Wie weit können wir die Formalismen der Quantenmechanik (QM) auf die Quantenfeldtheorie (QFT) erweitern? Insbesondere,
Wie ist ein Fock-Raum anders als ein Hilbert-Raum ? Kann einen allgemeinen Zustand im Fock-Raum haben als Überlagerung von Zahlenoperator-Eigenzuständen geschrieben werden? Wenn ja, sind die Zahlenoperator-Eigenzustände die einzigen Basiszustände für die Fock-Raum-Zustände?
Gelten alle Postulate der Quantenmechanik auch in der QFT? Was ist die Interpretation der Norm eines oder vieler Teilchenzustände in der QFT? Gibt es in Fock-Zuständen ein Konzept der Positionsbasis oder Impulsbasis?
Quantenfeldtheorien sind eine Untergruppe der quantenmechanischen Theorien. Sie gehorchen also allen Postulaten der Quantenmechanik, sie haben den Hilbert-Raum, lineare hermitische Operatoren, dh Observablen, gehorchen den Superpositionsprinzipien, berechnen Wahrscheinlichkeiten aus quadrierten Absolutwerten komplexer Amplituden und so weiter.
Der Fock-Raum ist ein besonderes Beispiel für den Hilbert-Raum – den Hilbert-Raum für einen höherdimensionalen oder unendlichdimensionalen harmonischen Oszillator – und er beschreibt (zusammen mit dem relevanten freien Hamilton-Operator) freie Quantenfeldtheorien (die mit dem quadratischen Hamilton-Operator/action , dh keine Wechselwirkungen).
Die wechselwirkenden Quantenfeldtheorien haben keinen Hilbert-Raum, der "genau" gleich einem Fock-Raum ist, aber der Fock-Raum ist immer noch ein gutes Werkzeug, um die Physik von wechselwirkenden Quantenfeldtheorien näherungsweise durch "perturbative Expansionen" zu untersuchen.
Ebenso ist der Zahlenoperator nur für freie Quantenfeldtheorien „wirklich wohldefiniert“. Der Wert des Zahlenoperators für einen allgemeinen Zustand in einer wechselwirkenden Quantenfeldtheorie ist nicht wirklich genau definiert. Zum Beispiel wird ein Elektron in der wechselwirkenden Quantenelektrodynamik von vielen Photonen und Elektron-Positron-Paaren "geschmückt", die in seiner Nähe erscheinen. Ihre Zahl ist ungleich Null, in gewissem Sinne unendlich, und sie ist nicht einmal scharf definiert, weil der Zahlenoperator in interagierenden QFTs nicht mehr mit dem Hamilton-Operator pendelt.
Nein, die Eigenzustände von Zahlenoperatoren sind nicht die "einzige Basis" des Hilbert-Raums. Ganz allgemein hat jeder Hilbert-Raum (und jeder höherdimensionale lineare Raum!) unendlich viele (und es ist eine riesige Unendlichkeit) mögliche Basen. Beispielsweise können Eigenzustände beliebiger anderer hermitescher Operatoren in eine Basis umgewandelt werden.
Die Ortsbasis und die Impulsbasis (oder Darstellung) sind besondere Grundlagen (oder Darstellungen) für die nichtrelativistische Quantenmechanik. Sie setzen sich aus den kontinuierlichen Eigenzuständen der Operatoren zusammen Und , bzw. Aber das sind keine wohldefinierten Operatoren in der Quantenfeldtheorie – schließlich ist sogar die Anzahl der Teilchen in QFTs variabel, so dass es keine "feste Anzahl von Teilchenpositionen oder Impulsen" geben kann. Quantenfeldtheorien haben andere Operatoren (Observables). Die Existenz der "Impulsbasis" oder "Ortsbasis" ist eine besondere Eigenschaft einer Klasse von (nicht-relativistischen) Modellen der Quantenmechanik; diese Existenz gehört nicht zu den allgemeinen Postulaten der Quantenmechanik und diese Theorien (mit einer festen Anzahl von Teilchen mit Orten oder Impulsen) beschreiben unser Universum nicht genau.
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