Zusätzliche Energie in dualen Masse-Feder-Systemen

Sie müssen beide Massen zusammen als ein einziges SHM-System analysieren - Sie können dann nicht in zwei unabhängige SHM-Komponenten aufgeteilt werden.

Angenommen, wir beginnen mit der Feder in ihrer natürlichen Länge und bewegen Masse$m$mit Abstand nach links$x_1$und Masse$M$mit Abstand nach rechts$x_2$. Die Kraft, die die Feder auf beide Massen ausübt, ist jetzt$k(x_1+x_2)$. Also wenn wir Masse bewegen$m$aus$x_1=0$Zu$x_1=A_1$und wir bewegen Masse$M$aus$x_2=0$Zu$x_2=A_2$dann ist die gesamte in der Feder gespeicherte Energie

$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$

Wo$y=x_1+x_2$, Und

$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$

es gibt also keine "zusätzliche energie".

Wenn wir die Massen lösen, ist die Bewegungsgleichung der Masse$m$Ist

$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

und für Masse$M$es ist

$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

Wenn wir diese zusammenzählen, erhalten wir

$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$

Wo$k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, Und$y(0) = x_0$,$\frac{dy}{dt}(0) = 0$. So

$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

Ähnlich

$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

Wenn die Feder zu ihrer natürlichen Länge zurückkehrt,$y=0$Und$\cos \sqrt{k'}t = 0$So$\sin \sqrt{k'}t = 1$. Also die kinetische Energie des Systems ist

$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$

Mit anderen Worten, die gesamte in der Feder gespeicherte potentielle Energie wurde erwartungsgemäß in kinetische Energie umgewandelt.

Lassen$x$sei die Größe der maximalen Verschiebung von seiner Gleichgewichtsposition der Masse$m$Und$X$sei die Größe der maximalen Verschiebung von seiner Gleichgewichtsposition der Masse$M$.

Impulserhaltung für das System erfordert$m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.

Für dieses System ist die Eigenfrequenz der Schwingung gegeben durch$\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.

Die maximale kinetische Energie des Systems ist$\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.

Den Wert von eingeben$\omega^2$und Ausmultiplizieren ergibt die kinetische Energie als

$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.

Es ist möglich, eine allgemeinere Analyse durchzuführen, um zu zeigen, dass die Gesamtenergie des Systems konstant ist.