Zusammenbruch der Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung ohne Messung

Nach von Neumann ist der Messvorgang nur eine spezielle Art der Interaktion zwischen zwei Systemen, die speziellen Regeln folgt, wenn es darum geht, eine bestimmte Observable zu mitteln$X$.

Lassen$H$sei ein Hilbertraum,$(\Omega,\mathscr{B})$ein Borel-Raum, mit$\Omega\subseteq \mathbb{R}$Und$\mathscr{B}$ein Borel$\sigma$-Algebra an$\Omega$. Mittels des Spektraltheorems wird eine selbstadjungierte Observable eindeutig durch ein projektionswertiges Maß bestimmt$X:\mathscr{B}\to \mathcal{L}(H)$so dass$X(\Omega)=1$. Hier$\mathcal{L}(H)$bezeichnet die beschränkten Operatoren on$H$. Ein Zustand des Systems$\rho$ist ein positiver Spur-Eins-Operator (Dichtematrix).

Im Staat$\rho$, die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis einer Messung von$X$ist in der Teilmenge$B\in \mathscr{B}$der möglichen Werte ist gegeben durch

$$\mathrm{Prob}(X\in B; \rho)=\mathrm{Tr}[\rho X(B)]\; .$$

Nun lass$K$sei ein weiterer Hilbert-Raum,$\sigma$ein Zustand an$K$. Dann die Formel

$$\mathrm{Tr}[\rho E_\sigma(x)]=\mathrm{Tr}[(\rho\otimes\sigma) x]$$ Wo $x\in \mathcal{L}(H\otimes K)$, Und $\rho$ist ein Zustand auf $H$, definiert eine Karte von den Operatoren an $\mathcal{L}(H\otimes K)$an die Betreiber weiter $\mathcal{L}(H)$so dass für jeden Betreiber $x=a\otimes 1$, Wo $1$ist der Identitätsoperator, $E_\sigma(a\otimes 1)=a$.

Nun, gegeben ein Observable$X$auf einem Hilbertraum$H$mit Wertraum$(\Omega,\mathscr{B})$, ein Messverfahren für$X$ist ein Vierer$(K,\tilde{X},\sigma,U)$bestehend aus einem Hilbertraum$K$, eine beobachtbare$\tilde{X}$An$K$mit Wertraum$(\Omega,\mathscr{B})$, ein Staat$\sigma$An$K$, und eine einheitliche Entwicklung$U$An$H\otimes K$Befriedigung der Relation:

$$\begin{equation} \tag{1} X(B)=E_\sigma\bigl(U^*(1\otimes \tilde{X}(B))U\bigr) \end{equation}$$ für alle $B\in \mathscr{B}$. Der Hilbertraum $K$repräsentiert das apparative System, das Beobachtbare $\tilde{X}$ist die Position des Zeigers auf der Skala des Messgeräts gemeint. Die Messung erfolgt durch die Interaktion zwischen $H$Und $K$beschrieben durch die einheitliche Evolution $U$das nimmt die Form an $$U=e^{-it (H_{1}\otimes 1+1\otimes H_{2}+ H_{int})}\; ,$$ Wo $t\in\mathbb{R}$ist die Zeit, die für die Messung benötigt wird.

Die Anforderung (1) ist äquivalent zu sagen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung$\mathrm{Prob}(X\in B;\rho)$eines Ergebnisses in$B\in\mathscr{B}$muss mit der Wahrscheinlichkeit übereinstimmen$\mathrm{Prob}(\tilde{X}\in B;U(\rho\otimes\sigma)U^*)$des entwickelten Systems zu der Zeit$t$.

Das ist nun die mathematische Formulierung eines Messvorgangs. Wir müssen beachten, dass der Prozess den Zustand modifiziert$\rho$, "Einsturz" in den Staat$\rho^B$nach Messung, gegeben durch

$$\rho^B= \frac{1}{\mathrm{Tr}[\rho X(B)]}\mathrm{Tr}_K \bigl[U(\rho\otimes\sigma)U^* (1\otimes \tilde{X}(B))\bigr]\; ,$$ Wo $\mathrm{Tr}_K$steht für die Teilspur an $K$. Dies ist jedoch keine physische Operation, sondern eine Bequemlichkeit, die wir nutzen, weil wir nach der Messung das System betrachten möchten $H$allein und nicht das ganze System $H\otimes K$. Für das Gesamtsystem hat sich jedoch nichts anderes als die übliche Schrödinger-Evolution ergeben.

Natürlich können Sie daran denken, das System weiterzuentwickeln$H\otimes K$von$U$unabhängig vom Messvorgang. Und beginnend mit einem Zustand$\rho\otimes \sigma$, wirst du nach einiger Zeit bekommen$t$der Staat$U(\rho\otimes\sigma)U^*$. Allerdings geht es erst nach teilweiser Mittelung weiter$K$das Beobachtbare$(1\otimes \tilde{X}(B))$dass wir den kollabierten Zustand erhalten haben$\rho^B$. Und letztere Operation ist in der Tat der Akt des Messens. Ich sehe also nicht, wie der Staat zusammenbrechen würde, ohne an der Messung beteiligt zu sein.

Kollabiert die Wellenfunktion ohne Messung?

Ja und nein. Zusammenbruch ist eine manchmal nützliche Fiktion. Manchmal können Sie so tun, als hätte sich ein Subsystem in einen bestimmten Zustand entwickelt, einen zusammengebrochenen Zustand.

Da alle Dinge durch Wellenfunktionen beschrieben werden, sollte ich im Prinzip in der Lage sein, den Zusammenbruch von Wellenfunktionen durch die Schrödinger-Gleichung zu beschreiben. (ich weiß aber nicht wie genau)

Notieren Sie einfach den Zustand des Geräts, mit dem die Messung durchgeführt wurde, und verwenden Sie den korrekten Hamilton-Operator, der die Wechselwirkung beschreibt. Genau wie jede Zeitentwicklung. Beschreiben Sie das System, verwenden Sie den richtigen Hamiltonoperator.

Der einzige Unterschied zwischen Kollaps und keinem Kollaps besteht darin, ob Sie die gesamte Wellenfunktion betrachten oder ob Sie Teile betrachten und so tun, als wären die Teile das Ganze.

Zusammenbruch ist eine nützliche Fiktion, wenn das Vortäuschen einfacher ist als das Nichtvorgeben und wenn das Vorgeben auch nicht zu Fehlern führt.

Kollaps ist kein physischer Prozess, der passiert. Es ist eine nützliche Fiktion, eine reale Sache, die bereits passiert ist, zu stark zu vereinfachen. Das Eigentliche, was bereits passiert ist, ist, dass sich das System in Teile entwickelt hat, die jetzt unabhängig sind und unabhängig bleiben werden.

Hier ist ein einfaches Beispiel. Sie haben eine Überlagerung eines Gaußschen freien Teilchens, das nach rechts geht, und eines, das nach links geht, und sie überlappen sich. Da sie überlappen, hängen Wechselwirkungen in der Überlappung von beiden Gauusschen Wellen ab.

Aber wir konnten warten. Wenn wir warten, geht eine Gaußsche nach links (und breitet sich aus) und die andere nach rechts (und breitet sich aus) und wir können beginnen, die Fiktion zu verstehen, dass es nur eine rechts gibt, die nach rechts geht, und eine links, die nach links geht. Aber im Moment wäre es verfrüht, denn sie könnten auf eine Barriere treffen und zurückreflektieren und sich wieder überlappen.

Die Wellenfunktion ist jedoch im Konfigurationsraum definiert und es gibt andere Teilchen. Die nach rechts laufende Welle könnte also einen Bereich des Konfigurationsraums erreichen, in dem sich dieses Teilchen in der Nähe eines anderen Teilchens befindet, und es ablenken. Dies bedeutet, dass sich die gesamte Traufe im Konfigurationsraum gedreht hat, die Welle in Richtung der$\hat x_1$Richtung wird jetzt abgelenkt, um ein bisschen in die zu gehen$\hat x_2$Richtung auch. Aber diese Welle, die nach links geht, nähert sich einem anderen Teilchen und so wird die Welle abgelenkt$\hat x_3$Richtung.

Und diese verschiedenen Partikel beschrieben durch$x_2,y_2,z_2$Und$x_3,y_3,z_3$können sich zu beschriebenen Teilchen bündeln$x_4,y_4,z_4$Und$x_5,y_5,z_5$(wobei Partikel zwei mit vier interagiert und Partikel 3 mit Partikel 5 interagiert). Und es kann Schneeball spielen. Schließlich wurden die beiden Wellen in dem enorm dimensionalen Konfigurationsraum in so viele verschiedene Richtungen abgelenkt, dass selbst wenn die ursprünglichen Wellen auf echte Barrieren treffen und reflektiert werden, es äußerst unwahrscheinlich ist, dass die andere Welle genau an der richtigen Stelle und zur genauen Zeit auf eine Barriere trifft Richten Sie es so aus, dass sich die beiden überlappen.

So effektiv, dass sie sich so verhalten können, als wären sie die einzige Welle. Niemand hat versucht, einen bestimmten Operator zu messen. Aber das System hat sich zu Stücken entwickelt, die jetzt unabhängig voneinander behandelt werden können. Und so wird es akzeptabel und sogar potenziell nützlich, so zu tun, als hätte es sich zu einer dieser beiden Wellen entwickelt.

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Danke für die ausführliche Erklärung, aber ich habe davon gehört, dass ein solcher Hamiltonian nicht einheitlich wäre, daher ist es immer noch fraglich?

Wenn Sie die Wellenfunktion des Subjekts und des Geräts aufschreiben, ergibt der korrekte Hamiltonoperator, der ihre Wechselwirkung beschreibt, eine einheitliche Zeitentwicklung. Und es wird den Zustand zu einem verstrickten Zustand entwickeln, in dem das Subjekt und das Gerät mit den verschiedenen Projektionen des Subjekts verstrickt sind, mit verschiedenen Zuständen des Geräts.

Sie könnten sich zum Beispiel weiterentwickeln$\left(\alpha\psi_{s1}+\beta\psi_{s2}\right)\otimes\psi_{d0}$hinein$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$. Dies ist eine einheitliche Evolution. Und es ist definitiv anders als der Zusammenbruch, der sich entwickelt$\left(\alpha\psi_{s1}+\beta\psi_{s2}\right)\otimes\psi_{d0}$hinein$\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$mit Wahrscheinlichkeit$|\alpha|^2$und hinein$\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$mit Wahrscheinlichkeit$|\beta|^2$.

Wenn der Gerätezustand jedoch an eine Umgebung gekoppelt ist, dann sind die beiden Teile,$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$Und$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$kann sich jeder wie seine eigene Welt verhalten und so tun, als ob er der einzige Teil der Wellenfunktion wäre.

Das Problem ist, dass, wenn Sie das Subjekt und das Gerät und die Umgebung alle mit Quantenmechanik und alle mit der einheitlichen Zeitentwicklung behandeln, die durch den tatsächlichen Hamilton-Operator gegeben ist, Sie etwas erhalten, das auf die gleiche Weise wie ein Kollaps wirkt. Vergleichen wir also die beiden.

Unter Zusammenbruch bestehen Sie darauf, dass die Welt von beschrieben wird$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$oder wird beschrieben von$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$(Die Gesamtskala wirkt sich nicht auf Vorhersagen aus, Sie können sie berechnen$\langle\psi|\hat O|\psi\rangle/\ langle\psi|\psi\rangle$anstatt$\langle\psi|\hat O|\psi\rangle$).

Die eigentliche Mathematik sagt uns, dass die Welt beschrieben wird durch$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$Aber anstatt sich darüber aufzuregen, wie unterschiedlich diese auf dem Papier aussehen, können wir untersuchen, wie sie im Labor aussehen.

Und der Punkt ist, dass der zweite, richtige, wie der erste aussehen wird. Eine Welt beschrieben von$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$wird zwei Teile haben, a$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$Teil und a$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$Teil. Und jeder wird so tun, als wäre er der einzige Teil auf der Welt. Also die$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$Teil wird sich entwickeln, als ob die ganze Welt von beschrieben wird$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$. Und das$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$Teil wird sich entwickeln, als ob die ganze Welt von beschrieben wird$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$.

Also der Ist-Zustand$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$wird experimentell nicht von einer Vorhersage zu unterscheiden sein, in die Sie sich entwickeln$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$oder hinein$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$.

Die größten Hindernisse für Leute, die sich nicht hinsetzen und einfach die eigentliche Interaktion berechnen (wenn Sie sich hinsetzen und es tun, gibt es keine Möglichkeit, zu glauben, dass es nicht einheitlich ist), besteht darin, dass die Leute daran gewöhnt sind, das gesagt zu bekommen Es gibt zwei verschiedene Evolutionen, eine einheitliche Evolution aus dem Hamiltonian und einen nicht einheitlichen Kollaps.

Und die Realität ist, dass jede Wissenschaft einen Weg benötigt, Aspekte der mathematischen Modelle mit experimentellen und beobachtenden Ergebnissen in Beziehung zu setzen. Und der Punkt ist, dass die Leute, die einen Kollaps haben wollen, den Kollaps nur mit Beobachtungs- und experimentellen Ergebnissen in Verbindung bringen und einfach nicht diskutieren, was die experimentellen und beobachteten Ergebnisse einer regulären Wellenfunktion wären.

Sobald Sie besprechen, wie die Beobachtungs- und Versuchsergebnisse einer regulären Wellenfunktion aussehen, sehen Sie, dass die regelmäßige unitäre Zeitentwicklung etwas erzeugt, das die Beobachtungs- und Versuchsergebnisse liefert, die wir tatsächlich sehen.

Also ruft jede Seite dann Occams Rasiermesser an.

Collapse-Leute sagen, dass es dumm ist, andere Welten zu haben (die$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$Teil sollte so tun, als gäbe es keine$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$Teil und die$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$Teil sollte so tun, als gäbe es keine$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$Teil) und da sie dagegen sind, dass irgendein Teil Unwissenheit hat, postulieren sie, dass es nur einen Teil geben sollte, und bilden so eine ganz neue Evolution, nur damit jeder Teil die einzige Welt im Universum sein kann, anstatt nur ein unabhängiger Teil des Universums zu sein .

Auf der anderen Seite sagen keine Kollaps-Leute, es sei dumm, zwei völlig unterschiedliche Arten der Zeitentwicklung zu haben, wenn die reguläre einheitliche Zeitentwicklung Vorhersagen macht, die genau mit dem übereinstimmen, was wir tatsächlich sehen. Sie sagen stattdessen voraus, dass sich das Universum entwickelt, um Teile zu haben, die unabhängig voneinander handeln, und somit jeder unwissend wird, was der andere ist und tut. Also die$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$ kann so tun, als gäbe es keine$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$Teil (und umgekehrt) aus dem einfachen Grund, dass sie unabhängig handeln.

Die Kollapsmenschen sind wirklich nur moderne Solipsisten. Und sie können behaupten, dass sie nur Occams Rasiermesser benutzen, obwohl die No-Collaps-Leute es auch benutzen.

Wenn Sie der Solipsismus anspricht, werden Sie den Kollaps mögen, und der zu zahlende Preis besteht darin, zwei Evolutionen zu haben. Und Sie werden niemals andere Beweise für einen Zusammenbruch als Solipsismus sehen, weil es keinen Auslöser oder Zeitpunkt gibt, zu dem es passiert, weil Sie eine völlig neue Zeitevolution postuliert haben, die null experimentell unterschiedliche Konsequenzen hatte, und alles, was es Ihnen erlaubte, zu behaupten, dass es möglich ist kein größeres Universum sein als der Teil, an den du gekoppelt bist.

Wenn Sie der Solipsismus nicht anspricht, werden Sie es albern finden, einen physischen Kollaps-Prozess zu erfinden, der keine neuen Vorhersagen macht. Und Sie werden zu dem Schluss gezwungen, dass das Universum viele Teile/Welten hat und jeder Teil experimentell nur Daten über sich selbst erhalten kann, und das ist eine experimentelle Einschränkung, die niemals überwunden werden kann.

Sagen Sie [im Grunde], dass der gesamte Zusammenbruch der Wellenfunktion nur etwas für "Daten einpassen" ist?

Ich sage, kein Kollaps und Kollaps machen die gleichen Vorhersagen, sie extrahieren nur Vorhersagen aus der Mathematik auf unterschiedliche Weise. Einige Leute finden es albern, zwei verschiedene Zeitentwicklungen zu machen, wenn eine von ihnen bereits verwendet werden kann, um die Vorhersagen zu treffen, die perfekt zu dem passen, was wir sehen. Andere Leute widersprechen der Tatsache, dass die Mathematik eindeutig vorhersagt, dass sich das Universum in Teile entwickelt, die nicht wissen können, was die anderen Teile tun, und würden lieber einen magischen Zusammenbruchsprozess postulieren, der es so macht, dass die verschiedenen Teile allein und nicht unwissend sind.

Niemand macht andere Vorhersagen. Eine Gruppe von Menschen sagt Teile voraus, die sich jeweils so verhalten, als ob der Teil allein wäre. Die andere Gruppe von Menschen sagt Teile voraus, die wirklich allein sind.

Es gibt eine leichte Möglichkeit, sie zu unterscheiden, da die Gruppe an diesen Tagen so tut, als ob sie allein wäre, es gibt eine super super winzige Fähigkeit, mit dem anderen zu interagieren, nicht eine perfekte Null. Wenn also die Kollaps-Leute tatsächlich darauf bestanden, dass der Kollaps zu einer bestimmten Zeit oder an einem bestimmten Ort als physikalischer Prozess stattfand, und bereit waren, den No-Crash-Leute Geld zu zahlen, um sich als falsch herauszustellen, dann ist dies im Prinzip möglich (obwohl es zu schwierig ist, dies tatsächlich mit einem vernünftigen zu tun Höhe der Ressourcen und des Aufwands), um zu beweisen, dass die Kollaps-Leute falsch liegen.

Das Problem ist, dass die Leute, die keinen Kollaps haben, sagen, dass Sie so tun können, als ob ein Kollaps passiert wäre, genau dann, wenn es zu schwierig wird, den Unterschied zu erkennen. Fühlen Sie sich also frei, so zu tun, als ob ein Kollaps stattgefunden hätte, wenn es sinnvoll und angemessen ist. Rege dich nur nicht darüber auf. Es bedeutet lediglich, dass der Unterschied zwischen dem Zusammenbruch und dem, was die Mathematik tatsächlich vorhersagt, zu schwer zu bemerken ist und daher getrost ignoriert werden kann.

Nach der Standarddarstellung des QM, ja, es gibt einen Kollaps.

Die Wellenfunktion entwickelt sich im Raum nicht lokal, etwa so, wie sich ein Teilchen entlang einer Linie bewegt, sondern so, wie sich ein Ballon entwickelt, wenn Luft eingeblasen wird.

Eine Messung oder Wechselwirkung ist lokal; die Wellenfunktion - der Ballon fällt zusammen, sagen wir, wo ich ihn mit einer Nadel gestochen habe.

Aber genau hier liegt das Rätsel: Denn der Ballon kollabiert mechanisch und kausal, dh durch Spannung.

Aber im Wellenbild von QM, sobald die Messung oder Wechselwirkung auftritt, wie kollabiert die Welle von dort weg? Wie wird es informiert - nicht durch ein grundlegenderes Bild, denn QM ist das grundlegende Bild; Es ist diese Problematik von Lokalität und Realismus, die in Gedankenexperimenten wie EPR und so weiter untersucht wird.