Strahlt ein beschleunigender elektrischer Dipol?

Zusammenfassung: Ein sich durch den Raum bewegender Dipol strahlt. Insbesondere hängt die abgestrahlte Leistung sowohl von der Beschleunigung des Dipols als auch von seinem Ruck ab.

Potenziale finden:

Betrachten Sie einen idealisierten Dipol$\vec{p}$sich entlang einer Bahn bewegen$\vec{w}(t)$. Wir nehmen an, dass dieser Dipol in einem Inertialsystem eine konstante Größe und Richtung hat. Dies ist etwas künstlich, insbesondere für Bewegungen in Richtung von$\vec{p}$(man würde das Dipolmoment zum Lorentz-Kontrakt erwarten); aber die folgenden Berechnungen sind ohnehin kompliziert genug, und solange die Geschwindigkeit des Dipols nicht relativistisch ist, sollten diese Annahmen gültig sein.

Die Ladungsverteilung für diesen Dipol wird sein

$$\rho(\vec{r},t) = \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{w}(t))$$ und die aktuelle Verteilung sein wird $$\vec{J}(\vec{r},t) = \dot{\vec{w}} \rho(\vec{r},t) = \dot{\vec{w}} \left[ \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{w}(t)) \right].$$

Um die Potentiale zu finden, verwenden wir die retardierten Green-Funktionen für den Wellenoperator. Wir haben

$$V(\vec{r}, t) = - \frac{1}{\epsilon_0} \iiiint G(\vec{r} - \vec{r}',t - t') \rho(\vec{r}',t') \, d\tau' dt'$$ $$\vec{A}(\vec{r}, t) = - \mu_0 \iiiint G(\vec{r} - \vec{r}',t - t') \vec{J}(\vec{r}',t') \, d\tau' dt',$$ wo $$G(\vec{r} - \vec{r}',t - t') = - \frac{c}{4\pi} \begin{cases} \delta(\mathcal{R} - ct)/\mathcal{R} & t > t' \\ 0 & t < t' \end{cases}$$ mit $\vec{\mathcal{R}} \equiv \vec{r} - \vec{r}'$.

Betrachten wir das Integral für$V$erste. Wir haben

$$V(\vec{r}, t) = \frac{c}{4 \pi \epsilon_0} \iiiint \frac{\delta( \mathcal{R} - (t - t'))}{\mathcal{R}} \vec{p} \cdot \vec{\nabla}' \delta^{(3)}(\vec{r}' - \vec{w}(t')) \, d\tau' dt'$$ wo $\vec{\nabla}'$bezeichnet den Gradienten bzgl $\vec{r}'$. Bei partieller Integration verschwindet der Randterm, und this wird $$V(\vec{r}, t) = - \frac{c}{4 \pi \epsilon_0} \iiiint \vec{p} \cdot \vec{\nabla}' \left[ \frac{\delta( \mathcal{R} - (t - t'))}{\mathcal{R}} \right] \delta^{(3)}(\vec{r}' - \vec{w}(t')) \, d\tau' dt'$$ Der Term, auf den der Gradient einwirkt, hängt nur von ab $\vec{r}'$durch $\mathcal{R}$, und für jede solche Funktion, $\vec{\nabla} f(\mathcal{R}) = - \vec{\nabla}' f(\mathcal{R})$(wo $\vec{\nabla}$ist der "normale" Gradient.) $$V(\vec{r}, t) = \frac{c}{4 \pi \epsilon_0} \iiiint \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \left[ \frac{\delta( \mathcal{R} - (t - t'))}{\mathcal{R}} \right] \delta^{(3)}(\vec{r}' - \vec{w}(t')) \, d\tau' dt'$$ Da die endgültige Delta-Funktion unabhängig von ist $\vec{r}$, können wir den Gradientenoperator aus dem zu erhaltenden Integral ziehen $$V(\vec{r}, t) = \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \left[ \frac{c}{4 \pi \epsilon_0} \iiiint \frac{\delta( \mathcal{R} - (t - t'))}{\mathcal{R}} \delta^{(3)}(\vec{r}' - \vec{w}(t')) \, d\tau' dt'\right]$$ Aber die Größe in eckigen Klammern ist genau das, was wir für eine Punktladung (mit Einheitsgröße) erhalten würden, die sich entlang der Flugbahn bewegt $\vec{w}(t)$; mit anderen Worten, dies ist das Standard-Liénard-Wiechert-Potenzial! Bezeichnen wir das Liénard-Wiechert-Potential für eine solche Punktladung als $V_1 (\vec{r},t)$, können wir schließen, dass $$V(\vec{r}, t) = \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \left[ V_1 (\vec{r},t) \right].$$ Eine ähnliche Argumentation mit dem Vektorpotential führt zu einem sehr ähnlich aussehenden Ergebnis: $$\vec{A}(\vec{r}, t) = \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \left[ \vec{A}_1 (\vec{r},t) \right] = \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \left[ \frac{\dot{\vec{w}}}{c^2} V_1 (\vec{r},t) \right].$$ Beachten Sie, dass $\dot{\vec{w}}$(sowie alle anderen Entfernungen und Positionen, die an den Liénard-Wiechert-Potentialen beteiligt sind) werden zum verzögerten Zeitpunkt ausgewertet.

Ermittlung der Strahlungsfelder:

Um die elektrischen und magnetischen Felder zu erhalten, möchten wir nun die zeitlichen Ableitungen, Gradienten und Kräuselungen dieser Ausdrücke nehmen. Aber da die Potentiale eines beschleunigten Dipols mit denen einer beschleunigten Einheitspunktladung in Beziehung gesetzt werden, indem die Richtungsableitung genommen wird$\vec{p} \cdot \vec{\nabla}$, und da dieser Operator mit allen räumlichen und zeitlichen Ableitungen pendelt, folgt daraus, dass die elektrischen und magnetischen Felder eines beschleunigten Dipols in ähnlicher Beziehung zu denen einer beschleunigten Einheitspunktladung stehen:

$$\vec{E}(\vec{r},t) = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{E}_1(\vec{r},t) \qquad \vec{B}(\vec{r},t) = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B}_1(\vec{r},t)$$

Für eine Einheitspunktladung in beliebiger Bewegung ist das für die Strahlung verantwortliche Stück des elektrischen Feldes das Beschleunigungsfeld:

$$\vec{E}_1 \sim \frac{\mathcal{R}}{4 \pi \epsilon_0} \frac{ \vec{\mathcal{R}} \times (\vec{u} \times \vec{a})}{(\vec{\mathcal{R}} \cdot \vec{u})^3},$$ wo $\vec{u} = c \hat{\mathcal{R}} - \vec{v}$, $\vec{v} = \dot{\vec{w}}$, $\vec{a} = \ddot{\vec{w}}$, und alle Größen werden zum verzögerten Zeitpunkt ausgewertet. Beachten Sie, dass diese Menge skaliert wird als $\mathcal{R}^{-1}$in großen Entfernungen; Wir verwenden das Symbol $\sim$um "Gleichheit bis zur höchsten Ordnung" zu bezeichnen $\mathcal{R}$."

Von dieser Größe wollen wir nun die Richtungsableitung nehmen. Diese Größe hängt auf zwei Arten von der Position ab: erstens über die explizite Abhängigkeit von$\vec{\mathcal{R}}$; und zweitens über die implizite Abhängigkeit von$\vec{w}$,$\vec{v}$und$\vec{a}$auf die verzögerte Zeit$t_r$. (Beachten Sie, dass$\vec{\mathcal{R}} = \vec{r} - \vec{w}(t_r)$hängt auch implizit davon ab$t_r$.) Diese Ableitung im allgemeinsten Fall zu nehmen, bleibt (aus Selbsterhaltung) dem Leser überlassen; Stattdessen werde ich mich auf den Fall konzentrieren, in dem die Ladung zur Zeit augenblicklich in Ruhe ist$t_r$( Vgl. die übliche Vereinfachung bei der Berechnung der Larmor-Formel.) In einem solchen Fall haben wir

$$(\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{\mathcal{R}} = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) (\vec{r} - \vec{w}(t_r)) = \vec{p} - \dot{\vec{w}} (\vec{p} \cdot \vec{\nabla} t_r) = \vec{p}.$$ Dies bedeutet, dass jederzeit der Betreiber $\vec{p} \cdot \vec{\nabla}$wirkt auf eine Funktion von $\vec{\mathcal{R}}$, wird der resultierende Ausdruck um eine Potenz von skaliert $\mathcal{R}$weniger als die ursprüngliche Funktion. Da die Strahlungsfelder diejenigen sind, die als skalieren $\mathcal{R}^{-1}$, und $\vec{E}_1$schon skaliert als $\mathcal{R}^{-1}$, können wir effektiv behandeln $\vec{\mathcal{R}}$als konstant bei der Ableitung von $\vec{E}_1$: alle Begriffe, die sich aus ergeben $\vec{p} \cdot \vec{\nabla}$Einwirken auf $\vec{\mathcal{R}}$wird schneller abfallen als $\mathcal{R}^{-1}$.

Wir müssen noch die Richtungsableitungen von nehmen$\vec{u}$und$\vec{a}$, obwohl. Der erste funktioniert zu sein

$$(\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{u} = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) (c \hat{\mathcal{R}} - \vec{v}(t_r)) \sim - (\vec{p} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}(t_r) = - \dot{\vec{v}} (\vec{p} \cdot \vec{\nabla} t_r) = \vec{a} \left(\frac{\vec{p} \cdot \hat{\mathcal{R}}}{c} \right),$$ wobei wir die Tatsache ausgenutzt haben, dass für eine Ladung im Ruhezustand Zeit ist $t_r$, $\vec{\nabla} t_r = - \hat{\mathcal{R}}/c$. Ebenso wird der zweite $$(\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{a} = - \vec{\jmath} \left(\frac{\vec{p} \cdot \hat{\mathcal{R}}}{c} \right),$$ wo $\vec{\jmath}$ist der Ruck des Dipols. Schließlich, wenn der Dipol zur Zeit ruht $t_r$, dann $\vec{u} = c \hat{\mathcal{R}}$.

Somit ist das gesamte Strahlungsfeld

$$\vec{E}(\vec{r}, t) = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{E}_1 \\ \sim \frac{\mathcal{R}}{4 \pi \epsilon_0} \left\{ \frac{ \vec{\mathcal{R}} \times [ ((\vec{p} \cdot \vec{\nabla})\vec{u} ) \times \vec{a}]}{(\vec{\mathcal{R}} \cdot \vec{u})^3} + \frac{ \vec{\mathcal{R}} \times [ \vec{u} \times ((\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{a})]}{(\vec{\mathcal{R}} \cdot \vec{u})^3} - 3 \frac{\vec{\mathcal{R}} \times [ \vec{u} \times \vec{a}]}{(\vec{\mathcal{R}} \cdot \vec{u})^4} \vec{\mathcal{R}} \cdot [ (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{u} ] \right\}$$ Der erste Term verschwindet, da $(\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{u}$ist parallel zu $\vec{a}$; und das Ergebnis ist das $$\vec{E}(\vec{r}, t) \sim - \frac{\vec{p} \cdot \vec{\mathcal{R}}}{4 \pi \epsilon_0 c} \left\{ c \frac{\vec{\mathcal{R}} \times [ \hat{\mathcal{R}} \times \vec{\jmath}]}{(c \mathcal{R})^3} + 3 c \frac{\vec{\mathcal{R}} \times [ \hat{\mathcal{R}} \times \vec{a}]}{(c \mathcal{R})^4} \vec{\mathcal{R}} \cdot \vec{a} \right\} \\ = - \frac{\vec{p} \cdot \hat{\mathcal{R}}}{4 \pi \epsilon_0 c^3 \mathcal{R}} \left\{ \hat{\mathcal{R}} \times [ \hat{\mathcal{R}} \times \vec{\jmath}] + \frac{3}{c} (\hat{\mathcal{R}} \cdot \vec{a}) \hat{\mathcal{R}} \times [ \hat{\mathcal{R}} \times \vec{a}] \right\}$$ Es ist leicht zu sehen, dass wir Trajektorien konstruieren können $\vec{w}(t)$für die diese Größe nicht verschwindet.

Zum Glück müssen wir das alles nicht noch einmal mit dem Magnetfeld durchmachen. Wir werden haben

$$\vec{B}(\vec{r},t) = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B}_1 (\vec{r},t) = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \left[ \frac{1}{c} \hat{\mathcal{R}} \times \vec{E}_1 \right] \sim \frac{1}{c} \hat{\mathcal{R}} \times \left[ (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{E}_1 \right] = \frac{1}{c} \hat{\mathcal{R}} \times \vec{E}(\vec{r},t).$$ Im dritten Schritt haben wir wieder die Tatsache ausgenutzt, dass keine Derivate wirken $\hat{\mathcal{R}}$führt zu Termen, die nicht zu den Strahlungsfeldern beitragen. Der Poynting-Vektor wird dann sein $$\vec{S} \propto \vec{E} \times \vec{B} \propto \hat{\mathcal{R}} E^2,$$ seit $\vec{E}$steht senkrecht dazu $\hat{\mathcal{R}}$und $\vec{B}$steht senkrecht auf beiden. Somit wird für eine allgemeine Bewegung des Dipols eine endliche Menge an Energie ins Unendliche abgestrahlt.

Unter der Annahme, dass das Feld wie üblich rein verzögert ist, gilt die Lienard-Wiechert-Formel, und unter der Annahme, dass der Dipol ein echter Dipol ist, der aus zwei Punktladungen der Größenordnung besteht$q$mit endlicher Distanz$d$.

Unter Annahme des elektrischen Moments des Dipols

$$\mathbf p = q(\mathbf r_+ - \mathbf r_-)$$

ist in seinem Ruhesystem konstant, was bedeutet, dass es sich im System des Beobachters aufgrund der Lorentz-Längenkontraktion ändern kann (dies wurde in der Frage nicht angegeben, ist aber natürlicher als$\mathbf p$konstant im Beobachtersystem).

Dann die Anwesenheit von$1/r$elektrische Feld hängt im Detail davon ab, wie der Dipol beschleunigt wird.

Wenn die Beschleunigung$\mathbf A$des Dipols als Ganzes ist parallel zu$\mathbf p$, haben die beiden Punktladungen aufgrund der Lorentz-Kontraktion des Abstands zwischen den beiden Ladungen nicht genau die gleiche Beschleunigung. Die Strahlungsfelder werden kombiniert als (Ignorieren der Winkelabhängigkeit und Vernachlässigung der Differenz zwischen den Entfernungen$r_+$und$r_-$):

$$q\frac{A-\epsilon}{r} - q\frac{A+\epsilon}{r} = \frac{-2q\epsilon~~~}{r}$$ wo $\epsilon$ist die Lorentz-Kontraktionskorrektur zur Beschleunigung und $r$ist der Abstand zwischen dem Dipol und dem Beobachter. Es wird also ein schwaches Restfeld geben, das mit der Entfernung abklingt $1/r$, was der übliche Strahlungszustand ist.

Seit$\epsilon$ist proportional zu$d$können wir das Beschleunigungsfeld als Funktion des elektrischen Moments ausdrücken$p$:

$$\frac{-p\alpha~~~}{r}$$ wo $\alpha$ist ein Faktor, der von der Geschwindigkeit des Dipols und seiner zeitlichen Ableitung abhängt.

Wenn die Beschleunigung$\mathbf A$ist senkrecht zum Vektor des elektrischen Moments$\mathbf p$, gibt es keine Lorentz-Kontraktion.

EDIT Im Folgenden wird die Tatsache ignoriert, dass der Beschleunigungsfeldterm von der Partikelgeschwindigkeit abhängt, die für die beiden Partikel zu unterschiedlichen Zeiten ausgewertet werden muss. Dies entkräftet wahrscheinlich die Schlussfolgerung. Danke an Michael Seifert für den Hinweis.

... die Begriffe werden kombiniert als (wieder Winkel ignorieren, aber den Unterschied zwischen berücksichtigen$r_+$und$r_-$):

$$\frac{qA}{r - \delta} - \frac{qA}{r+\delta} = A\frac{-2q\delta~~~}{r^2-\delta^2}$$ wo $\delta$ist die Entfernungskorrektur aufgrund der endlichen Länge des Dipols.

Wenn wir dies in Taylor-Reihen erweitern, in$1/r$, es gibt nur gerade Potenzen von$1/r$, es gibt kein$1/r$Begriff. Daher gibt es in diesem Fall keine Strahlung.

Das Restfeld ist jedoch proportional zur Beschleunigung und klingt eine Ordnung langsamer ab als das statische Feld, ähnlich wie das Strahlungsfeld einer beschleunigten Ladung, sodass die Beschleunigung definitiv "etwas bewirkt".

Seit$\delta$ist die Hälfte der Projektion der Dipolgröße$d$Auf die Beobachtungslinie können wir das Restbeschleunigungsfeld ausdrücken als

$$A\frac{-p f~~~}{r^2-\delta^2}$$ wo $f$ist ein Winkelfaktor.

Für den Fall eines idealen Dipols sollten wir die Grenze dieser Ergebnisse nehmen wo$d\rightarrow 0,q\rightarrow \infty$während$qd = p=\text{const}$. Es ist leicht einzusehen, dass in dieser Grenze keines der beiden Restfelder verschwindet; Es gibt immer ein Feld, das proportional zum elektrischen Moment ist$p$.