Wie kannst du beschleunigen, ohne dich zu bewegen?

In der Relativitätstheorie (beide Varianten) betrachten wir Trajektorien in der vierdimensionalen Raumzeit, und die Beschleunigung ist ein Vierervektor, kein Dreiervektor wie in der Newtonschen Mechanik. Wir nennen dies Viererbeschleunigung , während die Newtonsche Beschleunigung normalerweise als Koordinatenbeschleunigung bezeichnet wird .

Angenommen, wir wählen ein Koordinatensystem aus$(t,x,y,z)$und messen Sie die Flugbahn eines Beobachters in diesen Koordinaten. Normalerweise drücken wir dabei den Wert der Koordinaten als Funktion der Eigenzeit des Beobachters aus,$\tau$. Das ist die Position, die durch die Funktionen gegeben ist$\left(t(\tau), x(\tau), y(\tau), z(\tau)\right)$. Die richtige Zeit$\tau$ist nur die Zeit, die von einer Uhr aufgezeichnet wird, die mit dem Beobachter reist, also beschreiben wir die Flugbahn dadurch, wie sich die Position in unseren Koordinaten mit der Zeit des Beobachters ändert.

Betrachten wir zunächst die spezielle Relativitätstheorie, also die flache Raumzeit, dann werden die Vierer-Geschwindigkeit und Vierer-Beschleunigung durch ein- bzw. zweimaliges Differenzieren nach der Zeit berechnet, genau wie in der Newtonschen Mechanik. Allerdings differenzieren wir bzgl. der Eigenzeit$\tau$. Also der Viergang$U$und Vierfachbeschleunigung$A$Sind:

$$\mathbf U = \left( \frac{dt}{d\tau}, \frac{dx}{d\tau}, \frac{dy}{d\tau}, \frac{dz}{d\tau} \right)$$

$$\mathbf A = \left( \frac{d^2t}{d\tau^2}, \frac{d^2x}{d\tau^2}, \frac{d^2y}{d\tau^2}, \frac{d^2z}{d\tau^2} \right)$$

Die so definierte Viererbeschleunigung ist koordinatenunabhängig und verhält sich sehr ähnlich wie die Newtonsche Beschleunigung. Zum Beispiel können wir (obwohl wir es normalerweise nicht tun) ein relativistisches Äquivalent von Newtons zweitem Gesetz schreiben:

$$\mathbf F = m \mathbf A$$

Wo$\mathbf F$ist die Viererkraft .

Um den Vergleich mit der Newtonschen Mechanik zu vervollständigen, können wir unsere wählen$(t,x,y,z)$die Koordinaten zu sein, in denen der beschleunigende Beobachter momentan in Ruhe ist, und in diesen Koordinaten wird die Vierer-Beschleunigung zur Eigenbeschleunigung , die nur die vom Beobachter gefühlte Beschleunigung ist. Lassen Sie mich dies betonen, weil wir es später verwenden werden:

die Viererbeschleunigung ist gleich der vom Beobachter in seinem Ruhesystem empfundenen Beschleunigung.

Jedenfalls ist dies alles in flacher Raumzeit, und in flacher Raumzeit bedeutet eine Viererbeschleunigung ungleich Null, dass sich in jedem Inertialsystem die Position des Beobachters mit der Zeit ändert. Dies knüpft an den ersten Teil Ihres Absatzes an, in dem Sie über Ihre Position relativ zu einem sich mit der Zeit ändernden Stern sprechen. In der Allgemeinen Relativitätstheorie muss der Ausdruck für die Viererbeschleunigung jedoch Effekte aufgrund der Krümmung enthalten und wird zu:

$$A^\alpha = \frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2} + \Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu \tag{1}$$

Ich habe dies in Einstein-Notation geschrieben, da es sonst ziemlich lang ist, es zu schreiben. Der Index$\alpha$ist null für$t$, eins für$x$, zwei für$y$und drei für$z$. Die neuen Parameter$\Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}$in der Gleichung sind die Christoffel-Symbole , die beschreiben, wie die Raumzeit gekrümmt ist.

Der Unterschied zur flachen Raumzeit besteht darin, dass wir jetzt einen (lokalen) Trägheitsrahmen haben können, in dem sich die räumlichen Koordinaten nicht mit der Zeit ändern, und wir können immer noch eine Viererbeschleunigung ungleich Null haben. Das ist sogar wenn$x$,$y$Und$z$sind konstant, also$d^2x/d\tau^2$usw. Null sind, bedeutet der Beitrag der Christoffel-Symbole die Vierer-Beschleunigung$\mathbf A$kann immer noch ungleich Null sein.

Und in der allgemeinen Relativitätstheorie gilt immer noch, dass die vier Beschleunigungen mit der Beschleunigung übereinstimmen, die der Beobachter in seinem Ruhesystem spürt, und dies ist die Verbindung zum zweiten Teil Ihrer Frage. Aufgrund der Krümmung können Sie in Bezug auf den entfernten Stern (räumlich) auf der Erdoberfläche in Ruhe sein, haben aber immer noch eine von Null verschiedene Viererbeschleunigung. Aber denken Sie daran, dass wir oben gesagt haben:

die Viererbeschleunigung ist gleich der vom Beobachter in seinem Ruhesystem empfundenen Beschleunigung.

Das heißt, obwohl Sie in Ihren Koordinaten ruhen, bedeutet Ihre Viererbeschleunigung ungleich Null, dass Sie immer noch eine Beschleunigung spüren. Diese Beschleunigung ist natürlich genau das, was wir Schwerkraft nennen.

Antwort auf Kommentar: Bewegung in einer geraden Linie

Die offensichtliche Art, eine Bewegung in einer geraden Linie zu definieren, besteht darin, zu sagen, dass die Beschleunigung null ist. In der Newtonschen Mechanik ist dies nur Newtons erstes Gesetz, wo die Beschleunigung die Koordinatenbeschleunigung ist$\mathbf a$. Ebenso bedeutet in der Relativitätstheorie (beide Geschmacksrichtungen) eine gerade Linie die Vierer-Beschleunigung$\mathbf A$, definiert durch die obige Gleichung (1), null ist. Betrachtet man Gleichung (1), ist der einzige Weg für$\mathbf A$ist wenn die$dx^\alpha/d\tau^2$Begriff gleicht genau das Christoffel-Symbol aus, dh

$$\frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2} = -\Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu \tag{2}$$

Diese Gleichung wird geodätische Gleichung genannt und beschreibt die Flugbahn eines frei fallenden Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit. Das heißt, es ist die Gleichung für eine gerade Linie in gekrümmter Raumzeit oder formaler eine geodätische .

Das eigentliche Lösen der geodätischen Gleichung ist normalerweise schwierig (wie die meisten Dinge in GR), aber für einen Überblick darüber, wie diese Gleichung Dinge beschreibt, die in die Schwerkraft der Erde fallen, siehe Wie erklärt "gekrümmter Raum" die Gravitationsanziehung? .

Fußnote: Der Aufzug, die Rakete und die Schwerkraft: das Äquivalenzprinzip

Die obige Diskussion bietet eine schöne Möglichkeit, die Aufzug/Raketen-Beschreibung des Äquivalenzprinzips zu verstehen. Lesen Sie diesen Artikel für eine vollständige Diskussion , aber nehmen Sie kurz an, Sie befinden sich in einem Aufzug mit geschlossenen Türen, sodass Sie nicht hinaussehen können. Sie können eine Kraft spüren, die Sie mit einer Beschleunigung von nach unten zieht$1$g, aber Sie können nicht sagen, ob der Lift auf der Erde stationär ist und Sie die Schwerkraft spüren, oder ob Sie sich im Weltraum befinden und der Lift an einer Rakete befestigt ist, die beschleunigt$1$G.

Um zu sehen, warum das so ist, nehmen wir Gleichung (1) und schreiben sie um als:

$$\mathbf A = \mathbf A_\text{SR} + \mathbf A_\text{GR} \tag{3}$$

Wo$\mathbf A_\text{SR}$ist der Begriff, den wir aus der speziellen Relativitätstheorie erhalten,$d^2x^\alpha/d\tau^2$, Und$\mathbf A_\text{GR}$ist der Begriff, den wir aus der allgemeinen Relativitätstheorie erhalten,$\Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu$.

Aber alles, was Sie messen können, ist$\mathbf A$. Erinnere dich daran$\mathbf A$ist gleich der Beschleunigung in Ihrem Ruhesystem. Wenn Sie also eine Waage im Aufzug haben, können Sie Ihr Gewicht messen, durch Ihre Masse dividieren, und Sie erhalten Ihre richtige Beschleunigung$\mathbf A$.

Der Punkt ist, dass, obwohl Sie die linke Seite von Gleichung (3) experimentell messen können, das Äquivalenzprinzip uns sagt, dass Sie nicht sagen können, was auf der rechten Seite ist. Wenn der Aufzug auf einer Rakete durch den Weltraum schießt$\mathbf A_\text{GR}$ist null und deine ganze Beschleunigung kommt von$\mathbf A_\text{SR}$. Alternativ, wenn der Aufzug auf der Erde stationär ist$\mathbf A_\text{SR}$ist null und deine beschleunigung kommt von der$\mathbf A_\text{GR}$Begriff. Das Äquivalenzprinzip sagt uns, dass es für Sie keine Möglichkeit gibt, den Unterschied zu erkennen.

Der Beschleunigungsmesser misst nicht die Bewegung, sondern die Beschleunigung. (Ich weiß, das klingt tautologisch, aber ertragen Sie mich.) Das heißt, es sollte Null anzeigen, wenn es sich in Trägheitsbewegung (unbeschleunigt) befindet, und wenn es einen Referenzrahmen ungleich Null anzeigt, ist das Instrument nicht träge.

Mit anderen Worten, der Beschleunigungsmesser ist ein Werkzeug zum Identifizieren von Trägheitsrahmen.

Hier ist also der Clou: Trotz der Behandlung von Physik, die Sie in einem Physik 101-Klassenzimmer bekommen, ist das Stehenbleiben auf dem Boden des Labors keine Trägheitsbewegung, und ein Koordinatensystem, das relativ zum Boden ruht, ist kein Trägheitsrahmen ( sogar unter Vernachlässigung der Rotation des Planeten). Aber einer, der frei in dieses Labor fällt, ist ein Trägheitsrahmen.

Die Gravitation, die wir in Physik 101 als Kraft behandeln, wird besser als Trägheits-Pseudokraft wie die Zentrifugal- und Coriolis-(Pseudo-)Kräfte verstanden. (Und wie diese anderen Pseudokräfte weist sie die Eigenschaft auf, genau proportional zur Masse des betroffenen Objekts zu sein, sodass alle Objekte unter denselben Umständen dieselbe Beschleunigung aufweisen.)

Dies ist ein Kernmerkmal der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Für alltägliche Zwecke bleibt es einfacher, in dem Nicht-Trägheitsrahmen zu arbeiten, in dem der Boden ruht, und einfach die Pseudo-Trägheitskraft der Größe hinzuzufügen$mg$nach unten auf Ihre Berechnung gerichtet.