Wirkungsinvarianz ⇒⇒\Rechtspfeil-Kovarianz der Feldgleichungen?

In dieser Antwort zeigen wir formal, dass eine (Quasi-)Symmetrie einer Aktion eine entsprechende Symmetrie ihres EOM impliziert$^{\dagger}$. Die Antwort diskutiert nicht die Formkovarianz von EOM. Für weitere Beziehungen zwischen Wirkungssymmetrien, EOM und Lösungen von EOM, siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

Erinnern wir uns zunächst an die Definition einer Quasi-Symmetrie der Wirkung

$$S_V[\phi]~:=~\int_V \! \mathbb{L}, \qquad \mathbb{L}~:=~{\cal L}~d^nx.\tag{1}$$

Das bedeutet, dass sich die Wirkung (1) um ein Randintegral ändert

$$S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}] +\int_{\partial V^{\prime}} \!d^{n-1}x~(\ldots) ~=~S_V[\phi]+ \int_{\partial V} \!d^{n-1}x~(\ldots) \tag{2}$$

unter der Verwandlung. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass die Raumzeit-Integrationsregion$V$ist willkürlich.

Satz. Wenn eine lokale Aktion funktioniert$S_V[\phi]$hat eine Quasisymmetrietransformation

$$\phi^{\alpha}(x)~~\longrightarrow~~ \phi^{\prime \alpha}(x^{\prime}), \qquad x^{\mu}~~\longrightarrow~~x^{\prime \mu}, \tag{3}$$ dann EOM $$e_{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x),\ldots ; x)~:=~\frac{\delta S_V[\phi]}{\delta \phi^{\alpha}(x)}~\approx~0\tag{4}$$ muss eine Symmetrie haben (bzgl. der gleichen Transformation) $$e_{\alpha}(\phi^{\prime}(x^{\prime}),\partial^{\prime}\phi^{\prime}(x^{\prime}),\ldots ; x^{\prime})~\approx~e_{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x),\ldots ; x).\tag{5}$$

I) Formaler endlicher Beweis: Dies funktioniert sowohl für eine diskrete als auch für eine kontinuierliche Quasi-Symmetrie.

$$\begin{align} e_{\alpha}&(\phi(x),\partial\phi(x),\ldots ; x)\cr ~:=~&\frac{\delta S_V[\phi]}{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{\delta S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}]}{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~\stackrel{{\ddagger}}{\sim}~&\int_{V^{\prime}}\!d^nx^{\prime}~\frac{\delta S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}]}{\delta \phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})} \frac{\delta \phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})}{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~=~&\int_{V^{\prime}}\!d^nx^{\prime}~e_{\alpha}(\phi^{\prime}(x^{\prime}),\partial^{\prime}\phi^{\prime}(x^{\prime}),\ldots ; x^{\prime}) \frac{\delta \phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})}{\delta \phi^{\alpha}(x)}.\end{align} \tag{6}$$

II) Formaler Infinitesimalbeweis: Dies funktioniert nur für eine stetige Quasisymmetrie. Aus der infinitesimalen Transformation (3)

$$\begin{align} \delta \phi^{\alpha}(x)~:=~&\phi^{\prime \alpha}(x^{\prime})-\phi^{\alpha}(x), \cr \delta x^{\mu}~:=~&x^{\prime \mu}-x^{\mu},\end{align} \tag{7}$$

wir definieren eine sogenannte vertikale Transformation

$$\begin{align} \delta_0 \phi^{\alpha}(x)~:=~&\phi^{\prime \alpha}(x)-\phi^{\alpha}(x)\cr ~=~&\delta \phi^{\alpha}(x)-\delta x^{\mu} ~d_{\mu}\phi^{\alpha}(x),\cr d_{\mu}~:=~&\frac{d}{dx^{\mu}},\end{align} \tag{8}$$

die die Felder transformiert$\phi^{\alpha}(x)$ohne die Raumzeitpunkte zu transformieren$x^{\mu}$. Die Quasi-Symmetrie impliziert, dass die Lagrangian$n$-form$\mathbb{L}$mit einer totalen Raumzeitableitung transformiert

$$\begin{align} \delta \mathbb{L}~=~&d_{\mu} f^{\mu}~d^nx, \cr \delta_0 \mathbb{L}~=~&d_{\mu}(f^{\mu}-{\cal L}~\delta x^{\mu})~d^nx.\end{align} \tag{9}$$

Die EOM (4) sind typischerweise von zweiter Ordnung, also nehmen wir dies der Einfachheit halber an. (Diese Annahme ist nicht notwendig.) Dann lautet die infinitesimale Transformation von EOM (4).

$$\begin{align} \delta e_{\alpha}(x)~=~&\delta_0 e_{\alpha}(x) +\delta x^{\mu} ~\underbrace{d_{\mu} e_{\alpha}(x)}_{\approx 0}\cr ~\approx~&\delta_0 e_{\alpha}(x) \cr ~=~&\frac{\partial e_{\alpha}(x)}{\partial\phi^{\beta}(x)}\delta_0\phi^{\beta}(x) +\sum_{\mu}\frac{\partial e_{\alpha}(x)}{\partial(\partial_{\mu}\phi^{\beta}(x))}d_{\mu}\delta_0\phi^{\beta}(x)\cr &+\sum_{\mu\leq \nu }\frac{\partial e_{\alpha}(x)}{\partial(\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi^{\beta}(x))}d_{\mu}d_{\nu}\delta_0\phi^{\beta}(x) \cr ~\stackrel{{\ddagger}}{\sim}~& \int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta e_{\alpha}(x)}{\delta \phi^{\beta}(y)}\cr ~=~&\int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta^2 S_V[\phi]}{\delta \phi^{\beta}(y)\delta \phi^{\alpha}(x)} \cr ~=~& \int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta^2 S_V[\phi]}{\delta \phi^{\alpha}(x)\delta\phi^{\beta}(y)} \cr ~=~& \frac{\delta}{\delta \phi^{\alpha}(x)} \int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta S_V[\phi]}{\delta \phi^{\beta}(y)} \cr &-\int_V\! d^ny~ \frac{\delta(\delta_0\phi^{\beta}(y))}{\delta \phi^{\alpha}(x)} \frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi^{\beta}(y)} \cr ~\sim~& \frac{\delta(\delta_0 S_V[\phi]) }{\delta \phi^{\alpha}(x)} -\int_V\! d^ny~ \frac{\delta(\delta_0\phi^{\beta}(y))}{\delta \phi^{\alpha}(x)} e_{\beta}(y) \cr ~\approx~& \frac{\delta(\delta_0 S_V[\phi]) }{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~=~&0. \end{align} \tag{10}$$

Im allerletzten Schritt von Gl. (10) Wir haben die infinitesimale Variation verwendet

$$\begin{align} \delta_0 S_V[\phi]+\int_V\! d^nx~d_{\mu} \left({\cal L}~\delta x^{\mu} \right) ~=~&\delta S_V[\phi]\cr ~=~&\int_{\partial V} \!d^{n-1}x~(\ldots)\end{align} \tag{11}$$

der Wirkung ist nach Voraussetzung (2) ein Randintegral, so dass seine funktionale Ableitung (10) verschwinden muss (falls vorhanden).

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$^{\dagger}$ Terminologie und Notation: Bewegungsgleichungen (EOM) bedeutet Euler-Lagrange-Gleichungen (1). Die Wörter On-Shell und Off-Shell beziehen sich darauf, ob EOM zufrieden sind oder nicht. Der$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit modulo EOM.

$^{\ddagger}$Achtung: Dieser Schritt ist nicht immer gerechtfertigt. Der$\sim$Das Symbol zeigt an, dass wir formal durch Teile integriert und Randbeiträge ignoriert haben. Außerdem haben wir angenommen, dass die relevante funktionale Ableitung wohldefiniert ist und existiert. Dieser Vorbehalt ist der Hauptmangel des hier gegebenen formalen Beweises. Der Punkt ist ziemlich ernst, z. B. im Fall einer globalen (=$x$-unabhängige) Variation, die typischerweise nicht an der Grenze verschwindet. Grenzbeiträge könnten also prinzipiell eine Rolle spielen.

Anstatt funktionale Ableitungen und Integrationen zu verwenden, ist es jedoch möglich, Gl. (10)$x$-örtlich

$$\begin{align} \delta_0 e_{\alpha}(x)~=~&\ldots \cr~=~&\underbrace{E_{\alpha(0)} d_{\mu}}_{=0}\left(f^{\mu}(x)-{\cal L}(x)~\delta x^{\mu}\right)\cr &- \sum_{k\geq 0} d^k\left( \underbrace{e_{\beta}(x)}_{\approx 0} \cdot P_{\alpha(k)}\delta_0\phi^{\beta}(x) \right)\cr ~\approx~& 0 \end{align}\tag{12}$$

unter Verwendung nur höherer Teilfeldableitungen

$$P_{\alpha(k)} ~:=~\frac{\partial }{\partial \phi^{\alpha(k)}}, \qquad k~\in~\mathbb{N}_0^n,\tag{13}$$

und höhere Euler-Operatoren

$$E_{\alpha(k)} ~:=~\sum_{m\geq k} \begin{pmatrix} m \cr k\end{pmatrix} (-d)^m P_{\alpha(m)}, \tag{14}$$

die sich alle auf denselben Raumzeitpunkt beziehen$x$. Das$x$-lokaler Ansatz umgeht das Problem der nicht berücksichtigten Grenzbeiträge.