Wie berechnet man Delta-v, das für einen Hohmann-Transfer von Planet zu Planet erforderlich ist?

Hier ist eine ungefähre, aber ziemlich genaue Lösung. Dies setzt voraus, dass die Umlaufbahn um den Abflugkörper mit der ausgehenden Asymptote der Hohmann-Umlaufbahn ausgerichtet ist, was die übliche Praxis ist, wenn ein Raumfahrzeug vor seinem Fluchtmanöver durch eine Trägerrakete in eine Parkbahn gebracht wird. Dies setzt auch voraus, dass die Umlaufbahnen der Körper um die Sonne kreisförmig und koplanar sind. Dies ist ziemlich nah für die Planeten (wie derzeit definiert) um unsere Sonne.

Wir werden auch sofortige Manöver annehmen, was eine gute Näherung für chemische Raketen ist, und was durch die Verwendung der Hohmann-Lösung impliziert wird. Die Übertragung wäre für Systeme mit niedrigem Schub ganz anders.

Das$\Delta V$kann durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung bestimmt werden, die einfach besagt, dass die Gesamtenergie die Summe der kinetischen Energie und der potentiellen Energie ist:

$\mathcal{E}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}$

wo$\mathcal{E}$ist die Gesamtenergie pro Masseneinheit des Objekts oder die "spezifische Energie",$v$ist die Geschwindigkeit des Objekts an der aktuellen Position,$\mu$ist die GM des Zentralkörpers, dh Newtons Gravitationskonstante mal seiner Masse, und$r$ist der aktuelle Abstand vom Mittelpunkt des Zentralkörpers.

Der Schlüssel ist, dass die Gesamtenergie des Objekts eine Bewegungskonstante über die Umlaufbahn ist.

Wir werden auch die Tatsache verwenden, dass Umlaufbahnen Ellipsen sind, und diese Gleichung, die diese Bewegungskonstante aus den Apsis der Umlaufbahn bestimmt, dh die Radien der nächsten und entferntesten Punkte in der Umlaufbahn,$r_1$und$r_2$:

$\mathcal{E}=-{\mu\over r_1+r_2}$

Für dieses Problem definieren wir:

$\mu_S$= GM der Sonne.
$\mu_1$= GM der Abgangsstelle.
$\mu_2$= GM der Ankunftsstelle.
$r_1$= Radius der Umlaufbahn des Körpers um die Sonne, angenommen kreisförmig.
$r_2$= Ankunftsradius der Umlaufbahn des Körpers um die Sonne, angenommen kreisförmig.
$a_1$= Kreisbahnradius des Raumfahrzeugs um den Abflugkörper.
$a_2$= Kreisbahnradius des Raumfahrzeugs um den Ankunftskörper.

Die Hohmann-Transferbahn hat Apsiden$r_1$und$r_2$. Seine spezifische Energie ist also:

$\mathcal{E}_H=-{\mu_S\over r_1+r_2}$

Wir berechnen dann die Geschwindigkeit dieser Umlaufbahn bei$r_1$:

$\mathcal{E}_H=-{\mu_S\over r_1+r_2}=\frac{v_{H1}^2}{2}-\frac{\mu_S}{r_1}$

was ergibt:

$v_{H1}=\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}$

Für die Kreisbahn des Abflugkörpers um die Sonne gilt für seine Geschwindigkeit um die Sonne:

$-{\mu_S\over 2r_1}={v_1^2\over 2}-{\mu_S\over r_1}$

oder:

$v_1=\sqrt{\mu_S\over r_1}$

Die Geometrie schreibt vor, dass die Geschwindigkeit der Hohmann-Transferbahn an der Periapsis in der gleichen Richtung wie die Geschwindigkeit des Abflugkörpers liegt und sie den gleichen Radius von der Sonne haben. Die Geschwindigkeitsänderung von der Abflugkreisbahn zur Hohmann-Transferbahn ist also nur die Differenz (dies wird später quadriert, daher spielt das Vorzeichen keine Rolle):

$v_{T1}=v_{H1}-v_1=\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_1}$

Das ist die Geschwindigkeitsänderung, um von der Umlaufbahn des Abflugkörpers zur Hohmann-Transferbahn zu gelangen, aber ohne dass der Abflugkörper dort ist. Um das Manöver aus einer kreisförmigen Umlaufbahn um den Körper auszuführen, verwenden wir die Patched-Conic-Näherung, dass wir eine Fluchtgeschwindigkeit aus dem Körper benötigen, die dieser Übertragungsgeschwindigkeit entspricht. Hier ist die Ebene der Umlaufbahn um den Körper wichtig, da sie mit der Richtung der Übertragungsgeschwindigkeit ausgerichtet sein muss, um die zu minimieren$\Delta V$. In diesem Fall ist das die Ebene, die die Umlaufbahnen der beiden Körper teilen.

Die spezifische Energie eines entkommenen Objekts, das ausreichend weit vom Körper entfernt ist (wobei die Suffizienz im Mittelpunkt der gepatchten Kegelnäherung steht), ist die Energiegleichung, wobei der zweite Term gegen Null geht, wenn die Entfernung gegen unendlich geht:

$\mathcal{E_{escape}}=\frac{v_{\infty}^2}{2}$

Um nun die Geschwindigkeitsänderung für diese Flucht und Injektion in den Hohmann-Transfer zu erhalten, nehmen wir die Differenz zwischen der Geschwindigkeit dieser Fluchtenergie am Orbitalradius des Raumfahrzeugs um den Abflugkörper und der Umlaufgeschwindigkeit des Raumfahrzeugs:

$\frac{v_{T1}^2}{2}=\frac{v_{escape}^2}{2}-\frac{\mu_1}{a_1}$

$v_{escape}=\sqrt{v_{T1}^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}$

$v_{orbit}=\sqrt{\mu_1\over a_1}$

$v_{inject}=v_{escape}-v_{orbit}=\sqrt{v_{T1}^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}$

$v_{inject}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_1}\right)^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}$

Das ist das Eigentliche$\Delta V$erforderlich, damit das Raumfahrzeug mit einem einzigen sofortigen Manöver direkt von der kreisförmigen Umlaufbahn um den Abflugkörper auf die Hohmann-Transferbahn gelangt.

Wir können das alles für das Einfügen in die Ankunftsbahn wiederholen, um zu erhalten:

$v_{insert}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_1}{r_2(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_2}\right)^2+\frac{2\mu_2}{a_2}}-\sqrt{\mu_2\over a_2}$

Die Summe$\Delta V$ist dann die Summe der beiden Manöver:

$\Delta V=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_1}\right)^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}+\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_1}{r_2(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_2}\right)^2+\frac{2\mu_2}{a_2}}-\sqrt{\mu_2\over a_2}$

oder etwas vereinfacht:

$\Delta V=\sqrt{{\mu_S\over r_1}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1\right)^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}+\sqrt{{\mu_S\over r_2}\left(\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}-1\right)^2+\frac{2\mu_2}{a_2}}-\sqrt{\mu_2\over a_2}$

Es gibt keine Lösung in geschlossener Form für das n-Körper-Problem, daher werden Sie wahrscheinlich mit einem Patched-Conic-Ansatz beginnen. Dadurch wird die Flugbahn als einfache Hohmann-Übertragung zwischen zwei Einflusssphären behandelt (vorausgesetzt, Ihre Körper befinden sich in koplanaren Umlaufbahnen). Das Delta-v für einen Hohmann-Transfer ist bekannt. Dazu addieren (subtrahieren) Sie das Delta-v für die "geflickten" Trajektorien innerhalb der Einflusssphären der Körper, die für zwei (n=2) Körper lösbar sind.

An diesem Punkt werden Sie wahrscheinlich eine differenzierte Antwort brauchen – besonders, wenn Sie an Bord dieser Mission sein werden. Dies bedeutet, dass Sie eine numerische Integration mit Ihrer Patched-Conic-Approximation als Ausgangspunkt durchführen müssen.

Viel Glück und nimm genug zu essen mit!

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