Könnte das „Wenn P, dann Q“ interpretiert werden als „Wenn angenommen wird, dass P wahr ist, dann ist Q wahr“? Dies könnte laut Raymond Smullyan erklären, warum eine falsche Behauptung irgendeine Behauptung impliziert. Wenn P eine falsche Aussage ist und angenommen wird, dass P wahr ist (wenn es tatsächlich falsch ist), führt dies ein Paradoxon ein, aus dem jede Aussage impliziert werden kann.
Hier sind zwei Begriffe zu unterscheiden: logische Konsequenz (⊢) vs. materielle Implikation (→), von denen jeder in der klassischen Logik die ungewöhnliche Eigenschaft der Explosion hat, die wir zusammenfassen können als:
⊢–Explosion. {S,¬S} ⊢ Q, für jedes Q.
→–Explosion. Unter Zuweisung v(S) = ⊥: S → Q, für jedes Q.
1Die →–Explosion folgt einfach aus der Definition von → in Bezug auf Disjunktion und Negation:
(φ → ψ) = df (¬φ ∨ ψ),
denn immer wenn die Wahrheitsbelegung v so ist, dass v(φ) = ⊥, dann folgt φ ∨ ψ, für jedes ψ. Beweis Theoretisch, immer wenn ¬φ bewiesen ist, können Sie ∨-einführen ¬φ ∨ ψ wobei ψ irgendein Satz sein kann. Etwas interessanter ist der Grund, warum die klassische Konsequenz explodiert.
2Gemäß der üblichen Tarskischen Interpretation der logischen Konsequenz:
Logische Konsequenz. Γ ⊢ φ ist wahr genau dann, wenn es unmöglich ist, alle ψ ∈ Γ wahr und φ falsch zu machen.
Immer wenn man einen Satz S ∈ Γ st ¬S auch in Γ hat, hat man den Satz (S ∧ ¬S) ∈ Γ. Betrachten Sie einen beliebigen Satz Q; ist Q eine logische Konsequenz von Γ, da Γ eine solche widersprüchliche Konjunktion enthält? Wenden wir uns an die obige Definition:
{S, ¬S,...,S n } ⊢ Q ist wahr genau dann, wenn es unmöglich ist, alle S, ¬S,...,S n wahr und Q falsch zu machen.
Da S und ¬S inkonsistent sind, können sie nicht beide wahr gemacht werden, daher folgt, was auch immer in Γ enthalten sein mag und was auch immer Q sein mag, dass {S, ¬S,...,S n } ⊢ Q. Es ist ein unmittelbares Nebenprodukt der klassischen Definition von Konsequenz.
Es gibt natürlich viele nicht explosive Logiken, wie die Relevanzlogik von Belnap und Anderson, wo aus einem Widerspruch kein willkürliches Q folgen darf, weil die Implikation spezielle „Relevanz“-Anforderungen erfüllen muss. Sehen Sie sich den letzten SEP-Artikel an, um zu erfahren, wie genau das funktioniert. Am relevantesten ist, dass es viele parakonsistente Logiken gibt, die speziell geschaffen wurden, um mit diesem sogenannten „Paradoxon“ der materiellen Implikation umzugehen. Ausprobieren lohnt sich.
prash