Sind diese beiden Quantensysteme unterscheidbar?

Diese Systeme sind nicht unterscheidbar. Die durchschnittliche Dichtematrix ist die gleiche, und die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch Durchführen irgendeiner Messung erhalten wird, hängt nur von der durchschnittlichen Dichtematrix ab.

Für das erste System ist die Dichtematrix

Für das zweite System ist die Dichtematrix

Es ist leicht zu überprüfen, dass diese gleich sind.

Fall 1:$\frac{1}{2}\left[\left|0\right>\left<0\right|+\left|1\right>\left<1\right|\right]$.

Fall 2, Mittelung über Phasen$0$Zu$2\pi$:

Lassen Sie mich einige Hinweise geben, die nützlich sein könnten, um die Dinge klarer zu machen.
Es ist Landau-Lifshitz, Buch 5, Kapitel 5:

Die Mittelung mittels der statistischen Matrix ... hat einen doppelten Charakter. Es umfasst sowohl die Mittelung aufgrund der probalistischen Natur der Quantenbeschreibung (auch wenn sie möglichst vollständig ist) als auch die statistische Mittelung, die durch die Unvollständigkeit unserer Informationen über das betrachtete Objekt erforderlich ist .... Es muss jedoch berücksichtigt werden, dass dass diese Bestandteile nicht getrennt werden können; die gesamte Mittelungsprozedur wird als eine einzige Operation durchgeführt und kann nicht als Ergebnis aufeinanderfolgender Mittelungen dargestellt werden, eine rein quantenmechanisch und die andere rein statistisch.

Diese „zweifache Mittelung“ ist genau der Grund, warum die beiden Zustände in keiner Weise unterschieden werden können.

Lassen Sie mich noch ein nettes Zitat hinzufügen:

Hervorzuheben ist, dass die Mittelung über diverse$\psi$Zustände, die wir benutzt haben, um den Übergang von einer vollständigen zu einer unvollständigen quantenmechanischen Beschreibung zu illustrieren, hat nur eine sehr formale Bedeutung. Insbesondere wäre es völlig falsch anzunehmen, dass die Beschreibung durch die Dichtematrix bedeutet, dass das Subsystem in verschiedenen sein kann$\psi$Zustände mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten und dass der Durchschnitt über diesen Wahrscheinlichkeiten liegt. Eine solche Behandlung stünde im Widerspruch zu den Grundprinzipien der Quantenmechanik.

BEARBEITEN: Einige Stunden später noch einmal lesen und meinen Fehler finden. Ich dachte, ich mache etwas falsch. Ich habe Operationen außerhalb der Reihenfolge angewendet, als ich die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet habe. Es ist jeweils 1/2. Den Kommentar lasse ich unberührt.

Ich denke, die Antwort ist Ja, oder zumindest bin ich nicht ganz davon überzeugt, dass die Antwort Nein ist.

Ich werde unten ein Beispiel geben, aber ich finde es nicht sehr überzeugend, da ich es nur ad hoc angegangen bin und kein nettes "übergreifendes" Prinzip habe, das ich davon wegnehmen könnte. Betrachten Sie dies im Grunde eher als Kommentar, um die Diskussion in Gang zu bringen, als als vollwertige Antwort.

Die anderen Antworten zeigen, dass der Erwartungswert der Messung des Systems in einem bestimmten Zustand derselbe ist. Grundsätzlich ist die Dichtematrix des Ensembles dieselbe, aber die Dichtematrix der ersten Maschine hat nur zwei mögliche Ausgänge, während die zweite unendlich viele hat. Sich sofort auf den Ensemble-Durchschnitt zu konzentrieren, scheint jede Möglichkeit zu verwerfen, die wir haben, sie zu unterscheiden.

Hier ist ein Versuch, sie zu unterscheiden:

Maschine 1 mögliche Ausgabe, nur reine Zustände
$|0\rangle$
$|1\rangle$

Maschine 2 möglicher Ausgang, beliebiger Zustand
$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + p |1\rangle)$
Wo$p = e^{i\theta}$mit$0 \le \theta < 2\pi$

Nehmen Sie nun ein anderes Qubit B (es spielt hier physikalisch keine Rolle, was es ist) im vorbereiteten Zustand$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$um die Produktzustände zu erhalten:

Maschine 1
$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle +|10\rangle)$
$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle +|11\rangle)$

Maschine 2
$\frac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle)(|0\rangle + p |1\rangle) = \frac{1}{2}(|00\rangle+p|01\rangle + |10\rangle + p |11\rangle)$

Lassen Sie uns nun eine Interaktion einführen, die einige Störungen verursachen kann:
$|00\rangle \rightarrow |00\rangle$
$|01\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle + |10\rangle)$
$|10\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle)$
$|11\rangle \rightarrow |11\rangle$

Jetzt haben wir
Maschine 1
$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle +|10\rangle) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{2}(|01\rangle-|10\rangle)$
$\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle +|11\rangle) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle + \frac{1}{2}(|01\rangle+|10\rangle)$
Maschine 2
$\frac{1}{2}(|00\rangle+p|01\rangle + |10\rangle + p |11\rangle) \rightarrow \frac{1}{2}(|00\rangle + p\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle+|10\rangle) + \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle-|10\rangle) + p |11\rangle)$
$\ \ \ = \frac{1}{2}(|00\rangle + (p+1)\frac{1}{\sqrt{2}}|01\rangle+(p-1)\frac{1}{\sqrt{2}}|10\rangle + p |11\rangle)$

Jetzt machen wir zwei Messungen. Messen Sie zuerst den Zustand von B als 0 oder 1, dann messen Sie den Zustand des Atoms als 0 oder 1.

Bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ensemble:
Angenommen, wir finden B im Zustand 1, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Atom im Zustand 0 zu finden?
Maschine 1
(1/2) x 1 + (1/2) x (1/3) = 4/6

Maschine 2
$\frac{\frac{1}{2}(p-1)^2}{\frac{1}{2}(p-1)^2 + p^2} = \frac{\frac{1}{2}(2 - 2\cos\theta)}{\frac{1}{2}(2 - 2\cos\theta) + 1} = \frac{1 - \cos\theta}{2 - \cos\theta}$

Jetzt Mittelung über$\theta$
$\mathrm{Prob} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1 - \cos\theta}{2 - \cos\theta} d\theta = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Nun, es ist gut möglich, dass ich hier einen Fehler gemacht habe. Aber mein Hauptpunkt ist, dass die anderen Antworten anscheinend die nützlichen Informationen wegwerfen, um nur einen Durchschnitt der anfänglichen Ausgabezustände zu erhalten. So wie die Antworten jetzt stehen, überzeugen sie mich mathematisch nicht, dass wir niemals einen Effekt erzielen können, indem wir Wechselwirkungen und mehrere Messungen mit bedingter Wahrscheinlichkeit oder vielleicht "schwachen" Messungen hinzufügen, da die Zustände individuell sehr unterschiedliche Dichtematrizen haben. Hoffentlich habe ich oben keinen Fehler gemacht, aber selbst wenn ich es getan hätte, würde ich in den anderen Antworten sehr gerne mehr über das hören, was derzeit geschrieben wird. Dies ist eine faszinierende Frage, daher bin ich sehr daran interessiert, dies weiter zu diskutieren.

Die Dichtematrizen sind in beiden Fällen identisch. Wenn die Quantenmechanik genau linear ist, sollten beide Zustände nicht unterscheidbar sein. Aber wenn es einige leichte Nichtlinearitäten in der Zeitentwicklung gibt, sollten wir sie im Prinzip unterscheiden können. Aber Sie müssen erkennen, dass Nichtlinearitäten in der Quantenmechanik zu allen möglichen Problemen führen, weshalb die meisten Menschen davon ausgehen, dass die Quantenmechanik genau linear ist.

Vielleicht lässt sich die hier beschriebene Maschine tatsächlich bauen. Lassen Sie mich einen beheizten Kolben vorschlagen, der eine 50:50-Mischung aus gasförmigem, einatomigem Kohlenstoff-14 und Stickstoff-14 enthält. Auf Knopfdruck öffnet sich eine Lochblende und lässt genau ein Atom entweichen. Ist es: entweder ein Kohlenstoffatom oder ein Stickstoffatom, mit 50%iger Wahrscheinlichkeit, oder ist es ein Atom in einer 50-50-Überlagerung der Kohlenstoff-/Stickstoffzustände?

EDIT: Lassen Sie uns dies nur ein wenig anders machen. Bereiten wir eine Flasche mit reinem, gasförmigem monotomem Kohlenstoff-14 vor und warten dann 7000 Jahre. Lasst uns jetzt ein Atom aus der Flasche lassen. Ist es ein Kohlenstoffatom, ein Stickstoffatom oder eine 50:50-Überlagerung von beiden?

Das Gewicht der Expertenmeinung in den bisher geposteten Antworten scheint darauf hinzudeuten, dass diese beiden Beschreibungen experimentell nicht zu unterscheiden sind. Ich vermute, dass dies richtig ist, obwohl es eine lustige Schlussfolgerung ist, die dem gesunden Menschenverstand widerspricht, dass ein Atom entweder Kohlenstoff oder Stickstoff ist, aber nicht beides. Ich denke jedoch, dass zwei Bestimmungen beachtet werden sollten:

1. Ich sehe keinen Grund, warum ein bestimmtes Atom nicht in einer 80/20-Überlagerung erscheinen sollte, solange der langfristige Durchschnitt 50/50 beträgt.

2. Ich glaube nicht, dass die Maschine tatsächlich konstruierbar ist, weil ich nicht glaube, dass es einen Mechanismus gibt, der zuverlässig genau ein Atom auf einmal produzieren kann. Sie wissen nie genau, wie viele Atome Sie ausgestoßen haben, und das führt zu genügend Unsicherheit in die Messung, um alle offensichtlichen Widersprüche zu vermeiden, die vorhanden zu sein scheinen.

EDIT: Als Andrew diese Frage gepostet hat, hat er eine Folgefrage versprochen. Es ist sechs Monate später und ich habe die Fortsetzung nicht gesehen. Also hier ist, was meiner Meinung nach das Follow-up sein würde:

Angenommen, Sie haben ein Gas im Gleichgewicht. Nach der Thermodynamik ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Atom in einem bestimmten Zustand befindet, durch eine Exponentialfunktion der Energie gegeben. Laut Copenhagen haben wir also Atome in verschiedenen Energie-Eigenzuständen, die zufällige Übergänge von einem Zustand in einen anderen machen und Photonen emittieren oder absorbieren, wenn sie Übergänge machen. Frage: Gibt es eine Möglichkeit, dieses Modell experimentell von einem alternativen Modell zu unterscheiden, bei dem sich alle Atome in kontinuierlich variierenden Überlagerungen von Zuständen befinden und kontinuierlich strahlen oder absorbieren, während die Ladungsverteilung dieser Überlagerungen wie winzige Antennen oszilliert?

Wenn Andrew da draußen ist, frage ich mich, ob das seine Folgefrage war?

Dies ist eine so schöne philosophische Frage mit einer so sauberen Lösung, dass ich nicht widerstehen kann, einen Kommentar abzugeben. Die Matrizen mit reduzierter Dichte des Atoms sind für Stanford und National gleich, aber die Quantenmechanik ist irreduzibel ganzheitlich. Die Wellenfunktion beschreibt das gesamte Universum. Wenn das Atom von Stanford präpariert wurde, wird es auf eine bestimmte Weise mit Spuren der Umweltbilanz in Stanford verflochten, aber wenn es bei National präpariert wurde, wird es auf eine andere, aber immer noch spezifische Weise mit Spuren bei National verflochten sein. Ganzheitlich gesehen gibt es tatsächlich einen Unterschied. Anzunehmen, das Atom könne isoliert vom Rest der Welt betrachtet werden, ist ein großer Trugschluss in der Quantenmechanik.