Warum können wir nicht einfach sagen, dass der Lügnersatz keine Behauptung ausdrückt?

Es scheint mir und vielen anderen, dass wir das Lügnerparadoxon lösen können, indem wir sagen, dass der Lügnersatz „Dieser Satz ist falsch“ keine Behauptung ausdrückt. Sowohl die IEP als auch die SEP behaupten jedoch, dass eine solche Lösung des Lügnerparadoxons durch einen gestärkten Lügner besiegt wird:

(i) Dieser Satz ist entweder falsch oder bedeutungslos. (IEP)

(ii) Dieser Satz drückt keinen wahren Satz aus. (SEP)

Man würde vermutlich einen Widerspruch ableiten, wenn man beispielsweise (ii) analysiert: Wenn (ii) eine wahre Aussage ausdrückt, dann folgt daraus, dass es keine wahre Aussage ausdrückt, da es sagt, dass es keine wahre Aussage ausdrückt . Widerspruch. Wenn (ii) keinen wahren Satz ausdrückt, dann folgt daraus, da es sagt, dass es keinen wahren Satz ausdrückt , dass es einen wahren Satz ausdrückt. Widerspruch.

Der Fehler in der Analyse ist meiner Meinung nach fett gedruckt: (ii) sagt nichts! Es ist ähnlich wie "Wie alt bist du?" oder "weofjwojiajzoijfeowi". Das ist im Wesentlichen, was es bedeutet, keine Aussage zu machen.

In dem verlinkten IEP-Artikel wird auch behauptet, dass das Aussprechen des Lügnersatzes bedeutungslos sei, nur weil „sonst bekommen wir ein Paradoxon“ eine Ad-hoc - Bemerkung und daher keine Lösung ist. Doch jeder Mengentheoretiker wird Ihnen genau diese Erklärung geben, wenn er gefragt wird: "Warum können wir für beliebige Formeln φ keine Mengen der Form {x: φ(x)} bilden?". Und die Leute scheinen mit dieser Antwort zufrieden zu sein.

Genauso wie die naive Vorstellung, Mengen durch uneingeschränktes Verstehen zu bilden, aufgegeben wird, weil sie zu Widersprüchen führt, sollte die naive Vorstellung, dass der Lügnersatz eine Aussage ausdrückt, aufgegeben werden.

Warum reicht es nicht zu sagen, dass der Lügnersatz keine Behauptung ausdrückt?

Vielleicht ... aber es geht um das Prädikat "True(x)". Wir wollen es nicht vermeiden, aber es ist nicht so einfach, ein konsistentes Regelwerk zu finden, das die Paradoxien vermeidet.
Ein Problem besteht darin, dass diese Behauptung offensichtlich falsch erscheint: Der (modifizierte) Lügnersatz [LS] ist auf eine Weise bedeutungsvoll, in der „weofjwojiajzoijfeowi“ es nicht ist. Wir können LS genauso gut verstehen wie zB „Dieser und dieser Nicht-Lügner-Satz drückt keine wahre Aussage aus“. Sie müssten also sagen, was wir hier (scheinbar) verstehen oder begreifen, wenn es sich nicht um eine Behauptung handelt. (Ich fühle mich in der Lage, die Überzeugung zu bilden, dass die LS keine wahre Aussage ausdrückt. Wenn die Überzeugung wiederum eine Beziehung zwischen Gläubiger und Aussage ist, auf welche Aussage beziehe ich mich hier?)
Ein eng verwandtes Problem ergibt sich aus dem Prinzip der Kompositionalität. Ganz grob sagt der PoC, wenn man bedeutungsvolle Wörter nimmt und sie grammatikalisch korrekt aneinanderreiht, bekommt man wieder etwas Bedeutsames heraus (und „bedeutungsvoll“ ist hier gleichbedeutend mit dem Ausdruck einer Aussage). Alle Wörter in LS sind wiederum bedeutungsvoll und grammatikalisch wohlgeformt. Daher würde die Behauptung, dass LS keine Aussage ausdrückt, Sie dazu zwingen, die Kompositionalität aufzugeben – was wir lieber nicht tun würden.
@MarkOxford Macht Sinn. Ich denke, es gibt einen Unterschied darin, wie Mathematiker und Philosophen kontraintuitive Ergebnisse betrachten (wie die Bedeutungslosigkeit von LS oder die Unbestimmtheit von {x: φ(x)}): Der Mathematiker akzeptiert das Ergebnis und versucht, seine Intuition entsprechend zu ändern. Der Philosoph will die Intuition so weit wie möglich bewahren und verwirft möglicherweise das Ergebnis. Ich muss Ihrem auf Überzeugungen basierenden Argument jedoch widersprechen: Ja, diese Behauptung existiert, aber sie wird nicht von LS ausgedrückt. Es wird durch andere Sätze ausgedrückt, wie "LS drückt keinen wahren Satz aus".
Ich sehe keinen Grund, warum wir nicht sagen können, dass der Lügnersatz bedeutungslos ist. Es sieht für mich bedeutungslos aus, nur ein Wirrwarr von Worten. Genauso sinnlos ist es, wenn wir sagen „Dieser Satz ist wahr“. Wir könnten sagen „Dieses Wort ist schwer zu verstehen“ und jeder würde zustimmen, dass dieser Satz bedeutungslos ist. .
@PeterJ Ich weiß nicht, welche Vorstellung von Bedeutung (Weniger) Sie im Sinn haben, aber ich stimme nicht zu, dass "Dieses Wort ist schwer zu verstehen" bedeutungslos ist. Wenn Sie diesen Satz sagen, ohne ein bestimmtes Wort anzugeben, wird Ihre bestimmte Äußerung des komplexen demonstrativen „dieses Wortes“ natürlich keinen Bezug erhalten . Dass sich eine bestimmte Äußerung nicht bezieht, bedeutet jedoch nicht, dass das Wort selbst bedeutungslos ist. (Strawson hat dies in On Referring beobachtet .) ZB wird es aus kaplanischer Sicht immer noch seinen Charakter haben.
Ist Ihre Lösung die eines Philosophen oder einer Mathematikerin? Es scheint in beiden Punkten zu versagen, "Intuition" unterstützt die Kompositionalität der Sprache im Allgemeinen und die Bedeutung des Liar-Satzes im Besonderen, die Mathematik unterstützt schöne formale Eigenschaften wie die Kompositionalität. Ein etwas besserer Vorschlag ist der von Kripke, der LS sinnvoll zugibt, aber erklärt, dass er in eine Wahrheitswertlücke fällt, siehe IEP 3c. Aber es scheitert an anderen Punkten. Es kann keine "Lösung" für das Lügner-Paradoxon geben, es offenbart einfach, dass gemeinsame Intuitionen über Wahrheit und Sprache inkohärent sind, es macht sie nicht dazu.
Nun, es tut mir leid, dass ich anderer Meinung bin, aber ich finde den Satz bedeutungslos. Ich weiß nicht, was es bedeutet. „Dieser Satz“ hat keinen Wahrheitswert. Das ist meine 'gemeinsame Intuition'..
@PeterJ Natürlich hat 'Dieser Satz' keinen Wahrheitswert: Nur Sätze haben einen Wahrheitswert , während Untersatzausdrücke Referenzen / Bezeichnungen / 'semantische Werte' anderer Art haben. In (ii) bezeichnet „dieser Satz“ einfach (ii) selbst. Dies zu leugnen, würde bedeuten, sich in die Semantik der Demonstrativpronomen einzumischen, und das ist methodisch unklug. (Auch ein Satz kann durchaus bedeutungsvoll sein, aber keinen Wahrheitswert haben: „Harry Potter ist ein Zauberer“.) Wenn Sie das Demonstrativ wirklich stört, betrachten Sie diese Version des Lügners: „Lassen Sie ‚L‘ ein Name für den folgenden Satz sein : 'L ist falsch'“.
@MarkOxford Ist L also falsch oder wahr? Und wie können Sie den Satz „L“ als Teil des längeren Satzes „L ist falsch“ einfügen, wenn L den ganzen Satz benennen soll?
@PeterJ Ich weiß nicht, ob der Lügnersatz wahr oder falsch ist (oder beides oder keines von beidem): Das ist das Paradoxon. Dass wir jedoch nicht wissen, ob es wahr oder falsch (oder was auch immer) ist, bedeutet nicht automatisch, dass der Satz bedeutungslos ist. (Wenn es bedeutungslos wäre, würde die Frage viel weniger Sinn machen.) Außerdem sage ich nicht, dass der Satz L ein Teil von „L ist falsch“ ist. Der Name 'L' kommt in 'L is false' vor. Darüber hinaus bezieht sich der Name auch auf „L ist falsch“. Beachten Sie, dass dies im Allgemeinen nicht problematisch ist: Lassen Sie uns „E“ als Namen für den Satz „E ist ein englischer Satz“ einführen. Das scheint in Ordnung zu sein.
@MarkOxford Ich schätze den Unterschied zwischen wahr/falsch und bedeutungslos. Ich würde immer noch argumentieren, dass es aufgrund seiner Zirkularität bedeutungslos ist. Wenn wir den Satz „L ist falsch“ schreiben, dann hat er zu dem Zeitpunkt, an dem wir „L“ schreiben, keinen Bezug. Aber ich finde es auch gut, dass die Meinungen auseinandergehen. Ich sehe nur noch keinen Grund, meine zu wechseln.
@PeterJ Es scheint mir, dass Sie (a) eine besondere Einschränkung auferlegen, wie wir Namen / Demonstrative verwenden dürfen, und dann (b) behaupten, der Lügnersatz [LS] sei „bedeutungslos“, weil er gegen diese Einschränkung verstößt . Sie können das tun, aber die Leute werden dies als Leugnung des Lügnerparadoxons und nicht als Lösung ansehen. (Denken Sie daran, es soll ein Paradoxon über die Wahrheit sein ). Wenn Sie so entschlossen sind, die semantische Korrektheit von LS in Frage zu stellen, sollten Sie Tarski und / oder den Kontextualisten folgen und sagen, dass LS fehlerhaft (oder „bedeutungslos“) ist, weil „ist wahr“ in verwendet wird ein unerlaubter Weg.
@MarkOxford - Wenn wir in der Kneipe wären, würde ich das gerne durchsprechen. Hier kann ich nur sagen, dass für mich das Lügnerparadox keine Bedeutung oder Bedeutung hat. Ich bin diesbezüglich beim OP und habe das Gefühl, dass es keinen Vorschlag ausdrückt. Das Set-of-all-Sets-Paradoxon hingegen scheint von entscheidender Bedeutung und ein echtes metaphysisches Problem zu sein. . . .
@PeterJ: Sie könnten an meiner Antwort interessiert sein, basierend auf Ihren obigen Kommentaren.
@MarkOxford: Dein erster Kommentar scheint ein bisschen daneben zu sein. Einen Satz, der etwas von sich behauptet, können wir eigentlich nicht verstehen. Wenn Leute anfangen, es zu analysieren, nehmen sie zuerst an, dass es sinnvoll ist, und analysieren es dann, und deshalb geraten sie in ein Paradoxon. Wenn wir diese erste Annahme nicht treffen, können wir das Lügnerparadoxon aufgrund der zirkulären Definition nie verstehen. Wie in meiner Antwort angegeben, ist Quines Paradoxon jedoch nicht kreisförmig, und der einzige Einwand gegen Ihr "Gefühl" besteht darin, dass wir nicht einfach einen booleschen Wahrheitswert für Sätze annehmen können, die sich nicht auf die Realität beziehen.
@Conifold: Ich bin nicht der Meinung, dass die Intuition die Bedeutung des Lügnerparadoxons unterstützt. In meiner Antwort gab ich das Beispiel "Ich möchte über die ganze Zahl sprechen, die um eins größer ist als sie selbst." um zu zeigen, warum es ungültig ist, Zirkelsätze zu verwenden, um Objekte (in diesem Fall den Satz selbst) (implizit) zu definieren.
@ user21820 Ob wir einen Satz verstehen, ist keine Frage der Definition oder Annahme. Es ist nur eine Tatsache, dass wir „Gras ist grün“ und „Dieser Satz enthält das Wort „das““ verstehen. Was L = 'L ist nicht wahr' betrifft, so scheinen wir diesen Satz zumindest zu verstehen: Er sagt über L aus, dass es nicht wahr ist. Auch das ist keine Annahme, sondern nur unsere Reaktion auf den Satz. Man kann versuchen, dieser Reaktion zu widerstehen und sagen: L sieht zwar sinnvoll aus, liegt aber nicht an xyz. Aber die Verantwortung liegt bei den Befürwortern dieser Ansicht, nicht zuletzt, weil sie Widerspruch Kompositionalität sind.
@MarkOxford: Ähm, meine Reaktion ist, dass es kreisförmig ist. Nur weil andere nicht so reagieren wie ich, muss ich das nicht rechtfertigen. Tatsächlich hat die Menschheitsgeschichte hinreichend gezeigt, dass Menschen oft irrational reagieren. Hinsichtlich der Kompositionalität haben Sie keineswegs einen Widerspruch aufgezeigt. Durch Ihre eigene Spezifikation der Kompositionalität kann die Bedeutung eines jeden Satzes, der "diesen Satz" verwendet, nicht bestimmt werden, da die Bedeutung des Referenten dieser Phrase nicht bestimmt werden kann ...
@ user21820 - Wie Sie vermutet haben, teile ich Ihre Ansicht. Dieser Satz ist ein Fußball.
@PeterJ: Was hältst du von meiner Auflösung von Quines Paradoxon, das im Gegensatz zum Lügnerparadoxon nicht kreisförmig ist? Wenn Sie interessiert sind, könnten wir die Diskussion im Logic-Chatroom fortsetzen .
@user21820 Nennen wir mit „S“ den ersten deklarativen Satz in der heutigen Ausgabe des Guardian. Verstehst du „S ist nicht wahr“? Wenn ja, warum verstehst du nicht „L ist nicht wahr“? Lassen Sie uns 'M' als zweiten Namen für L verwenden. (Erinnern Sie sich, L = 'L ist nicht wahr'.) Außerdem sei N = 'M ist nicht wahr'. N ist nicht selbstreferenziell. Verstehst du N? Wenn ja, beachten Sie, dass M = L ist, womit N und L denselben Satz ausdrücken. Wenn Sie sagen, dass Sätze, die „diesen Satz“ verwenden, nicht in ihrer Bedeutung bestimmt werden können, meinen Sie damit ihren Charakter oder ihren Inhalt?
@ user21820 Sinnvoll und konsistent sind zwei verschiedene Dinge, die ganze Zahl, die eins mehr ist als sie selbst, kommt zum Beispiel in parakonsistenter Arithmetik vor. Auch in der klassischen Mathematik spricht man zum Zwecke des Widerspruchsbeweises von inkonsistenten Objekten (wie rationale Zahl mit Quadrat 2). Und es gibt keinen Widerspruch zu Intuitionen, sie sind, was sie sind, unterschiedlich für verschiedene Menschen.
@Mark Oxford, Sätze sind keine Sätze. Aussagen werden durch Aussagesätze ausgedrückt. Es gibt eine Unterscheidung, die Sie vielleicht vermissen. Aussagen haben nichts mit Grammatik zu tun, da Aussagen niemals physische Dinge wie Sätze oder Symbole sind.
@Logikal Ich weiß, dass Sätze keine Sätze sind. Ich gehe davon aus (wie es üblich ist), dass Sätze die Bedeutungen von Sätzen sind. Ich habe dann auf einen Satz hingewiesen, der dieselbe Aussage wie L ausdrückt, dh einen Satz, der dieselbe Bedeutung hat. Ich habe dies getan, um Benutzer21820 zu helfen, den Liar-Satz (die Bedeutung) zu verstehen – was sie angeblich nicht tun. (Übrigens, King 2007 argumentiert, dass Sätze dieselbe Syntax/Grammatik haben wie die Sätze, die sie ausdrücken. Er würde also Ihrer Behauptung widersprechen, dass Sätze „nichts mit Grammatik zu tun haben“.)
@ Mark Oxford, Sätze drücken nicht einmal die Bedeutung von Sätzen aus. Aussagen drücken einen Wahrheitswert eines Aussagesatzes aus. Der Wahrheitswert ist das, was eine Wahrheitstabelle ausdrückt, nicht das, was in der Welt physikalisch wahr ist. Die Wahrheits-Korrespondenz-Theorie drückt aus, was gesagt wird, entspricht der physischen Welt und wird durch unsere Sinne bestätigt. Dieser Satz ist falsch bezieht sich auf einen Wahrheitswert und nicht auf eine physikalische Wahrheit. Die Menschen verwechseln die unterschiedlichen Arten der Wahrheit und machen Fehler. Paradoxe Sätze sind keine Aussagen, weil sie selbstreferenziell sind und die Stimmungen der Wahrheit durch absichtlich mehrdeutige Sprache wechseln.
@Conifold: Parakonsistente Logik wird überbewertet und hat keine Grundlage oder Bedeutung für die reale Welt. Die klassische Mathematik befasst sich nicht mit inkonsistenten Objekten. Bitte sehen Sie sich diese Interpretation von Beweisen als Spiele und die Kommentare an, und dann diese Erklärung von Beweisen durch Widerspruch , die zeigen, dass die klassische Logik leicht so interpretiert werden kann, dass man sich nie mit einem Konzept befasst, das keine Instanziierung hat.
@MarkOxford: Ich weiß nicht, was der erste Aussagesatz in Ihrer Kopie von Guardian ist, daher kann ich Ihre Frage nicht beantworten. Wenn der erste Satz von Guardian "Dieser Satz ist kein wahrer Satz." lautet, wäre er aus den Gründen, die ich in meiner Antwort aufgeführt habe, eindeutig bedeutungslos. Ich schlage vor, dass Sie es sorgfältig lesen und genau feststellen, was Sie darin nicht verstehen.
@Logikal: Um die Diskrepanz zwischen deklarativen Sätzen und sinnvollen Sätzen zu verdeutlichen, habe ich in meiner Antwort absichtlich Quines Paradoxon angegeben. Und die einzige Möglichkeit, einen sinnvollen Satz zu erhalten, der dem paradoxen ähnelt, ist die Verwendung der Modallogik. Beispielsweise kann das Fixkomma-Lemma in der Beweisbarkeitslogik verwendet werden, um ein Fixkomma-G von ( P ↦ ¬⬜P ) zu konstruieren, und G entspricht dem Lügnerparadoxon. Das Fixkomma-Lemma wird im Wesentlichen über den Y-Kombinator bewiesen. Die Verwendung von Y zum Konstruieren von G konstruiert im Wesentlichen Quines Paradoxon. Und unter dem ⬜ zu sein ist etwas ganz anderes als außerhalb.
@ user21820 Leider sind Ihre Punkte strittig. Dinge können auf die eine oder andere Weise interpretiert werden, was darauf hindeutet, dass sie eine Bedeutung haben, mit oder ohne Hype.
@DetachedLaconian: Conifold liegt einfach falsch, wenn er behauptet, dass "Dinge auf die eine oder andere Weise interpretiert werden können". Ich habe genug dazu gesagt (auch im Chat ). Es gibt eindeutige Beweise dafür, dass viele Philosophen die Philosophie der Mathematik nicht richtig verstehen, weil sie die richtigen Grundlagen der Mathematik nicht verstehen.

Antworten (4)

[Da das OP meine Kommentare hilfreich fand, habe ich beschlossen, sie zu einer umfassenderen Antwort zu erweitern.]

1. Vorbemerkung

Im ursprünglichen Beitrag wurde der (unveränderte) Lügnersatz so formuliert:

(L) Dieser Satz ist falsch.

Beachten Sie den demonstrativen „diesen Satz“. Da wiederum mathematische Sprachen normalerweise keine Demonstrativpronomen enthalten, kann diese Version des Lügnersatzes nicht einfach formalisiert werden, was ein Nachteil sein kann. Die Hauptalternative wäre, „L ist falsch“ als L zu verwenden und so die Selbstreferenz zu erzeugen, indem L seinen eigenen Namen verwendet. Doch „L ist falsch“ ist per se nicht paradox und nur dann paradox, wenn es „L“ genannt wird. Zeigt „L ist falsch“ also etwas über die Wahrheit oder über unsere Verwendung von Namen? Lassen wir diese Diskussion und gehen wir mit (L) so weiter, wie es ist.

2. Der Vorschlag

Die im ursprünglichen Beitrag befürwortete Lösung besteht darin, zu behaupten, L versäume es, einen Vorschlag zu äußern. Daher lautet der Vorschlag, P zu unterstützen:

(P) Satz L drückt keinen Satz aus.

Ich denke, die Begründung hinter P ist: Weder die Behauptung, dass L wahr ist, noch die Behauptung, dass L falsch ist, ist haltbar. Also müssen wir beide Behauptungen vermeiden. Wir wollen aber nicht nur sagen, dass L einen Satz ausdrückt, der weder wahr noch falsch ist ; denn dann kann das Paradox umformuliert werden als „Dieser Satz ist nicht wahr“. Also werden wir stattdessen sagen, dass L überhaupt keine Aussage ausdrückt. Wenn nicht, stellt sich die Frage, ob es wahr oder falsch ist, nicht einmal – genauso wenig wie die Frage, ob der Eiffelturm wahr ist.

Der Vorschlag steht vor folgendem Problem: Was sollen wir unten über L+ sagen? Wenn wir P auf diesen Satz erweitern und sagen, dass L+ auch keine Aussage ausdrückt, dann sieht es so aus, als ob L+ wahr ist: Schließlich ist das, was es sagt, der Fall. Wenn L+ jedoch wahr ist, dann drückt es keine wahre Aussage aus, in diesem Fall kann es nicht wahr sein. Schließlich, wenn L+ falsch ist, drückt es eine wahre Aussage aus, in diesem Fall ist es wieder wahr.

(L+) Dieser Satz drückt keine wahre Aussage aus.

Im ursprünglichen Beitrag wird dieses Problem dadurch beantwortet, dass L+ niemals wahr ist. Um dies zu begründen, beachten Sie, dass zB der Eiffelturm auch niemals wahr ist – einfach weil der Eiffelturm nicht zu den Dingen gehört, die wahr (oder falsch) sein können. Ebenso ist L+ auch nicht so etwas, das wahr oder falsch sein kann – weil es keine Aussage ausdrückt. Selbst unter der Annahme, dass L+ keine Aussage ausdrückt, ist L+ also nicht wahr, im Gegensatz zum ersten Schritt in der Argumentation .

3. Widerspruch

So wie der Vorschlag aussieht, ist er nicht sehr überzeugend, weil (a) es eine Aussage gibt, die L+ auszudrücken scheint, und (b) wir Grund zu der Annahme haben, dass sie diese oder eine andere Aussage ausdrückt. Beginnen wir mit (a), indem wir anmerken, dass OP P+ unterstützen möchte, was Q+ zur Folge hat.

(P+) Satz L+ drückt keine Aussage aus.

(Q+) Satz L+ drückt keine wahre Aussage aus.

Vermutlich denkt OP, dass Q+ einen Satz ausdrückt, nämlich. die Aussage , dass L+ keine wahre Aussage ausdrückt . Lassen Sie uns von PROP sprechen , um diese Aussage zu meinen. Welchen Grund gibt es also zu glauben, dass L+ nicht auch PROP ausdrückt ? Auf den ersten Blick ist L+ das Subjekt sowohl von Q+ als auch von L+, und beide behaupten von ihrem Subjekt, dass es keine wahre Aussage ausdrückt. Sagen sie also nicht dasselbe? Drücken nicht beide PROP aus ? Wenn nicht, was ist der Unterschied?

Angenommen, ich zeige auf L+ und sage: „OP glaubt, dass dieser Satz keine wahre Behauptung ausdrückt “. Das scheint ein wahrer Glaubensbericht zu sein, und es scheint auszudrücken, dass die Glaubensbeziehung zwischen OP und PROP gilt . Doch damit dies geschieht, sondert meine Verwendung von L+ = 'dieser Satz drückt keine wahre Behauptung aus' irgendwie PROP aus . Wenn ja, warum können diese Wörter PROP nicht ausdrücken , wenn sie alleine vorkommen, nämlich. als L+? (Hier können die Vorbemerkung und die Art der Demonstrativpronomen relevant werden.)

Das Ergebnis ist, dass uns eine Geschichte darüber erzählt werden muss, warum L+ PROP nicht ausdrückt . Ein Tarskianer / Kontextualist mag eine solche Geschichte haben; aber wir können nicht einfach behaupten, dass L+ keinen Satz ausdrückt und das Lügnerparadoxon als gelöst betrachten. Außerdem muss jede Geschichte, die wir erzählen, etwas über das Prinzip der Kompositionalität aussagen.

(PoC) Für alle komplexen Ausdrücke e wird die Bedeutung von e durch die Bedeutungen der Bestandteile von e zusammen mit der syntaktischen Struktur von e bestimmt.

Da die Bestandteile von L+ bedeutungsvoll sind und L+ syntaktisch nicht fehlerhaft ist, impliziert PoC, dass L+ bedeutungsvoll ist. Das ist nicht ganz dasselbe wie einen Vorschlag zu machen, aber es ist nah genug, um Ärger zu machen. Insbesondere wenn die Bestandteile von Q+ zusammensetzen, um PROP auszudrücken , warum nicht die Bestandteile von L+? Für sich genommen scheinen alle Bestandteile die richtigen semantischen Werte zu haben.

4. Die Ad-hoc- Sorge

Wie gesagt, wir brauchen einen Grund, um zu leugnen, dass L+ einen Satz ausdrückt. Der Vorschlag des OP war, dass das Paradoxon selbst einen solchen Grund liefert: L + konnte keinen Vorschlag ausdrücken; denn wenn es so wäre, gäbe es ein Paradoxon. Um dies zu unterstützen, weist OP darauf hin, dass Naive Comprehension [NC] abgelehnt wurde, weil es zu einem Paradoxon führte (nämlich Russells). Und das war der einzige Grund für die Ablehnung (laut OP). Warum ist es also kein ausreichender Grund, abzulehnen, dass L+ einen Satz ausdrückt?

Eine Antwort, denke ich, ist, dass Russells Paradox NC direkt herausfordert. NC sagt: „Für jedes F gibt es eine Menge aller Fs“, und das Paradoxon fragt dann: „Was ist mit F = enthält sich selbst nicht als Element?“ Da NC diese Frage nicht beantworten kann, sieht es so aus, als wäre NC direkt für unsere Probleme verantwortlich. (Obwohl Dummett anders argumentiert hat?) Im Gegensatz dazu gibt es kein Prinzip, das das Lügnerparadoxon erzeugt, bei dem wir sagen würden: "Ja, das ist der Schuldige!" Das Lügnerparadoxon hat eine Reihe von Zutaten, so dass es wirklich ad hoc wäre , nur eine auszuwählen und zu verwerfen.

Varianten des Lügnerparadoxons

Es scheint mir und vielen anderen, dass wir das Lügnerparadoxon lösen können, indem wir sagen, dass der Lügnersatz „Dieser Satz ist falsch“ keine Behauptung ausdrückt.

Es hängt davon ab, was Sie unter "Vorschlag" verstehen, aber in der Tat ist es mit der richtigen Sichtweise vollkommen vertretbar.

Sowohl die IEP als auch die SEP behaupten, dass eine solche Lösung des Lügnerparadoxons durch einen gestärkten Lügner besiegt wird:

(i) Dieser Satz ist entweder falsch oder bedeutungslos. (IEP)

(ii) Dieser Satz drückt keinen wahren Satz aus. (SEP)

Beachten Sie, dass IEP und SEP nicht unbedingt genau oder präzise sind, da jeder Artikel oft von einer einzelnen Person geschrieben und nicht von Experten begutachtet wird. In diesem Fall sind sie nur richtig, wenn Sie den Sätzen (i) und (ii) klassische Logik auferlegen .

Der Fehler in der Analyse ist meiner Meinung nach fett gedruckt: (ii) sagt nichts! Es ist ähnlich wie "Wie alt bist du?" oder "weofjwojiajzoijfeowi". Das ist im Wesentlichen, was es bedeutet, keine Aussage zu machen.

Ich würde sagen, dass Sie es teilweise verstanden haben, aber nicht sehr klar, also lassen Sie es mich erklären.

Erstens gibt es einen gültigen Einwand gegen das Lügnerparadoxon, dass es keine gültige Definition ist . Logischerweise kann man sich nicht auf etwas beziehen, was man nicht definiert hat. In diesem Fall bezieht sich jede Variante des Lügnerparadoxons, die "diesen Satz" verwendet, auf etwas, das noch nicht definiert wurde ! Das ist gleichbedeutend mit folgendem Unsinn:

??? Sei P ein boolescher Satz, so dass P äquivalent zu ¬P ist.

Wenn nicht klar ist, warum dies unlogisch ist, ziehen Sie Folgendes in Betracht:

??? Ich möchte über die ganze Zahl sprechen, die eins mehr ist als sie selbst.

Der richtige Einwand ist, dass wir nicht über etwas sprechen können, das wir nicht definiert haben, und wir können nicht über etwas sprechen, das einer Beschreibung genügt, wenn wir nicht gezeigt haben, dass es so etwas überhaupt gibt!

Somit ist jeder Satz, der „diesen Satz“ enthält, einfach eine Folge von Wörtern ohne Bedeutung .

Quines Paradoxon

Aber es gibt noch ein weiteres Paradoxon, das jede Zirkularität vollständig vermeidet. Betrachten Sie den folgenden Satz Q:

„, dem das Zitat seiner selbst vorangestellt ist, ist kein wahrer Satz.“ dem Zitat seiner selbst vorangestellt ist, ist kein wahrer Satz.

Q ist ein perfekt grammatikalischer Satz, der sich nicht auf sich selbst bezieht, daher kann man sich nicht auf den Einwand der Zirkularität gegen die Lügnerparadoxon-Varianten berufen. Aber Q verwendet immer noch den Begriff der "Wahrheit", der nur durch Interpretation in der realen Welt mit Bedeutung erfüllt werden kann , und wie im verlinkten Beitrag erklärt, versagt er genau dort.

Genauer gesagt kann Q nicht gerechtfertigt werden, ein Satz über die Realität zu sein, und kann daher nicht gerechtfertigt werden, einen (booleschen) Wahrheitswert zu haben. Wenn Q ein wahrer Satz ist, dann können wir einen Widerspruch ableiten. Wenn Q kein wahrer Satz ist, dann können wir auch einen Widerspruch ableiten. Aber "Q ist ein wahrer Satz" selbst kann keinen Wahrheitswert begründen! Wir können also keinen absoluten Widerspruch ableiten.

Darüber hinaus kann „Q ist ein Satz über die Realität“ auch nicht mit einem Wahrheitswert gerechtfertigt werden, sodass wir nicht ableiten können „Q ist kein Satz über die Realität“, obwohl wir, wenn wir möchten, „auf die Metaebene gehen“ und beobachten können dass wir wirklich nicht in der Lage sind, "Q ist ein Satz über die Realität" abzuleiten.

Aus welchen Gründen auch immer, sind sich nicht viele Philosophen dieser Auflösung der Paradoxien bewusst. Aber „Satz über die Realität“ hat eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit Kripkes Begriff der „begründeten Sätze“, weil jeder Satz über die Realität buchstäblich semantisch in der realen Welt begründet ist. Natürlich hatte Kripke begründete Sätze zu jenseits von Sätzen über die Realität erweitert, aber das ist ein ganz anderes Thema.

Uneingeschränktes Satzverständnis

Lassen Sie mich nun die Randbemerkungen zur Mengenlehre ansprechen.

Genauso wie die naive Vorstellung, Mengen durch uneingeschränktes Verstehen zu bilden, aufgegeben wird, weil sie zu Widersprüchen führt, sollte die naive Vorstellung, dass der Lügnersatz eine Aussage ausdrückt, aufgegeben werden.

Es gibt ein bedeutendes philosophisches Problem mit dem gemeinsamen Standpunkt vieler Mengentheoretiker. Der Begriff „Set“ sollte nämlich den Begriff „Sammlung“ erfassen. Wenn es wirklich ein mengentheoretisches Universum gibt, das ZFC erfüllt, dann ist dieses Universum selbst eine Sammlung, und die ZFC-Axiome erfassen dies eindeutig nicht richtig. MK (Morse Kelley)-Mengentheorie löst das nicht, weil es wiederum keine Klasse aller Klassen gibt.

In jedem Fall gibt es keine nicht zirkuläre philosophische Rechtfertigung für ZFC , also ist ZFC tatsächlich ein Ablenkungsmanöver bei der Diskussion von Russells Paradoxon.

Verwerfen von Axiomen bei Erreichen eines Widerspruchs

Abschließend möchte ich darauf hinweisen, dass es nicht machbar ist , Axiome, die zu einem Widerspruch führen, einfach zu verwerfen. Ein einfaches Beispiel: Wenn PA konsistent ist, dann ist auch PA+¬Con(PA) konsistent, beweist aber einen falschen Satz (unter der Standardinterpretation natürlicher Zahlen in der realen Welt). Dies zeigt deutlich, dass bloße Konsistenz bei weitem nicht ausreicht, um eine Logik oder ein formales System sinnvoll zu machen, und wir müssen eine Art Solidität haben . Zumindest sollten wir arithmetische Solidität haben (zumindest auf menschlicher Ebene).

Kommentare sind nicht für längere Diskussionen gedacht; diese Konversation wurde in den Chat verschoben . Für weitere Kommentare gehen Sie bitte zum Chat.

Es gibt keinen „diesen Satz“ für „diesen Satz“, auf den man sich in dem Moment beziehen könnte, in dem er gesprochen, gehört, geschrieben oder gelesen wird. Das Sprechen, Hören, Schreiben und Lesen von „Dieser Satz ist falsch“ braucht Zeit, auch wenn es nur ein oder zwei Sekunden sind. In dem Moment, in dem „Dieser Satz“ gesprochen, gehört, geschrieben oder gelesen wird, gibt es also keinen Satz, auf den sich „Dieser Satz“ beziehen könnte. Wenn also kein Satz gesprochen, gehört, geschrieben oder gelesen wurde, dann wurde in dem Moment, in dem „dieser Satz“ gesprochen, gehört, geschrieben oder gelesen wird, über keinen Satz gesprochen. Das ist der Grund, warum es bedeutungslos ist. Ich denke auch, dass Tarski sagte: "Eine Sprache kann nicht verwendet werden, um von sich selbst zu sprechen". Um von einer „Objektsprache“ zu sprechen, müssen Sie technisch gesehen eine andere Sprache verwenden, die als „Metasprache“ bezeichnet wird. Also "Dieser Satz ist wahr"

Gödel ist ein Satz gelungen, der über sich selbst spricht. Ein bisschen knifflig, aber er hat es geschafft.

Dieser Kommentar ist zu lang, um als solcher gepostet zu werden.

Die Lösung von user21820 für den (verstärkten) Lügner erscheint mir vernünftig: Wir können nicht beweisen, dass der Lügner Hausarrest hat; Dazu müssten wir zeigen, dass es einen begründeten Satz L gibt, der dem begründeten Satz "L ist kein wahrer Satz" entspricht. Im Allgemeinen kann nicht davon ausgegangen werden, dass zirkuläre Definitionen gültig sind: Dies ist vergleichbar mit der Tatsache, dass in der Mathematik rekursive Funktionsdefinitionen zumindest implizit von Begründungssätzen begleitet werden müssen.

Einige Philosophen würden eine solche Lösung kritisieren, indem sie sagen, dass es unproblematische Zirkelsätze gibt, wie zum Beispiel „Dieser Satz hat mehr als 2 Zeichen“. Aber wir können einen solchen Satz einfach umschreiben als

"'Dieser Satz hat mehr als 2 Zeichen' hat mehr als 2 Zeichen".

Beachten Sie, dass die innere Zeichenfolge nicht als Satz begründet sein muss, damit die äußere Zeichenfolge als Satz begründet werden kann, da letztere einfach eine Behauptung über die Syntax der ersteren aufstellt . Wir können leicht aus vernünftigen Annahmen schließen, dass der Satz begründet ist. Wenn wir versuchen würden, dasselbe für den Lügner zu tun, müsste die innere Saite zuerst geerdet werden, aber es wäre wieder genau der Lügner. Außerdem wären Sätze wie "Dieser Satz ist wahr" nicht beweisbar begründet, was in Ordnung ist, da sie sowieso nicht viel zu nützen scheinen.

Es gibt praxistaugliche Zirkelsätze, die aber nicht erdungsfähig erscheinen . Beachten Sie, wie ich oben sagte: "Dies ist ein Kommentar, der zu lang ist, um als solcher gepostet zu werden". Es ist nicht klar, wie eine solche Aussage begründet werden kann.

Wir könnten es umformulieren als „Was folgt, ist ein Kommentar, der zu lang ist, um als solcher gepostet zu werden“, aber das würde die Bedeutung leicht verändern. Außerdem würden Probleme entstehen, weil ich die Aussage auch hier erwähne und alles wieder zirkulär mache.

Gedanken zu diesem letzten Punkt?

Ja du hast mich richtig verstanden. Um zu sagen, dass ein Zirkelsatz bedeutungsvoll ist, müssten wir irgendwie rechtfertigen, dass er einem begründeten Satz entspricht. Und ich stimme Ihrem Beispiel zu, wo "Dieser Satz hat mehr als 2 Zeichen." ist lediglich eine Zeichenfolge, die konkret mehr als 2 Zeichen hat, und durch diese Ableitung können wir uns dann (wenn wir möchten) dafür entscheiden, dieser Zeichenfolge eine Bedeutung zu verleihen. Deshalb müssen wir zwischen Syntax und Semantik unterscheiden. Was Ihren letzten Punkt betrifft, ist es nicht dasselbe wie in Ihrem Beispiel? "This" bezieht sich auf Ihren Beitrag als Zeichenfolge, nicht auf seine Interpretation.
@ user21820 Hmm, du hast Recht. Der Begriff des Kommentars ist in der Tat ein syntaktischer, nicht ein semantischer. Und ich habe einfach eine Behauptung über seine Länge aufgestellt. Ich frage mich jedoch, ob es Beispiele für unbegründete, aber nützliche Sätze "in freier Wildbahn" gibt.
Warum können wir nicht einfach sagen, dass der Lügnersatz keine Behauptung ausdrückt?
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