Patrick Grim behauptet in "Problems with Omniscience" , dass es eine "einfache Wahrheit gibt, die als logisches Theorem etabliert ist", die zeigt, dass Allwissenheit ein widersprüchliches Konzept ist. Ich sehe den Widerspruch nicht. Was ist die „einfache Wahrheit“ und wo liegt der Widerspruch?
Hier ist der relevante Auszug (S.3):
" Für jedes solche System ist bekannt, dass wir Formeln wiederherstellbar als Zahlen codieren können. Wir werden A̅ verwenden, um auf die nummerierte Codierung für eine Formel A zu verweisen. Es ist allgemein bekannt, dass wir für jedes solche System in der Lage sein werden definiere eine Ableitbarkeitsrelation I derart, dass ⊢I(A̅, B̅) nur für den Fall, dass B von A ableitbar ist. Lass uns ein Symbol '∇' in ein solches System einführen, anwendbar auf numerische Kodierungen Ȧ für Formeln A. Wir könnten '∇' einführen " als eine Möglichkeit, zum Beispiel universelles Wissen darzustellen - das Wissen eines allwissenden Wesens zumindest innerhalb des Bereichs dieses begrenzten formalen Systems. Angesichts eines solchen Symbols mit einer solchen Verwendung würden wir eindeutig jedes der folgenden beibehalten wollen :
Wenn einem solchen Wesen etwas bekannt ist, dann ist es so:∇(A̅)→ A.
Diese Tatsache ist einem solchen Wesen selbst bekannt: ∇(∇(A) → A).
Wenn B im System von A ableitbar ist und A einem solchen Wesen bekannt ist, ist B auch einem solchen Wesen bekannt: I(A̅, B̅) →(∇ (A̅) → ∇ (B̅)).
Die einfache Wahrheit, die als logisches Theorem gut etabliert ist, ist jedoch, dass kein Symbol konsistent das bedeuten kann, was wir für '∇' vorgeschlagen haben, selbst in einem so begrenzten Kontext wie der Arithmetik. "
UPDATE: Ich habe die Antwort auf die Frage gefunden , aber sie ist mir etwas zu komplex und nur teilweise über die Vorschau verfügbar. Was bedeutet dieser Link und beantwortet er tatsächlich die Frage?
Ich bin nicht überrascht über die Verwirrung, weil der fragliche Satz weder einfach noch völlig logisch ist. Es ist das Undefinierbarkeits-Wahrheits-Theorem von Tarski , das grob besagt, dass man kein treues „Wahrheitsprädikat“ definieren kann, das treffsicher erkennt, wann ein Satz wahr ist. Genauer gesagt gibt es keine Formel T() in der Arithmetik erster Ordnung, sodass T(A̅) genau dann wahr ist, wenn A wahr ist. Grims Prädikat „Wissen eines allwissenden Wesens“ ∇ ist im Wesentlichen Tarskis Wahrheitsprädikat.
Die Undefinierbarkeit der Wahrheit ist nicht einfach, weil sie dem Unvollständigkeitssatz von Gödel entspricht, und obwohl beide einem Fußgänger erklärt werden können, sind ihre tatsächlichen Bedeutungen, ganz zu schweigen von Beweisen, ziemlich subtil und technisch. Es ist nicht ganz logisch, weil sowohl die Aussage als auch der Beweis die Verwendung einiger arithmetischer Konzepte und Methoden erfordern, zugegebenermaßen grundlegende, aber über das hinausgehen, was traditionell unter Logik verstanden wird (sie würden unter Freges Logik fallen).
Ich muss sagen, dass ich Grims Argument bei weitem nicht überzeugend finde. Sowohl die Sätze von Tarski als auch die von Gödel gelten für die Theorien erster Ordnung mit Arithmetik, sie gelten nicht mehr für die Logik zweiter Ordnung. Aber auch ohne das sind Prädikate endliche Krücken, die Wesen wie wir benutzen, um mit dem Unendlichen umzugehen, ein allwissendes Wesen braucht solche Werkzeuge nicht. Es kann jede wahre Instanz separat kennen, alle unendlich viele davon, ohne dass es eines definierbaren Prädikats bedarf. Ein solches Wissen von Instanzen muss in keiner Weise "definierbar" (dh algorithmisch) sein, geschweige denn in der Logik erster Ordnung. Mit anderen Worten, es produziert kein Wahrheitsprädikat und keinen Widerspruch mit der Undefinierbarkeit erster Ordnung von Wahrheit.
Es gibt ein interessantes "Erkennbarkeitsparadoxon" , das die Existenz von unerkennbaren Wahrheiten zeigt, wenn es irgendwelche unbekannten gibt. Aber gerade für ein allwissendes Wesen versagt seine Argumentation, da ihm keine Wahrheiten unbekannt sind. Mir sind keine guten Argumente dafür bekannt, dass Allwissenheit an sich widersprüchlich ist. Allmacht ist eine andere Sache, ein Wesen kann einen Stein, den es nicht heben kann, entweder erschaffen oder nicht. So oder so, es ist nicht ohne Qualifikation allmächtig.
Konifold
virmaior