Ist E2=(mc2)2+(pc)2E2=(mc2)2+(pc)2E^2=(mc^2)^2+(pc)^2 oder ist E=mc2E=mc2E=mc^2 die richtige?

Lassen Sie mich einige Verwirrungen in der Notation klären, auf die andere Antworten angespielt, aber nicht klar erwähnt wurden.

Historisch gesehen haben Physiker gerne von zwei verschiedenen Definitionen von Masse gesprochen

• Die erste ist die Ruhemasse eines Teilchens$m_0$. Das ist die Masse des Teilchens, wenn es ruht. Beispielsweise ist die Ruhemasse des Elektrons$(m_0)_{electron} = 9.1 \times 10^{-31}~Kg$. Dies ist eine absolute Konstante, die unabhängig von der Geschwindigkeit des Teilchens ist.

• Die zweite ist die relativistische Masse$m$. Dies ist die scheinbare Masse des Teilchens, wenn es sich mit Geschwindigkeit bewegt$v$. Sie steht über die Beziehung mit der Ruhemasse in Beziehung

  $$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Beachten Sie, dass die relativistische Masse KEINE Konstante ist. Es hängt davon ab$v$.

In dieser historischen Schreibweise steht Einsteins berühmte Formel, die in allen Frames vollkommen korrekt ist

$$E = m c^2$$ Es stellt sich jedoch durch eine Reihe von algebraischen Manipulationen heraus, dass diese Gleichung auch impliziert $$E^2 = ( m_0 c^2)^2 + (pc)^2$$ Lassen Sie uns dies beweisen. $p$ist der Impuls des Teilchens definiert durch $p = m v = \gamma m_0 v$. Daher $$(m_0 c^2)^2 + (pc)^2 = m_0^2 c^4 + \gamma^2 m_0^2 v^2 c^2 = m_0^2 c^4 \left( 1 + \frac{\gamma^2 v^2}{c^2} \right)$$ Jetzt haben wir das Grundstück $$1 + \frac{\gamma^2 v^2}{c^2} = 1 + \frac{\frac{v^2}{c^2}}{\left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) } = \frac{1}{ \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) } = \gamma^2$$ Daher $$(m_0 c^2)^2 + (pc)^2 = m_0^2 c^4 \gamma^2 = (\gamma m_0)^2 c^4 = m^2 c^4 = (mc^2)^2 = E^2$$ Zusammenfassend haben wir also in der historischen Notation zwei völlig gleichwertige Formeln $$\boxed{ E^2 = (m c^2 )^2 = (m_0 c^2)^2 + (pc)^2}$$

In der modernen Notation haben Physiker entschieden, die Diskussion über die relativistische Masse fallen zu lassen$m$da es keine absolute Konstante ist und von der Geschwindigkeit des Teilchens abhängt. Heutzutage spricht man nur noch von der Ruhemasse,$m_0$. In einer verwirrenden Notationsänderung haben sich die Physiker jedoch heute für die Verwendung entschieden$m$für die Ruhemasse (was in der heutigen Notation überhaupt nicht verwirrend ist, da wir nicht über relativistische Masse sprechen, aber es ist oft verwirrend für Studenten, die versuchen, Einsteins Originalarbeiten mit heute geschriebenen Büchern zu vergleichen).

Nach heutiger Notation haben wir also nur EINE Gleichung, nämlich

$$\boxed{ E^2 = (m c^2)^2 + (pc)^2 }$$ wo in der obigen Gleichung $m$ist jetzt die Ruhemasse.

Beide sind richtig, innerhalb der Bereiche, für die sie richtig sind.

Ernster, die allgemeine Beziehung

$$E^2 = m^2c^4 + p^2c^2$$

gilt für alle Objekte, ob sie Masse haben oder nicht, ob sie sich bewegen oder nicht.

Der Sonderfall$E = mc^2$ist für$p = 0$, dh Objekte, die sich nicht bewegen, wie Sie sagten.

Der Sonderfall$E = pc$ist für Objekte, die keine Masse haben, dh Photonen.

Ich stimme der Antwort von ACuriousMind zu, aber ich denke, es könnte auch helfen, so darüber nachzudenken ...

$E^2=m_0^2c^4+p^2c^2 =m^2c^4$

Wo$m_0$ist die Ruhemasse und$m$ist die relativistische Masse (oder Trägheitsmasse), definiert als$m = \gamma m_0 = m_0 / \sqrt{1 - v^2/c^2}$.

Die relativistische Masse nimmt zu, wenn der Impuls der Masse zunimmt. Im Ruhezustand sind die beiden einander gleich. Wenn die Geschwindigkeit eines Objekts und sein Impuls zunehmen, nimmt die Masse des Objekts zu.

so denke ich darüber nach

$E^2=m_0^2c^4+p^2c^2$

Und

$E=mc^2$

Die gleichung

$$E^2=(mc^2)^2+(pc)^2$$ stellt die richtige Energie-Impuls-Beziehung dar. Es gibt die Gesamtenergie $E$für ein Objekt mit unveränderlicher Masse (Ruhemasse) $m$das sich mit Schwung bewegt $p$. Diese Gleichung gilt unabhängig davon, ob das Objekt in Bewegung beobachtet wird ( $p \ne 0$) oder in Ruhe beobachtet wird ( $p = 0$). Im letzteren Fall vereinfacht sich die Energie-Impuls-Gleichung ins Bekannte $E=mc^2$.

Als Randbemerkung (manche nennen es Spitzfindigkeit) ist es bei der Erörterung der Generika der Energie-Impuls-Gleichung eine gute Form, die Gleichung so zu schreiben, dass beide Seiten der Gleichung unabhängig vom gewählten Beobachtungsrahmen sind:

$$E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2$$ Gleiche Mathematik, andere Physik. (Beachten Sie, dass diese relativistisch invariante Beziehung einfach der Ausdruck für die quadratische Norm des Energie-Impuls-Viervektors ist.)

Alle anderen Antworten sind großartig und ich empfehle dringend, sie zu lesen. Ich denke jedoch, dass etwas fehlt, wenn Sie nicht versuchen, ein intuitives Verständnis der Geometrie zu erlangen:

Dieses Dreieck zeigt, dass die Gleichung$E^2=(mc^2)^2+(pc)^2$kann durch eine Art umgekehrten Satz des Pythagoras dargestellt werden. Der Sonderfall der$E=mc^2$kann durch Einstellung gefunden werden$p$auf Null, und erscheint, als ob die$pc$Seite des Dreiecks ist null groß, wodurch sich die Form in eine Linie mit ändert$E$oben und$mc^2$auf der Unterseite. Ebenso können wir für Licht den Spezialfall von zeigen$E=pc$durch Einstellen der Ruhemasse$m$auf Null, wodurch das Dreieck in eine vertikale Linie mit umgewandelt wird$E$links u$pc$auf der rechten Seite.

Vieles davon sind hart erkämpfte Erkenntnisse nach ein paar Jahrzehnten unabhängiger Studien. Schauen Sie hinein, und ich denke, Sie werden feststellen, dass hier etwas ziemlich Nützliches zu finden ist.

Newtons zweites Gesetz kann geschrieben werden:

$$\frac{\text{Impulse}}{\text{mass}} = \text{Change in Velocity}.$$

Aber in der relativistischen Mechanik haben wir

• Impuls/Masse (in ls/s) =$\sinh(w)$,
• Geschwindigkeitsänderung (in ls/s) =$\tanh(w)$
• Zeitdilatations-/Längenkontraktionsfaktor (in s/s oder ls/ls) =$\cosh(w)$

Wo$w$ist die Schnelligkeit . Wenn die Schnelligkeit gering ist,$\sinh(w)= \tanh(w) = w$

Einen Teil davon seht ihr in

$$E^2 = p^2 c^2 + (mc^2)^2$$

Diese Gleichung ist also im Wesentlichen das hyperbolische trigonometrische Äquivalent des Satzes von Pythagoras.

$$(mc^2)^2 \cosh^2(w) = (mc^2)^2\sinh^2(w) + (mc^2)^2$$

oder

$$(mc^2)^2 \gamma^2 = (mc^2)^2 \left(\frac{\text {impulse}}{\text{mass}} \text{(in ls/s)}\right)^2 + (mc^2)^2$$

Sie können auch die kinetische Energie aus dieser Gleichung herausbekommen, indem Sie 1 vom Zeitdilatationsfaktor subtrahieren und das Ergebnis mit multiplizieren$mc^2$. Die Gleichung ist für diesen Zweck bei niedrigen Geschwindigkeiten jedoch nicht besonders nützlich, da der Zeitdilatationsfaktor$\gamma$, wird etwa 1,00000000004 sein und passt nicht in Ihren Taschenrechner.

Sobald Sie sich vergewissert haben, dass dies alles wirklich ein hyperbolischer Trig ist, und wenn Sie einen Taschenrechner mit einfachem Zugriff auf hyperbolische Trig-Funktionen finden, werden Sie feststellen, dass es viel einfacher ist, die Dinge in Schnelligkeiten zu bringen.