Erhaltung der mechanischen Energie im bewegten Rahmen

Oder wirkt sich die Bewegung der Anfangsfeder irgendwie darauf aus, wie viel Energie sie auf den Ball übertragen kann?

Die Bewegung des schweren Wagens muss ebenfalls in die Berechnung einbezogen werden. Während des Abschusses des Balls bewegt sich der schwere Wagen und übt eine Kraft in Bewegungsrichtung auf die Feder aus, daher wird Arbeit an der Feder verrichtet. Die Kraft fügt also der Feder Energie hinzu, die dann auf die Kugel übertragen wird. Somit steigt die an die Aufnahmefeder abgegebene mechanische Gesamtenergie mit zunehmender Geschwindigkeit des schweren Wagens. Die Formel, die Sie für Energie geschrieben haben, ist auf dem richtigen Weg, aber unvollständig.

Ich gehe natürlich davon aus, dass hier keine Schleppkräfte oder Reibungskräfte im Spiel sind. Anfänglich, während sich der Wagen mit einer Geschwindigkeit bewegt$v$, besitzt der Ball Energie von$\frac{1}{2}mv^2$.

Zusammen mit dem elastischen Potential der Energie von$\frac{1}{2}kx_1^2$, wird die Summe dieser Energie in die kinetische Energie der sich bewegenden Kugel umgewandelt, die dann in elastische potentielle Energie der zweiten Feder umgewandelt wird.

Die Gleichung sollte wie folgt lauten:$\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx_1^2=\frac{1}{2}kx_2^2$

Es ist jedoch fehlerhaft, die Geschwindigkeit zu berechnen, die die Feder dem Ball verleihen würde, und sie dann mit der Geschwindigkeit des Wagens (auch der Geschwindigkeit des Balls) zu summieren. Diese Methode kann nur funktionieren, wenn der Ball zunächst stationär ist, also auch der Ball stationär ist. Energie ist proportional zu$v^2$, um jeweils ein Objekt um zu erhöhen$1ms^{-1}$, es erfordert jedes Mal mehr Energie. So können wir das also nicht machen.

In der Newtonschen Mechanik ist die gesamte mechanische Energie nicht rahmenunabhängig. Berechnet man die Energie des Systems Kugel/Wagen/Feder/Feder im Ruhesystem der Raumwände, so erhält man einen Wert. Wenn Sie es im Restframe des Warenkorbs berechnen, erhalten Sie einen anderen Wert. Das heißt, Sie können die im Wagenrahmen berechnete Energie nicht direkt als Wert im Rahmen der Wände des Raums verwenden.

Wenn Sie die mechanische Energie des Wagenrahmens nutzen möchten, müssen Sie sich darüber im Klaren sein, dass sich die an der Wand befestigte Feder in Richtung der Kugel bewegt, was die maximale Kompression der Feder bewirkt.

Ein Gedankenexperiment: Sie befinden sich in einem Zug, der sich mit 10 m/s bewegt, und darin befindet sich ein 1 kg schweres Objekt, das sich mit 10 m/s in Bezug auf den Zug vorwärts bewegt. Im Inneren des Zuges berechnen Sie seine kinetische Energie mit 50 J. Wenn es in Bezug auf den Zug in Ruhe war, hätte ein äußerer Beobachter ihm ebenfalls 50 J gegeben. Aber jetzt berechnet der äußere Beobachter seine Energie mit 200 J ( nicht 50+50). Energie kann man so nicht addieren.

Eine Feder im Ruhezustand vermittelt eine Energie von$\frac12 k x^2$auf ein Objekt, die durch Integrieren der Kraft über eine Folge unendlich kleiner Entfernungen berechnet wird. Aber beim Bewegen übt die Feder dieselben Kräfte über längere Strecken aus , sodass sie mehr Arbeit verrichtet und mehr Energie überträgt. Auch hier führt das Addieren von Energie aus dem „Trägheitsrahmen“ und von allem, was in diesem Rahmen in Ruhe passiert, zu einem falschen Ergebnis.

Ihre Intuition lag also falsch: Sie müssen die Geschwindigkeiten addieren, nicht die Energien. Sie können fragen, woher die zusätzliche Energie kommt (sowohl in Ihrem Experiment als auch in dem im Zug). Sie kommt vom Fahrzeug, das auf eine Seite der Feder eine Kraft ausübt und somit Arbeit leistet. Wenn es eine endliche Masse hat, wird es etwas langsamer und gibt einen Teil seiner kinetischen Energie an das Objekt ab. Wenn seine Masse unendlich ist, sinkt auch seine kinetische Energie um diesen Betrag – von unendlich zu unendlich.

Wenn Sie die Erhaltung der mechanischen Energie verwenden möchten, verwenden Sie stattdessen den Arbeitsenergiesatz, da die Erhaltungsprinzipien rahmenabhängig sind, der Arbeitsenergiesatz jedoch rahmenunabhängig ist.