Zweites Keplersches Gesetz: Erhaltung der Energie oder des Drehimpulses?

Multiplizieren Sie beide Seiten Ihrer Gleichung mit der Masse und Sie haben die gleiche Größe des Drehimpulses am Perigäum und am Apogäum. An diesen Punkten steht die Geschwindigkeit senkrecht zur Position, also$|\mathbf{L}|=|\mathbf{r}\times m\mathbf{v}|=mvr$.

In moderner Sprache drückt Keplers Zweites Gesetz die Erhaltung des Drehimpulses aus, nicht die Erhaltung der Energie. Aber es wird oft in Bezug auf die Geometrie angegeben , wie in Wikipedia :

Eine Linie, die einen Planeten und die Sonne verbindet, überstreicht in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen.

Um den Zusammenhang zwischen dieser flächenbezogenen Aussage des Zweiten Hauptsatzes und der Erhaltung des Drehimpulses zu sehen, erinnern Sie sich, dass die Größe des Kreuzprodukts zwischen zwei Vektoren die Fläche des Parallelogramms ist, das sie bilden. Die Hälfte davon ist die Fläche des Dreiecks, das sie bilden.

Stellen Sie sich das Dreieck vor, das im Laufe der Zeit ausgefegt wird$dt$durch den Positionsvektor$\mathbf{r}$wie es sich ändert$\mathbf{v}dt$. Die verschwindend kleine Fläche ist ausgefegt

$$dA=\frac12|\mathbf{r}\times\mathbf{v}dt|$$

weil eine Seite des Dreiecks ist$\mathbf{r}$und eine andere Seite ist$\mathbf{v}dt$.

Daher

$$\frac{dA}{dt}= |\mathbf{r}\times\mathbf{v}|=\frac{|\mathbf{L}|}{m}=\text{constant}.$$

Die Geschwindigkeit, mit der die Fläche überstrichen wird, ist also konstant, weil der Drehimpuls konstant ist.