ungültige Argumente, aber was sie besonders macht, ist, dass sie auf scheinbar unproblematischen Annahmen beruhen. Wir wissen zum Beispiel, dass Achilles tatsächlich der Schildkröte davonlaufen wird ( Zenon's Paradoxes ), wir wissen, dass die Überraschungsprüfung stattfinden wird ( Surprise Exam Paradox ) und so weiter. Weil wir wissen, dass die Schlussfolgerungen dieser Paradoxien falsch sind, wissen wir, dass etwas mit den Argumenten nicht stimmt. Die Aufgabe besteht dann darin, die Annahmen zu identifizieren, die zu der falschen Schlussfolgerung führen.

Paradoxien können als „ungültig“ bezeichnet und ignoriert werden, aber wenn sie ernst genommen werden, können sie uns helfen, Probleme mit bestehenden logisch-mathematischen Frameworks zu diagnostizieren und zu beheben. Axiomatische Mengenlehre und Typentheorie verdanken zum Beispiel viel Russells Paradoxon . Das oben erwähnte Surprise Exam Paradox hat zu vielen interessanten Entwicklungen in der epistemischen, dynamischen und öffentlichen Ankündigungslogik geführt. Es gibt natürlich die klassischen, wie die Sorites , die Lügnerin und so weiter. Jeder hat eine interessante Tür geöffnet.

Ich habe behauptet, dass Paradoxien ungültige Argumente sind . Der Beitrag von Sequitur inspirierte mich dazu hinzuzufügen, dass jemand fragen könnte: "ungültig nach welcher Logik?" Ich würde sagen, klassische bivalente erste Ordnung, aber es gibt Möglichkeiten für signifikante "paradoxerhaltende" Abweichungen davon. Wichtig ist hier, dass Sie sich klar machen: Sie können nicht einfach die Logik ändern und behaupten, dass das Paradoxon gelöst ist. Angenommen, die klassische Logik C erzeugt das Paradoxon Π, die intuitionistische Logik I jedoch nicht. Sie können sich nicht einfach der klassischen Logik entledigen, eine intuitionistische übernehmen und behaupten, Sie hätten das Paradoxon gehandhabt. Auch danach bleibt die Tatsache bestehen, dass Π ein Paradoxon für C! ist, also muss man sich bei Interesse damit befassen, warum C das Paradoxon ermöglicht.

Nehmen Sie Paradoxien ernst, denn sie weisen darauf hin, dass (mindestens) etwas nicht so wahr ist, wie es scheint.

Nur um direkt auf Ihre Frage einzugehen: Wir könnten Paradoxien in der von Ihnen vorgeschlagenen Weise behandeln, wenn die englischen Prädikate von Wahrheit und Falschheit notwendigerweise exklusiv wären; wenn Widersprüche nicht wahr sein könnten.

Doch ob dem so ist, ist höchst umstritten. Befürworter der schwachen Parakonsistenz sagen nein, weil (i) die englische Konsequenzrelation nicht explosiv ist, dh Widersprüche beinhalten nicht alles (man denke an inkonsistente Fiktionen oder Theorien, wo anscheinend nicht alles gilt) und (ii) Konsequenz Wahrheitsbewahrung in allen Modellen ist (einer geeigneten nichtklassischen Logik) und (iii) Modelle Möglichkeiten darstellen.

Mutiger vertreten die Befürworter der starken Parakonsistenz (auch bekannt als Diatheismus ) die Ansicht, dass es tatsächlich wahre Widersprüche gibt und daher wahre Falschheiten möglich sind. Tatsächlich sagen Diatheisten, dass einige Paradoxien (wie der Lügner) gute Argumente sind. Nicht-triviale starke Parakonsistenz führt zu schwacher Parakonsistenz, aber nicht umgekehrt.

Ob irgendeine dieser Positionen erfolgreich sein kann, hängt von vielen komplizierten Fragen ab, wie etwa der Frage, wie Paradoxien der Selbstreferenz (eine starke Rechtfertigung für starke Parakonsistenz) am besten behandelt werden, und eine schnelle Beilegung der Debatte ist nicht zu erwarten. Sie sind also nicht berechtigt, Paradoxien zu behandeln, indem Sie ihre Gültigkeit leugnen.

Ein Widerspruch ist etwas, das nicht wahr sein kann, weil er seine Prämissen widerlegt.

Im strengsten Sinne ist ein Paradoxon etwas, das weder wahr noch falsch sein kann, weil die Widerlegung der Prämissen eine ebenso falsche Menge von Prämissen liefert.

Betrachten Sie Russels Paradoxon: Enthält die Sammlung aller Sammlungen, die sich selbst nicht enthalten, sich selbst? Die Frage kann nicht mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden. Beide Antworten implizieren das Gegenteil. Wenn es sich selbst enthält, erfüllt es nicht die Kriterien für die Zulassung zu sich selbst. Wenn es sich selbst nicht enthält, erfüllt es die Kriterien und muss aufgenommen werden.

Wenn Sie entscheiden, dass „Russells Paradoxon ungültig ist“, was bedeutet das? Es kann nur bedeuten, dass die Antwort auf diese Frage einen Wahrheitswert wie „Irrelevant“ hat, der sich sowohl von „Wahr“ als auch von „Falsch“ unterscheidet. Dazu muss das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte verworfen werden – denn dieses fällt flach in die „Mitte“, die es „ausschließen“ soll.

Dies weist darauf hin, dass die grundlegende naive Intuition, die in der Aussage enthalten ist, fehlerhaft ist. Diese lassen sich zwar technisch umgehen, aber nicht wirklich lösen. Die Menschen werden weiterhin die gleichen fehlerhaften Intuitionen der Logik haben, und das Paradoxon wird weiterhin überzeugende Argumente für die Schwierigkeit des korrekten Denkens liefern.

Sie können sich beliebige spezielle Regeln ausdenken, aber sie werden niemals so überzeugend sein wie naive Logik, auch wenn naive Logik zu vielen Paradoxien führt.

Nach meinem Verständnis ist ein Paradox ein logisches Argument, das scheitert, weil es auf widersprüchlichen Axiomen aufgebaut ist, zB ein Turm aus Lehm. Im Gegensatz dazu ist ein Irrtum ein logisches Argument, das an einer fehlerhaften Argumentation scheitert, zB ein Turm, der ohne Senkblei gebaut wurde. Ein Widerspruch zeigt, dass die Axiome und die Schlussfolgerung nicht gleichzeitig wahr sein können.