Warum sind Raketen so groß?

Das Problem ist, was Konstantin Tsiolkovsky vor 100 Jahren entdeckte: Mit zunehmender Geschwindigkeit steigt die erforderliche Masse (in Kraftstoff) exponentiell an . Diese Beziehung ist insbesondere

$$\Delta v=v_e\ln\left(\frac{m_i}{m_f}\right)$$ wo $v_e$ist die Abgasgeschwindigkeit, $m_i$die Anfangsmasse u $m_f$die letzte Masse.

Das obige kann neu angeordnet werden, um zu erhalten

$$m_f=m_ie^{-\Delta v/v_e}\qquad m_i=m_fe^{\Delta v/v_e}$$ oder indem man die Differenz zwischen den beiden bildet, $$M_f=1-\frac{m_f}{m_i}=1-e^{-\Delta v/v_e}$$ wo $M_f$der Abgasmassenanteil ist.

Wenn wir davon ausgehen, dass wir von der Ruhe ausgehend 11,2 km/s (dh die Fluchtgeschwindigkeit der Erde ) mit einer Konstanten erreichen$v_e=4$km/s (typische Geschwindigkeit für NASA-Raketen) benötigen wir

$$M_f=1-e^{-11.2/4}=0.939$$ was bedeutet, dass fast 94 % der Masse beim Start Treibstoff sein muss! Wenn wir ein 2000-kg-Fahrzeug haben (ungefähr so ​​groß wie ein Auto), würden wir in einem Fahrzeug dieser Größe fast 31.000 kg Kraftstoff benötigen. Das flüssige Treibmittel hat eine ähnliche Dichte wie Wasser (also 1000 kg/m $^3$), also benötigen Sie ein Objekt mit einem Volumen von 31,0 m $^3$um es zu halten. Der Innenraum unseres autogroßen Objekts wäre etwa 3 m groß $^3$, Faktor 10 zu klein!

Das bedeutet, dass wir ein größeres Schiff brauchen , was mehr Treibstoff bedeutet! Und erklärt, warum diese Masse-Geschwindigkeits-Beziehung als „ Tyrannei des Raketenproblems “ bezeichnet wurde.

Dies erklärt auch die Tatsache, dass moderne Raketen mehrstufig sind . In einem Versuch, den erforderlichen Treibstoff zu verringern, wird eine Stufe, sobald sie ihren gesamten Treibstoff verbraucht hat, von der Rakete freigegeben und die nächste Stufe gezündet (dies über Land zu tun ist aus offensichtlichen Gründen gefährlich, daher startet die NASA Raketen über Wasser ) und Die Masse des Fahrzeugs wird um die Masse der (leeren) Bühne verringert. Mehr dazu finden Sie in diesen beiden Physics.SE-Beiträgen:

• Warum haben Raketen mehrere Stufen?
• Warum werfen Raketen Treibstofftanks ab?

TL;DR: Diese Antwort kommt ungefähr zum gleichen Ergebnis wie die Antwort von Kyle Kanos , dh neben Überlegungen zur Nutzlast besteht die Schwierigkeit darin, eine kleine Rakete mit einer Treibstoffmasse zu stopfen, die die Masse der Rakete selbst übersteigt. Diese Antwort ist jedoch strenger darin, wie die$\Delta v$Budget behandelt wird.

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Die Raketengleichung:

Betrachten Sie die Tsiolkovsky-Raketengleichung , die die Bewegung von Fahrzeugen beschreibt, die sich selbst antreiben, indem sie einen Teil ihrer Masse mit einer bestimmten Geschwindigkeit ausstoßen. Eine vereinfachte Version, die nur (konstante) Schwerkraft und Schub berücksichtigt, ist unten angegeben:

$$\Delta v(t) = v_e \cdot \ln \frac{m_0}{m(t)} - g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right)$$ wo $v_e$ist die effektive Abgasgeschwindigkeit, $m_f$ist die Masse des Treibstoffs an Bord, $\dot m$ist die Massenverbrennungsrate (zeitlich konstant), $m_0$ist die Anfangsmasse der Rakete und $m(t)$ist die aktuelle Masse der Rakete.

Beachten Sie, dass dies im Wesentlichen eine Impulsaustauschgleichung ist: Sie haben eine begrenzte Menge an Impuls durch den Ausstoß von Treibstoff zur Verfügung, die Sie aufwenden müssen, um die Geschwindigkeit der Rakete + des verbleibenden Treibstoffsystems zu erhöhen und die Schwerkraft zu überwinden (dh den Planeten immer zu ziehen so wenig). Eine Form der Tsiolkovsky-Gleichung, die dies nicht berücksichtigt (wie in der anderen Antwort), liefert Ihnen nicht-physikalische Ergebnisse.

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Beschränkte Variablen:

Womit können wir nun in dieser Gleichung spielen? Vorausgesetzt$t_{escape}$ist der Zeitpunkt, an dem die Rakete der Schwerkraft der Erde entkommt:

1. $\Delta v(t_{escape})$ist einfach unsere gewünschte Fluchtgeschwindigkeit (vorausgesetzt, die Rakete startet aus dem Stand), die dadurch bestimmt wird, wohin wir versuchen, die Rakete zu schicken
2. $m(t_{escape})$ist optimalerweise die Masse der Rakete ohne Treibstoff
3. Die effektive Abgasgeschwindigkeit$v_e$und die Massendurchflussrate$\dot m$sind eine Funktion des Typs des verfügbaren Motors/Treibmittels

Das bedeutet, dass keine dieser Mengen verhandelbar ist; Wir sind durch die Anforderungen der Mission und die verfügbare Technologie eingeschränkt.

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Entwicklung einer Beziehung zwischen Rakete und Treibstoffmasse:

Alles, womit wir spielen müssen, sind die Anfangsmassen des Raketentreibstoffs$m_f$und Raketenkörper$m_r$. Lassen Sie uns die Werte von ersetzen$v$und$m$in dem Moment, in dem die Rakete der Schwerkraft entkommt, und das bemerkt$m_0 = m_f + m_r$:

$$\begin{align} v_{escape} & = v_e \cdot \ln \frac{m_f + m_r}{m_r} - g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right)\\ & = v_e \cdot \ln\left(1 + \frac{m_f}{m_r}\right) - g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right) \end{align}$$

Umstellend haben wir:

$$m_r = m_f \cdot \left(\exp\left(\frac{v_{esc} + g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right)}{v_e}\right) -1\right)^{-1}$$

Beachten Sie, dass dies eine effektive Bereitstellung ist$m_r$als Funktion von$m_f$, da alle anderen Parameter durch die Einschränkungen der Mission und der Ausrüstung sowie durch Umgebungskonstanten festgelegt sind. Da die Beziehung nicht sofort offensichtlich ist, ist hier eine Handlung von$m_r$gegen$m_f$für ausgewählte Werte der Konstanten:

In Rot haben wir ein Diagramm der Raketenmasse gegenüber der anfänglichen Treibstoffmasse, während wir in Blau ein Diagramm des Verhältnisses der anfänglichen Treibstoffmasse zur Gesamtmasse haben. Beachten Sie, dass die Achse für das blaue Diagramm bei 0,9 beginnt !! Dies deutet darauf hin, dass unabhängig von der gewählten Raketenmasse die Netto-Anfangsmasse Ihres Fahrzeugs fast ausschließlich aus Treibstoff bestehen müsste.

Was bedeutet das also?

Das Befüllen eines Fahrzeugs mit einer Treibstoffmasse, die die eigene übersteigt, wird für kleine Raketen zunehmend schwieriger, für viel größere Raketen jedoch nicht so schwierig (denken Sie daran, wie das eingeschlossene Volumen eines Hohlkörpers im Verhältnis zur Masse skaliert). Aus diesem Grund wird es immer schwieriger, immer kleinere Raketen herzustellen.

Darüber hinaus wird eine Mindestgrenze für die Raketenmasse, die wir wählen können, durch das Gewicht der Nutzlast auferlegt, die sie tragen muss, was alles sein kann, von einem Satelliten bis zu einer einzelnen Person.

Obergrenze der Nutzlast:

Eine sehr interessante Sache passiert in der Nähe des Wendepunkts der Raketenmasse-Treibstoffmasse-Kurve. Vor dem Wendepunkt ermöglichte uns das Hinzufügen von mehr Treibstoff, eine größere Nutzlast auf die gewünschte Geschwindigkeit zu heben.

Allerdings irgendwo in der Nähe$4 \cdot 10^6$kg Kraftstoffmasse (für unsere ausgewählten Parameterwerte) stellen wir fest, dass das Hinzufügen von mehr Kraftstoff beginnt, die Nutzlast zu verringern , die angehoben werden kann! Was hier passiert, ist, dass die Kosten für den zusätzlichen Kraftstoff, der gegen die Schwerkraft ankämpfen muss, gegen den Vorteil eines hohen Kraftstoff-Nutzlast-Massenverhältnisses zu gewinnen beginnen.

Dies zeigt, dass es eine theoretische Obergrenze für die Nutzlast gibt, die mit der uns zur Verfügung stehenden Treibstofftechnologie auf die Erde gehoben werden kann. Es ist nicht möglich, einfach die Nutzlast und die Kraftstoffmassen im gleichen Verhältnis zu erhöhen, um beliebig große Lasten zu heben, wie dies durch die Verwendung der Tsiolkovsky-Gleichung ohne zusätzliche Terme für die Schwerkraft nahegelegt würde.

Betrachten Sie das Problem in der Form eines Verhältnisses, wie ist das Verhältnis der Masse, die zum Anheben der Rakete (Treibstoff) verwendet wird, zu der Masse, die schließlich in die Umlaufbahn (Cockpit) gebracht wird. Dieser Anteil wird bei kleineren Objekten, die in die Umlaufbahn gebracht werden müssen, ähnlich sein. Wenn Sie das gleiche Verhältnis oder den gleichen Anteil verwenden, um die benötigte Kraftstoffmasse für ein kleines Fahrzeug zu berechnen, werden Sie feststellen, dass Sie nicht einmal das Gerät tragen können, das Ihren Kraftstoff enthält. Aus diesem Grund verwenden Raketen auch Stufen.

Die Art des verwendeten Kraftstoffs hat auch Auswirkungen, aber das sind Details, die eine neue Frage erfordern.

Denn die meisten Nutzlasten sind ziemlich schwer. Ich bin mir nicht sicher, welche Art von Nutzlast Sie im Sinn hatten, ich bin kein Experte dafür, aber ich denke, dass die meisten Starts Satelliten enthalten, die möglicherweise schwerer sind als Sie denken, zum Beispiel wiegt der Satellit in dieser BBC-Dokumentation 6000 kg. Und laut Wikipedia wiegen miniaturisierte Satelliten weniger als 500 kg (also schwerer ist normal). Und einige dieser miniaturisierten Satelliten nutzen überschüssige Kapazitäten größerer Trägerraketen.

Und ich denke, dass kleinere Raketen die Turbulenzen unserer Atmosphäre viel heftiger erleben werden. Denken Sie auch an die relativ höheren Personalkosten (z. B. Mission Control). Und ich würde auch erwarten, dass bestimmte Aspekte nicht linear in der Größe skalieren, aber das wäre nur Spekulation. xxxxxx

Hauptsächlich, weil Sie viel Geschwindigkeit brauchen, um in den Weltraum zu fliegen, und für jede dieser Geschwindigkeiten müssen Sie beschleunigen. Wenn Sie eine hohe Geschwindigkeit benötigen, müssen Sie lange beschleunigen und benötigen daher eine große Menge Kraftstoff. Sie müssen auch die Schwerkraft während des gesamten Auftriebs kompensieren.

Es gibt Möglichkeiten, diesen Kraftstoffbedarf zu reduzieren, wie z. B. einen horizontalen Start, Sie erreichen eine große Höhe und starten dann, sodass Sie den Motor behalten, aber Sie brauchen immer noch viel Energie, um gegen die Schwerkraft zu kämpfen, und Flügel können Sie nicht sehr hochheben hoch, also wäre das kein so guter Kraftstoffverbrauch, und das Flugzeug müsste immer noch ziemlich groß sein.

$E = mc^2$

Je größer die Masse, desto mehr Energie kann erzeugt werden. Und wir haben noch keinen Brennstoff gefunden, der in kleinen Mengen die benötigte Menge an Energie liefert. Ich weiß, Sie werden an Kernenergie denken; Wir können mit der derzeitigen Technologie keinen Atomreaktor in eine Rakete einbauen, und selbst wenn wir es einbauen könnten, glaube ich nicht, dass unser vorhandenes Wissen in der Nuklearwissenschaft ausreicht, um unfallfreie Reaktoren bei solchen Geschwindigkeiten zu gewährleisten.