Russells Paradoxon und das Gesetz der Widerspruchsfreiheit

Ich werde mir die Barber-Version von Russells Paradoxon ansehen, aber das gleiche Argument wird auch für die Sets-Version funktionieren. Die Barbier-Version lautet:

Ein Friseur schneidet nur die Haare von Personen, die sich selbst keine Haare schneiden. ---(1)

Paradox entsteht, wenn man fragt, ob der Friseur seine eigenen Haare schneidet oder nicht. Eine weitere vereinfachte Version kann geschrieben werden als:

Für alle existierenden Personen schneidet ein Barbier einer Person nur dann die Haare, wenn diese Person sich selbst nicht die Haare schneidet. ---(2)

Nun, wenn wir Barbier mit bezeichnen B, eine Person mit Xund Pschneidet Haare von Qals f(P,Q). Dann kann (2) grundsätzlich geschrieben werden als:

∀X, f(B,X)wenn ¬f(X,X)---(3)

Wenn wir also annehmen, dass f(B,B)dies impliziert, ¬f(B,B)und wenn wir annehmen, dass ¬f(B,B)dies impliziert f(B,B), was das Paradoxon aufwirft. Beachten Sie, dass wir entweder f(B,B)oder annehmen müssen ¬f(B,B), da dies sonst gegen das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte verstößt. Beachten Sie nun, dass (3) eine Sammlung aller folgenden Aussagen ist:

f(B,X1)iff¬f(X1,X1)

f(B,X2)iff¬f(X2,X2)

...

f(B,B)wenn ¬f(B,B)---(4)

...

f(B,Xn)iff¬f(Xn,Xn)

Die Aussage (4) ist im Grunde ein Verstoß gegen das Gesetz der Widerspruchsfreiheit (nicht genau, aber man kann es beweisen). Ebenso kann man von einer logisch ungültigen Aussage ausgehen und zu Russells Paradoxon gelangen:

f(B,B)wenn ¬f(B,B)---(5)

Nehmen Sie nun an, dass alle Xaußer Berfüllen:

∀X≠B, f(B,X)wenn ¬f(X,X)---(6)

Beachten Sie, dass (6) logisch gültig ist. Wir kombinieren also einen logisch ungültigen Satz (5) mit einem logisch gültigen Satz (6), um zu (3) zu gelangen, der dann offensichtlich auch logisch ungültig ist.

Die Frage ist also, ob Russells Paradox im Grunde äquivalent ist zu der Aussage:

Awenn ¬A---(7)

also was ist daran so toll? Welche Bedeutung hat Russells Paradoxon im philosophischen Sinne?

Wenn Sie Ihre ursprüngliche Aussage selbst als (7) angeben , führt die Annahme Azu ¬Aund die Annahme ¬Aführt zu A. Im Grunde scheint es nicht so, als würde Russells Paradoxon mit etwas Gültigen beginnen und logisch auf etwas Ungültiges schließen, sondern es scheint, als würde es überhaupt mit etwas logisch Ungültigem beginnen, nämlich der Verletzung der Grundlagen der Logik.

Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, Russells Paradoxon zu vermeiden, indem verschiedene Arten von Einschränkungen festgelegt werden. aber nach meiner obigen Argumentation brauchen wir nur jede Aussage zu verbieten, die (7) inhärent enthält, auf diese Weise kann man Russells Paradoxon in der Mengenlehre vermeiden. Oder verstehe ich etwas falsch und die Sache ist subtiler als das?

Außerdem wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, ob es anderswo in der Literatur ähnliche Diskussionen gibt, damit ich mehr darüber lesen kann.

ANMERKUNG 1f(P,Q) : Wenn Sie an Funktion als PInhalt denken Q, erhalten Sie die Set-Version von Russell's Paradox. In der Tat f(P,Q)kann jede Funktion sein, zum Beispiel wenn wir es als "Liebe" und B als Bess wählen, dann wird Russells Paradox so etwas wie "Bess liebt jemanden nur, wenn sie sich selbst nicht liebt, liebt Bess sich selbst?"

ANMERKUNG 2 : Lassen Sie uns durch leichtes Modifizieren von (3) unser eigenes sogenanntes Paradoxon wie folgt erstellen:

∀X, f(B,X)wenn ¬f(X,B)---(8)

In der Barbiersprache: "Ein Barbier schneidet nur den Leuten die Haare, die die Haare des Barbiers nicht schneiden, schneidet der Barbier seine eigenen Haare?" Und in der Mengensprache: "Eine Menge P enthält nur die Mengen, die P nicht enthalten, enthält P P?" Die Frage ist also noch einmal, was ist so besonders an Russells Paradoxon und auch an diesem, wenn sie im Grunde äquivalent zu (7) sind?

ANMERKUNG 3 : Der SEP-Artikel weist zunächst auf Probleme mit dem Axiom des uneingeschränkten Verständnisses und dem Teufelskreis hin, aber in meiner obigen Erklärung sehe ich Probleme mit Russells Paradoxon in seiner Aussage und seinen Annahmen selbst. Später wird es in Contemporary Logic diskutiert, aber nichts davon scheint meiner Argumentation ähnlich zu sein, es sei denn, ich habe etwas verpasst.

ANMERKUNG 4 : Um eine Analogie zu der Frage zu geben: Angenommen, wir haben ein Gesetz:

1+1=2 ---(9)

dann bilden wir folgenden Satz:

Zwei und zwei Äpfel sind sechs Äpfel ---(10)

Nun reduziert sich (10) auf 2+2=6, dividiert durch 2 ergibt 1+1=3, was direkt gegen mein Gesetz (9) verstößt. Was ist nun so großartig an (10), müssen wir unser Verständnis einschränken, um Aussagen wie (10) zu vermeiden? In ähnlicher Weise haben wir einige angenommene Gesetze der Logik, wenn Russells Paradoxon eine Aussage (4) enthält, die direkt gegen die Grundgesetze der Logik verstößt, was ist dann so großartig daran? Es ist nicht viel anders als Aussagen wie (10) zu machen.

ANMERKUNG 5 : Da viele Leute mit der oben erwähnten Barber-Version nicht zufrieden sind, füge ich hier die Sets-Version meiner Argumentation hinzu. Russells Paradoxon beschreibt eine Menge:

R. = {x | x ∉ x} ---(11)

dies kann geschrieben werden als:

∀ x, x ∈ R ⟺ x ∉ x ---(12)

äquivalent:

∀ x, x ∈ R ⟺ ¬(x ∈ x) ---(13)

Dies ist eine Sammlung der folgenden Sätze:

x1 ∈ R ⟺ ¬(x1 ∈ x1)

x2 ∈ R ⟺ ¬(x2 ∈ x2)

...

R ∈ R ⟺ ¬(R ∈ R) ---(14)

...

xn ∈ R ⟺ ¬(xn ∈ xn)

Die Aussage (14) ist die gleiche wie die, die ich oben in (4) gemeint habe. Der Rest der Frage folgt dann wie zuvor.

Das Barbier-Paradoxon ist weder Russells Paradoxon noch eine Version von Russells Paradoxon.
@ user4894, so wird es an verschiedenen Stellen wie Scientific American gesagt . Die erste Zeile der Wikipedia -Seite zu Barber Paradox gibt einen Hinweis. In meiner ganzen Argumentation können Sie f(P,Q)als Penthält setzen Qund Sie erhalten die übliche Sets-Version von Russells Paradoxon.
Es hat eine Familienähnlichkeit mit Russells Paradoxon ...
Eine gute Diskussion finden Sie in Russells Paradoxon .
Und ja: Das Paradoxon geht von Non Contradiciton und Bivalence aus: "Da nach klassischer Logik der eine oder der andere Fall gelten muss – entweder R ist ein Mitglied von sich selbst oder es ist es nicht – folgt daraus, dass die Theorie einen Widerspruch impliziert."
Wie gesagt, verkörpert Aussage 1 kein Paradoxon. Es besagt lediglich, dass der Barbier sich nicht selbst die Haare schneidet. Das Paradoxon entsteht nur, wenn wir sagen, dass der Barbier sich selbst die Haare schneidet, dann ist die Aussage einfach falsch. Vielleicht übersehe ich etwas, aber ich glaube, dass dieses Paradoxon in der Art und Weise, wie es das Paradoxon von R ist, nicht signifikant ist.
@PeterJ, Barbier schneidet nur die Haare von denen, die sich keine Haare schneiden. Wenn er also keine Haare von sich selbst schneidet, sollte er sich selbst Haare schneiden (von der ursprünglichen Annahme), daher ist es ein Paradoxon.
Ihre letzte Bearbeitung ist richtig: Die uneingeschränkte Version des Verständnisaxioms war sehr "natürlich" und unumstritten: Für jede Eigenschaft P gibt es eine Sammlung von Dingen, die die Eigenschaft P haben: { x ∣ P(x) } . Aber Russell fand eine sehr einfache "Eigenschaft", so dass die Anwendung des besagten Axioms darauf zu einem Widerspruch führte. Damit war der selbstverständliche und unumstrittene Grundsatz nicht haltbar: Ende der Geschichte.
@udy11 - Das beschriebene Szenario besagt nicht, dass sich der Friseur selbst rasiert. Vielleicht wächst ihm ein Bart. Es gibt kein Paradoxon, wenn wir nicht sagen, dass der Friseur sich selbst rasiert.
@PeterJ das Wort "Menschen" in (1) bedeutet alle, einschließlich Friseur
@Mauro Ich verstehe deinen Punkt. Lassen Sie mich Ihnen nun eine Analogie zu meiner Frage geben. Wenn mein Gesetz "1 + 1 = 2" sagt und ich dann eine Aussage mache "Zwei und zwei Äpfel sind sechs Äpfel", kann dies als "2 + 2 = 6" geschrieben werden, geteilt durch 2 ergibt dies einen Widerspruch zur Annahme Gesetz. Was ist dann so großartig an dieser Aussage, es war ein direkter Verstoß gegen mein angenommenes Gesetz. In ähnlicher Weise sind meine angenommenen Gesetze die Gesetze der Logik. Was ist so großartig an Russells Paradoxon, wenn seine Aussage selbst eine Aussage enthält, die meine angenommenen Gesetze direkt verletzt? (Ich habe diese Analogie zum ursprünglichen Beitrag hinzugefügt)
@udy11 - Ja, ich verstehe. Aber für mich gibt es kein Paradoxon, nur einen Satz, der sich widerspricht. Der Barbier rasiert sich selbst und der Barbier rasiert sich nicht. Es regnet und es regnet nicht. Ich kann nie verstehen, warum diese Sätze als paradox und nicht einfach widersprüchlich und daher falsch angesehen werden. .
@PeterJ, ja, sieht so aus, als würde ich hier im Grunde auch dieselbe Frage stellen

Antworten (4)

Ich bin mir bei der Frage nicht sicher ... aber wir können "allein durch Logik" beweisen, dass:

¬(∃y)[(∀x)(A(x,y) ↔ ¬A(x,x))] .

Nachweisen:

1) (∃y)[(∀x)(A(x,y) ↔ ¬A(x,x))] --- angenommen

2) (∀x)(A(x,c) ↔ ¬A(x,x)) --- wobei c eine neue Konstante ist

3) A(c,c) ↔ ¬A(c,c) --- durch universelle Instantiierung.

Die Formel A(c, c) ↔ ¬A(c, c) ist bzw. impliziert einen Widerspruch, da offensichtlich A(c, c) ↔ A(c, c) , und somit schließen wir mit der Negation der Annahme .

Wenn sich Ihre Frage also auf ein "Muster" bezieht, das sowohl Barbers Paradoxon als auch Russells Antinomie gemeinsam ist, lautet die Antwort JA. Siehe Diagonalargument von Cantor .

Das gängige „Muster“ zeigt, dass eine bestimmte existentielle Annahme unhaltbar ist, weil sie zu einem Widerspruch führt.

Somit lautet die Schlussfolgerung für die Barber-Version: Person B existiert nicht.

Ebenso gilt für die Mengenversion: Die Menge R existiert nicht.

Beachten Sie jedoch, dass die beiden obigen Schlussfolgerungen überhaupt nicht "paradox" sind; sie sind perfekte Beispiele für Widerspruchsbeweise. Sie widerlegen eine anfängliche Vermutung: die Existenz von Barbier B (aus der Menge R ) und leiten daraus einen Widerspruch ab.

Wo ist der Unterschied? In der Rolle des Comprehension Axiom , und es ist ein großes.

Im Barber-Fall bleiben wir zufrieden mit dem Beweis, dass der angebliche Barbier nicht existiert: Diese Schlussfolgerung an sich hat keine mathematischen oder philosophischen Auswirkungen.

In Bezug auf die ursprüngliche Mengenlehre ist stattdessen der Einfluss relevant.

Die uneingeschränkte Version des Verständnisaxioms war sehr natürlich und unumstritten: Für jede Eigenschaft P gibt es eine Sammlung von Dingen, die diese Eigenschaft haben: { x ∣ P(x) } .

Die Verwendung des Axioms in der Definition der Russellschen Menge R zeigt, dass das natürliche und unumstrittene Prinzip nicht haltbar ist: Ende der Geschichte.

danke für den Link zum SEP-Artikel. Ich habe auch meinen ursprünglichen Beitrag erweitert, um die Abfrage zu verdeutlichen und weitere Beispiele hinzuzufügen. Ich sage auch im Grunde das gleiche Argument, das Sie hier vorgebracht haben, und das wirft die Frage auf, wenn Russells Paradoxon äquivalent zu Aiff ¬Aist, was ist dann so besonders daran?
@udy11 Jedes Paradox entspricht A <-> ~A; das ist genau das, was es bedeutet, paradox zu sein. Die Frage ist, was ist falsch an diesem Konzept , so dass es ein Paradoxon ist?
@Canyon ja, ein Paradoxon ist, wenn Sie aus logisch gültigen Annahmen logisch etwas Ungültiges schließen, aber Russells Paradoxon scheint, als würde es überhaupt eine ungültige Aussage geben (oder Sie können es in zwei Zeilen beweisen, wie ich es im ursprünglichen Beitrag getan habe), also was ist so besonders, wenn Sie etwas Unlogisches sagen und Unlogisches daraus ableiten und es ein Paradoxon nennen? Außerdem, wenn es nicht so wichtig ist, warum dann so viele Versuche unternommen wurden, die Mengenlehre zu verbessern, hätte man einfach alle Aussagen verbieten können, die enthalten oder auf A <-> ~A?
* Entschuldigung, wenn es falsch klingt, aber ich weiß, dass ich viele Dinge nicht weiß oder mich irgendwo irre, und deshalb nur Fragen stellen. Bitte beachten Sie meine schlechte Wortwahl
@ udy11 - Die Probleme mit der Mengenlehre (so scheint es mir) stammen nicht vom Barbier-Paradoxon, sondern von Problemen der Selbstreferenz, die durch die Menge aller Mengen aufgeworfen werden. Das ist eher ein Paradoxon als das Beispiel des Friseurs (oder des Lügners). Mir scheint, dass die Barbier-Situation nicht mit Russells Paradoxon gleichzusetzen ist. Aber es ist nicht unverbunden, also haben Sie vielleicht einen Punkt. Es gibt kein Paradoxon, wenn wir die Menge aller Mengen als unmögliches Objekt abtun (was mein bevorzugter Ansatz ist). Wenn wir sagen, es sei ein mögliches Objekt, dann gerät die Metaphysik in unheilvolle Probleme.
@PeterJ Mein Punkt ist, dass, wenn Sie die Grundgesetze der Logik berücksichtigen, Russells Paradox automatisch eliminiert wird, da Russells Paradox-Aussage, wie ich gezeigt habe, (4) enthält, was eine Verletzung der Grundlogik darstellt. Das Eliminieren von Mengen aller Mengen oder selbstreferenzierenden Definitionen eliminiert auch viele gültige Mengen wie{x | x∈x}
Leider kann ich der Notation nicht folgen. Ich habe auch ein Problem damit, den Barbier als Ersatz für das Paradoxon von R zu verwenden, da ich das Problem der Menge aller Mengen als ganz anders sehe. Abgesehen von Details würde ich zustimmen, dass diese Paradoxien eher scheinbar als real sind, obwohl sie uns etwas Wichtiges sagen. . .
@PeterJ Sie können mir genau sagen, welche Notation für Sie problematisch ist, und ich kann das Argument ausführlicher erläutern. Ich habe auch eine Anmerkung 5 im Hauptbeitrag hinzugefügt, die meine ursprüngliche Frage in der ursprünglichen Sets-Form von Russells Paradox veranschaulicht.
Alles, was nicht auf Englisch ist, ist ein Problem, aber keine Sorge. Wir scheinen uns in der Fragestellung ungefähr einig zu sein. Ein wichtiger Punkt ist die korrekte Anwendung der Regeln von Aristoteles. Ein Widerspruch muss aus A und Nicht-A gebildet werden, wo es keine dritte Möglichkeit gibt, und bevor wir entscheiden können, dass wir einen Widerspruch betrachten, müssen wir wissen, dass eines von A/Nicht-A wahr und das andere falsch ist und so weiter es gibt keine dritte Möglichkeit. wenn wir das nicht wissen, wissen wir nicht, dass es einen Widerspruch gibt. Die Regeln werden selbst von Spitzenphilosophen regelmäßig falsch angewendet. . .

Heute ist Russells Paradoxon einfach der Beweis, dass bei ZFC die Klasse R = {x ∣ x ∉ x}kein Satz ist. Man vermeidet das Paradoxon, weil man nicht sinnvoll schreiben kann f(R,R).

Aber zu Russells Zeit benutzten die Leute das Axiom des uneingeschränkten Verstehens, und zusammen mit der damaligen Methodik impliziert dies, dass Res sich wirklich um eine Menge handelt und daher f(R,R)sinnvoll ist. Da aber selbst das Schreiben in der Lage ist, f(R,R)zu einem Widerspruch zu führen, impliziert dies, dass mit der damaligen Mengenlehre etwas ernsthaft falsch ist.

Es ist vielleicht erwähnenswert, dass Russells Paradoxon auch eine direkte Entsprechung in der naiven formalen Logik hat. Wenn Prädikate beliebige Prädikate als Argumente annehmen können, dann Xist es sinnvoll, es sich selbst zuzuführen, wenn es sich um ein unäres Prädikat handelt. Wir können ein Prädikat definieren Pdurch

P(X) := ¬X(X)

und leite dann einen Widerspruch ab, indem du betrachtest P(P).

So wie die Mengenlehre zum angenommenen eingeschränkten Verständnis überging, musste sich auch die formale Logik anpassen, damit sie nicht mehr impliziert, dass man eine solche definieren kann P.

Der typische Ansatz besteht beispielsweise darin, die Logik in eine Logik erster Ordnung zu schichten, die über Objekte schlussfolgern kann, eine Logik zweiter Ordnung, die über Prädikate erster Ordnung schlussfolgern kann, und so weiter. Auf diese Weise macht es niemals Sinn zu schreiben X(X), da das Argument für jedes unäre Prädikat Xeine niedrigere Ordnung als es Xselbst haben muss.

damit einverstanden. Ich habe meinen ursprünglichen Beitrag erweitert, um meinen Standpunkt zu verdeutlichen, daher ist die Frage etwas anders
@udy11: Ich glaube nicht, dass du irgendetwas geändert hast. Sie scheinen immer noch den Punkt zu übersehen, dass Russells Paradoxon lautete: "Die Formalisierung der Mengenlehre besagt, dass diese Menge existiert. Aber diese existierende Menge führt zu einem Widerspruch." Wie auch immer, ich habe meiner Antwort ein Analogon zu Russells Paradoxon in der formalen Logik hinzugefügt.
"dass" Menge existiert, ist eine Verletzung der Grundgesetze der Logik, nämlich Aiff ¬A, also wollen Sie damit sagen, dass wir diesen Widerspruch vermeiden mussten, dass wir ein eingeschränktes Verständnis angenommen haben. Meine Frage ist, warum nicht einfach sagen, dass alles, was gegen die grundlegende Logik verstößt, nicht erlaubt ist?

„Grundsätzlich scheint es nicht so, als ob Russells Paradoxon mit etwas Gültigen beginnt und logisch auf etwas Ungültiges schlussfolgert, sondern es scheint von vornherein mit etwas logisch Ungültigem zu beginnen, nämlich der Verletzung der Grundlagen der Logik.“

Es ist nicht nur so, dass „es scheint“, es ist tatsächlich so, dass Russells Paradox überhaupt mit etwas logisch Ungültigem beginnt, nämlich einem logisch inkonsistenten Universum, wie nach (3) zu sehen ist. Eine alternative Sichtweise ist die Feststellung, dass Russells Paradoxon mit den Axiomen eines logisch selbstkonsistenten Universums eindeutig unvereinbar ist.

Ein logisch in sich schlüssiges One-Order-and-Respectful-Friseur-Universum basiert auf diesen beiden Axiomen:

  • Der Friseur schneidet sich selbst die Haare.

    1. Für x = B gilt f(B,x).

  • Der Barbier schneidet die Haare jeder anderen Person, wenn diese Person nicht selbst die Haare schneidet.

    1. Für alle x ¬= B, f(B,x) XOR f(x,x).

Da jede boolesche Variable entweder als UND oder als ODER mit sich selbst ausgedrückt werden kann und da in Axiom 1 f(B,x) = f(x,x) ist, kann sie folgendermaßen ausgedrückt werden:

1.a. Für x = B, f(B,x) UND f(x,x).

1.b. Für x = B, f(B,x) ODER f(x,x).

Aus den Axiomen 1.a und 2 bzw. 1.b und 2 geht hervor, dass in einem logisch in sich widerspruchsfreien Ein-Ordnungs-und-Respekt-Friseur-Universum keine gültige Aussage für alle x gemacht werden kann. Russells Paradoxon kann also nicht passieren.

Im Beispiel von „Bess liebt jemanden nur, wenn sie sich selbst nicht liebt“ basiert ein logisch selbstkonsistentes Bess-liebendes-sich-und-das-nicht-selbstliebende Universum auf diesen beiden Axiomen:

  • Bess liebt sich selbst.

  • Bess liebt jede andere Person, wenn diese Person sich selbst nicht liebt.

Ich kann die Aussage leicht ändern. Mein Hauptpunkt war, die Idee zu liefern. Für meine Frage können Sie dann stattdessen die Sets-Version oder die Bess-Love-Version betrachten, die ich in ANMERKUNG 1 erwähnt habe

Dein Problem formulierst du am besten in den Kommentaren:

Warum nicht einfach sagen, dass alles, was gegen die grundlegende Logik verstößt, nicht erlaubt ist?

Es gibt tatsächlich eine Regel, die besagt, dass die Konjunktion dieser Aussagen falsch ist, wenn eine Menge von Aussagen einen Widerspruch erzeugt. Wir erlauben nichts, was gegen die grundlegende Logik verstößt.

Wie können wir dann Russells Paradox haben? Das Problem ist, dass wir keine Vorstellung von der Priorität von Regeln innerhalb einer bestimmten formalen Sprache haben. Während unser Grundsatz der Widerspruchsfreiheit uns das sagt

NC: P_1, ..., P_n |- _|_ => ~(P_1 & ... & P_n)

wir haben auch (in der naiven Mengenlehre)

A_1, ..., A_n

so dass

A_1, ..., A_n |- _|_

das ist eindeutig schlecht, sowie

NC, A_1, ... A_n |- _|_

was noch schlimmer ist.

Leider wird die Wahrheit in einer bestimmten Sprache definiert. Daher können wir innerhalb der Sprache selbst nicht sagen, wer im Unrecht ist: NCoder einer von A_1to A_n.

Anstatt bestimmte Theoreme zu verwerfen, weil sie paradox sind, verwerfen wir Regelsätze, die diese Theoreme erzeugen. Das neue Regelwerk im Fall der Mengenlehre hatte das Axiom des eingeschränkten Verständnisses, das das Problem vermeidet.

Russells Paradoxon und das Gesetz der Widerspruchsfreiheit
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