Zustandsdichte für beliebige Dispersionsrelation

Question

Zustandsdichte für beliebige Dispersionsrelation

Physik
Zustandsdichte
Festkörperphysik

KBriggs

Wenn ich eine 3D-Dispersionsbeziehung habe

$E=E(k_x, k_y, k_z)$ Ich habe eine Gleichung für die Zustandsdichte, die ist

$D(E)=\frac{1}{\nabla_k E}\int\frac{dS}{(2\pi)^3}$

1) Ich bin verwirrt über das Integral. Worüber integriere ich genau? Es muss Einheiten von haben $k$ Vektor, also ist es ein k-Raum-Integral, aber was ist die relevante Oberfläche?

3) Woher kommt diese Gleichung, wie wird sie hergeleitet?

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Zustandsdichte für beliebige Dispersionsrelation

Benutzer105307 · Answer 1

Bei der Ableitung der gesuchten Zustandsgleichung werden wir daran erinnert, dass die Fläche, über die wir integrieren, eine Fläche konstanter Energie im reziproken Raum ist, der mit bezeichnet ist $S(e)$ , Wo $e$ ist die dreidimensionale Dispersionsrelation

Wir wissen, dass die Anzahl der Zustände zwischen den Oberflächen $S(e)$ Und $S(e + de)$ ist durch das Integral gegeben.

D (e) D e = \int_{S (e)} \frac{D S}{(2 π)^{3}} D Q_{⊥} (Q)

$D(e)\, \mathrm{d}e = \int_{S(e)} \frac{\mathrm{d}S}{(2\pi )^3} \mathrm{d}q_\perp(\boldsymbol q)$ wenn wir die Dispersionsrelation linear erweitern

e

$e$ als

e + d e = e + | \nabla_{q} e (q) | d q_{⊥} (q)

$e+\mathrm{d}e = e + |\nabla_\boldsymbol q e(\boldsymbol q)|\mathrm{d}q_\perp(\boldsymbol q)$ Wo

q

$\boldsymbol q$ ist ein Vektor,

d q_{⊥} (q)

$\mathrm{d}q_\perp (\boldsymbol q)$ ist der senkrechte Abstand zwischen den Flächen und

d q_{⊥} (q) = \frac{d e}{| \nabla_{q} e (q) |}

$\mathrm{d}q_\perp(\boldsymbol q)= \frac {\mathrm{d}e}{|\nabla_\boldsymbol q e(\boldsymbol q)|}$ . Dies führt zu

D (e) = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{S (e)} \frac{D S}{| \nabla_{Q} e (Q) |}

$D(e) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{S(e)} \frac {\mathrm{d}S}{|\nabla_\boldsymbol q e(\boldsymbol q)|}$ was die gesuchte Gleichung für die Zustandsdichte ist.

Ein Punkt zur Klarstellung: Der anfängliche Ausdruck für die Anzahl der Zustände impliziert, dass jeder Zustand ein q-Raumvolumen von einnimmt $(2\pi)^3$ . Warum ist das so? Für den Fall eines Teilchens in einer 3D-Box beispielsweise gilt das Volumen des q-Raums nicht $\left(\frac{2\pi}{V}\right)^3$ , oder verwechsle ich hier Variablen?
@KBriggs das liegt daran, dass wir in der Gleichung für die Gesamt- und Teilzustandsdichte die Summation ersetzen $\boldsymbol q$ durch ein Integral der Form $\sum_\boldsymbol q \to \frac{V}{(2\pi)^3} \int \mathrm{d}\boldsymbol q$ . Aus diesem Grund gibt es einen Faktor von $\frac{1}{V}$ hinter der Definition von $D(e) \mathrm{d}e$ , und in der Definition multiplizieren wir mit $V$ es loswerden.

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