Woher kommt die verringerte effektive Masse der Elektronen?

Es ist eine bekannte Tatsache, dass Elektronen im Leitungsband eines Halbleiters (in bestimmten Szenarien) so beschrieben werden können, dass sie eine ungefähr parabolische Dispersionsbeziehung der Form haben E C ( k ) = E C + ℏ 2 k 2 2 M ∗ Wo M ∗ ist die sogenannte effektive Masse, die mit der Größe der Bandlücke zunimmt. Diese effektive Masse wird oft als Bruchteil der Standardelektronenmasse gemessen M e und es kann viel kleiner sein: zum Beispiel haben wir das bei GaAs M ∗ = 0,067 M e .

Nun, so wie es mir beigebracht wurde, war dies nur ein Ergebnis des Standards k → ⋅ P → Störungstheorie, die irgendwie die Kristallgitterstruktur und die damit verbundene Periodizität beinhaltet, um die Bandstruktur in der Nähe von Bandextremen zu betrachten. Diese Formulierung erweist sich als wirksam und wird daher verwendet.

Aber für mich wurde der Ursprung dieser effektiven Masse nie erklärt. Denn ist das nicht erstaunlich? Warum verhält sich ein Elektron plötzlich so, als wäre es viel, viel leichter, wenn es in ein Gitter eingesetzt wird? Ich nehme an, es ist ein Quanteneffekt, der vielleicht mit Interferenz zu tun hat? Das ist aber nur eine Vermutung. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte, einen Einblick zu bekommen, wie dieser Effekt zustande kommt.

Es ist wie der Brechungsindex eines Mediums: Durch die periodische Anordnung der Atome scheint sich das Licht langsamer zu bewegen. Dieser Effekt lässt sich klassisch (Standardoptik-Ergebnis) durch Berücksichtigung der Polarisierbarkeit der Medien (Lorentz-Lorenz) erklären. Bei Elektronen kann man sich vorstellen, dass die Periodizität des Gitters (Bloch) bewirkt, dass die Elektronen einen effektiven Impuls haben, also eine andere Masse.
@AccidentalFourierTransform Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich folge. Ich interpretiere das folgendermaßen: In typischen (klassischen) Erklärungen des Brechungsindex wird die Phasengeschwindigkeit einer EM-Welle verlangsamt, weil das Feld die Ladungen der Atome proportional zur Suszeptibilität stört und sie schüttelt, wodurch sie eine Welle aussenden auf der gleichen Frequenz mit einiger Verzögerung. Die Überlagerung all dieser Wellen ist dann die verlangsamte EM-Welle. Ich nehme an, das ist Ihrer Geschichte ähnlich, weil Polarisierbarkeit von Clausius-Mossoti mit Anfälligkeit in Verbindung gebracht wird. Aber wie wende ich diese Geschichte hier an?
@AccidentalFourierTransform Hm, vielleicht um das oben Gesagte weiterzuverfolgen, argumentieren Sie, dass das Elektron mit den verschiedenen Atomen im periodischen Gitter so interagiert, dass die Überlagerung jeder dieser Wechselwirkungen zu dem Gesamteffekt führt, der die verringerte Masse ist in diesem Fall? In diesem Fall versuche ich wohl, ein Bild zu finden, in dem ich verstehen kann, wie diese zusammengefassten Wechselwirkungen (effektiv) die Masse des Elektrons verringern
Beachten Sie, dass die Streuung durch ein Potential eine Phasenverschiebung in der Wellenfunktion des Elektrons induziert (siehe zB Phasenverschiebungen in der Streuungstheorie ). Wie auch immer, wir sollten die Brechungsindex-Analogie nicht zu weit treiben. Wir reden ja schließlich von QM...
Eine geringe effektive Masse an Ladungsträgern hat ihren Preis: Sie scheint meist mit einer hohen Dielektrizitätskonstante des Materials einherzugehen. Meine Intuition mag hier völlig daneben liegen, aber ich frage mich, ob man einen Teil des Effekts einer klassischen mittleren Feldnäherung über das dielektrische Verhalten des Gitters zuschreiben kann?
@AccidentalFourierTransform Ja, natürlich ist es selten eine gute Idee, Analogien zu weit zu treiben. Aber ist das, was ich geschrieben habe, die Idee, auf die Sie hinaus wollten? Es tut mir leid, wenn das aus Ihrer Antwort impliziert wird, es war mir nicht ganz klar.
Es ist gegen den Mainstream, aber ich habe darüber geschrieben, wie Elektronen durch EM-Strahlung / Photonen Masse gewinnen oder verlieren.

Antworten (1)

Wenn Sie nach einer strengen Herleitung der effektiven Massengleichung suchen, lesen Sie weiter

S. Datta, Quantenphänomene. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1989.

Er nimmt die vollständige Schrödinger-Gleichung mit dem periodischen Potential und schreibt sie in die Bloch-Zustandsbasis. Er schreibt dann die effektive Massengleichung in der ebenen Wellenbasis. Indem er die Matrixelemente beider Gleichungen vergleicht, gelangt er zu dem Satz von Näherungen, der notwendig ist, damit sie äquivalent sind.

Danke für die Quelle! Ich fürchte, dass eine strenge Ableitung nicht genau das ist, was ich zu finden versuche, eher ein intuitives Bild davon, wie sich die Elektronen verhalten können, als wären sie so leicht, als dass es aus der Mathematik folgt.
Das Ergebnis all der komplexen Wechselwirkungen zwischen Elektron und Gitter sieht im Grunde wie ein leichteres Elektron aus.
Richtig, und es hängt mit der Periodizität zusammen, ebenso wie mit den Atomen selbst. Aber handelt es sich um einen Interferenzeffekt?
Ja, man kann es als Interferenz der Streuung an jedem Gitterplatz sehen.
Okay, ja, ich glaube, ich kann jetzt folgen. Die Idee ist, dass Sie (indem Sie einen der beiden Ansätze wählen) Ihre Zustände in der Bloch- oder der Ebene-Wellen-Basis ausdrücken und so Wechselwirkungen mit vielen Gitterplätzen gleichzeitig für einen Interferenzeffekt berücksichtigen. Diese Interferenz führt dann zum leichteren (aussehenden) Elektron. Vielleicht möchte ich jedoch etwas tiefer darauf eingehen, wie diese komplexen Wechselwirkungen dann individuell zu einer geringeren effektiven Masse beitragen; das erscheint mir nicht intuitiv, aber vielleicht ist es nicht sehr vernünftig zu fragen, da dies nur eine Annäherung ist.
Wenn Sie an Masse als Eigenschaft einer Dispersionsrelation denken, dann wird Ihre Frage zu "warum haben Bänder eine bestimmte Krümmung". Während Sie Bänder mit Methoden wie Tight-Binding berechnen können, ist es schwierig, ihre Form intuitiv zu erklären.
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