Wie kann ich beweisen, dass jede Gruppe von Punkten, die nach nur einem Punkt erstellt wurde, an derselben Stelle existieren muss? [geschlossen]

Nein nein Nein Nein Nein.

Nein.

Punkte und Orte funktionieren so nicht.

Ein Element einer Menge X wird als Punkt betrachtet, wenn man einen topologischen Raum über dieser Menge definiert. Der Punkt selbst wird genauso wenig erstellt wie Mengen selbst erstellt werden – was eher passiert, ist, dass man eine zusätzliche Reihe von Unterteilungen der Gesamtheit der Elemente, an denen wir interessiert sind, auf den Tisch bringt, um als Topologie zu dienen, und das ist tugendhaft der Unterteilungen akzeptieren wir, dass wir etwas als Punkt betrachten.

Ist es möglich, einen topologischen Raum zu definieren, der alle Punkte völlig trivialisiert und jede Art von Unterscheidung dort zunichte macht? Natürlich ist es das - die Topologie kann einfach aus der vollständigen Menge X und der leeren Menge als den einzigen Partitionen bestehen, die sie zulässt. Aber dies ist kein Akt des Erstellens neuer Punkte – vielmehr ist es nur eine bewusste Entscheidung, alle anderen feinkörnigeren Formen individualisierter Mengen herauszufiltern, die eine interessantere oder kompliziertere Grundlage für unsere Topologie bilden könnten.

Was Sie zu tun scheinen, ist, ohne Beweis oder Erläuterung zu behaupten, dass man darauf beschränkt ist, alle Formen der Topologie innerhalb der Grenzen eines zweidimensionalen und diskreten Falls zu betrachten. Aber Mathematiker verfügen über eine logische Technologie, mit der sie die Schwierigkeiten der Standardtheorie erster Ordnung in Bezug auf Nachbarschaften umgehen können . Die Sprache der Mengentheorie ermöglicht es uns, Unterräume zu identifizieren und zu charakterisieren, innerhalb derer einzelne Punkte als Teil der offenen Mengen quantifiziert werden können, die die Topologie über unserem Raum bilden. Da diese Unterräume in der Mengenlehre individualisiert und begründet werden können, können die Funktionen, auf die wir uns beziehen, wirken, ohne bestimmte Punkte zu fixieren, die wir an exakten Stellen positionieren wollen, ohne dabei die Idee aufzugeben, dass die Topologie selbst aus einzelnen Punkten zusammengesetzt ist.

Mit einer Sprache kontinuierlicher Funktionen über topologischen Räumen gibt es also tatsächlich eine Möglichkeit, Räume mit unserer diskretbasierten Sprache zu beschreiben, die nicht in Punkt-Singletons zusammenfallen; darüber hinaus ist es eine immens reichhaltige sprache, die uns zugang zu einer so vielfältigen möglichkeit gibt, die räume, in denen wir uns befinden, und die oberflächen, auf denen wir uns befinden, zu erklären.

Der Schlüssel liegt nicht in der Annahme, dass die einzigen zwei Dinge, die zählen, alles und nichts sind.

Sie brauchen mehr Einschränkungen, damit dies eine sinnvolle Übung ist. Nehmen wir es mal abstrakt: Hier ist ein Universum mit einem Punkt: {foo}. Hier ist ein Universum mit zwei Punkten: {foo, bar}. Haben foound barhaben Sie überhaupt etwas miteinander zu tun? Vielleicht nicht. Vielleicht leben sie effektiv in getrennten Existenzen, aber wir sind uns beider bewusst. Was bedeutet "neben" überhaupt, wenn Sie nur ein foound haben bar?

Um zu beginnen, müssen Sie also eine Art Entfernungsmetrik definieren, damit "neben" überhaupt Sinn macht, und etwas anderes über die Eigenschaften dieser Punkte sagen, um zu rechtfertigen, warum es Sie interessiert, was "neben" bedeutet.

Wenn Sie zum Beispiel im Bereich der mathematisch-physikalischen Gesetze nur f = -G*m*M/r^2haben und hinzufügen E = m*c^2, erscheint es kaum sinnvoll, die Nähe zwischen diesen beiden Gleichungen auch nur in Betracht zu ziehen.