Die Philosophie hinter der Mathematik der Quantenmechanik

Vektorräume, weil wir Superposition brauchen. Tensorprodukt, weil man auf diese Weise kleinere Systeme kombiniert, um ein größeres System zu erhalten, wenn die Systeme durch den Vektorraum dargestellt werden. Hermitationsoperator, weil dies die Möglichkeit bietet, diskretwertige Observablen zu haben. Hilbert-Raum, weil wir Skalarprodukte benötigen, um Wahrscheinlichkeitsamplituden zu erhalten. Komplexe Zahlen, weil wir Interferenz brauchen (siehe Doppelspaltexperiment).

Die Dimension des Vektorraums entspricht sozusagen der Größe des Phasenraums. Der Spin eines Elektrons kann entweder oben oder unten sein und das sind alle Möglichkeiten, die es gibt, daher ist die Dimension 2. Wenn ja$k$Elektronen dann kann jeder von ihnen oben oder unten sein und folglich ist der Phasenraum$2^k$-dimensional (dies hängt damit zusammen, dass sich der Raum des Gesamtsystems als Tensorprodukt der Teilsysteme ergibt). Wenn man es stattdessen mit Partikeln mit Position zu tun hat, kann das eine beliebige sein$x \in \mathbb R^3$dann muss der Vektorraum unendlich dimensional sein, um alle unabhängigen Möglichkeiten zu codieren.

Bearbeiten bezüglich Hermitationsoperatoren und Eigenwerten.

Hier kommt eigentlich der Begriff Quantumkommt von: klassischerweise sind alle Observablen kommutative Funktionen im Phasenraum, daher gibt es keine Möglichkeit, rein diskrete Energieniveaus (dh mit Lücken zwischen den benachbarten Werten) zu erhalten, die erforderlich sind, um zB atomare Absorptions-/Emissionslinien zu erzeugen. Um diese Art von Verhalten zu erhalten, ist eine Art Verallgemeinerung von Observablen erforderlich, und es stellt sich heraus, dass die Darstellung der Energieniveaus eines Systems mit einem Spektrum eines Operators der richtige Weg ist, dies zu tun. Dies passt auch gut zum Rest der Geschichte, z. B. zwingt die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation mehr oder weniger dazu, nichtkommutative Observablen zu haben, und dafür ist wiederum Operatoralgebra erforderlich. Dieses Verfahren, die kommutative Algebra klassischer kontinuierlicher Funktionen durch die nicht-kommutative Algebra der Quantenoperatoren zu ersetzen, wird als Quantisierung bezeichnet. [Beachten Sie, dass Operatoren sogar auf Quantenebene immer noch ein kontinuierliches Spektrum haben können, was zB für einen Operator erforderlich ist, der eine Position darstellt. Das Wort „Quantum“ impliziert also nicht wirklich, dass alles diskret ist. Es bezieht sich nur auf die Tatsache, dass die Quantentheorie in der Lage ist, diese Möglichkeit einzubeziehen. ]

Scott Aaronson, selbst ein (Quanten-)Informatiker, denkt und schreibt über eine Reihe dieser Themen in seinem Artikel Is Quantum Mechanics An Island In Theoryspace? - zumindest das "warum komplexe Zahlen und nicht die Realzahlen oder die Quaternionen?", und ich bin mir ziemlich sicher, dass er es auch in seinen 'Demokrit'-Vorlesungen erwähnt .

Ist die Antwort nur "weil sich die Natur so verhält" oder gibt es eine tiefere Erklärung

Ich würde sagen, ja zu "weil die Natur sich so verhält". Es ist die bisher wirtschaftlichste Beschreibung experimenteller Daten mit Hilfe von Mathematik.

Zunächst einmal ist die Philosophie der Quantenmechanik für die meisten Physiker kaum einfach. Dies hat eine ganze Industrie von „Quanteninterpretationen“ zum „Quantenmessproblem“ hervorgebracht.

Die Quantenmechanik ist wahrscheinlich eine der besten Lösungen für das Problem, Mystik mathematisch präzise zu machen. Die Quantenmechanik stellt die Mystik auf eine solide mathematische Basis. In der Quantenmechanik geht es um kosmisches Bewusstsein und Realität.

Wirklich, Sie können darüber direkt aus dem Maul des Pferdes in dem Buch Quantum Questions lesen , das eine Zusammenstellung mystischer Schriften von den Begründern der Quantenmechanik selbst ist. Leute wie Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Albert Einstein, Louis de Broglie, Jeans, Max Planck, Wolfgang Pauli und Arthur Eddington. Sie sind nicht nur "Rand"-Physiker, auch wenn "Rand"-Physiker wie Jack Sarfatti, David Bohm, Amit Goswami, John Hagelin und Frank Tipler oft recht haben...

Ein weiteres Buch, das Sie lesen können, ist Quantum Enigma .

Es ist seltsam, dass Sie mit Hilbert-Räumen nicht sehr vertraut sind, da eigentlich kontinuierliche Funktionen den Hilbert-Raum bilden und sich in der Physik alles um Funktionen dreht. Der allgemeine Unterschied zur klassischen Mechanik besteht darin, dass die klassische Mechanik formuliert wurde, lange bevor Menschen, die sie benutzten und lernten (und sogar entwickelten), Mannigfaltigkeiten und Lie-Algebren verstehen konnten, während für die Zeit der Quantenmechanik die Idee des Hilbert-Raums und all das Zeug wurde mehr oder weniger selbstverständlich.

Das gleiche mit dem Rest. Sie könnten QM (im Prinzip) ohne komplexe Zahlen formulieren, aber dies wäre dasselbe wie die Formulierung von Maxwell-Gleichungen ohne Vektoren. Die Leute sagen, dass die Maxwell-Gleichungen tatsächlich formuliert wurden, bevor die Physiker mit den Vektoren vertraut genug waren, und es war ein Albtraum.

Ich habe vor einiger Zeit die gleichen Fragen gestellt.

Lesen :-)

• Heisenbergs Einstieg in die Matrizenmechanik
• Verständnis von Heisenbergs „magischem“ Papier vom Juli 1925: ein neuer Blick auf die Berechnungsdetails

Die Quantenmechanik ist eine Echtzeitlösung der Newtonschen Gleichung. Wenn Sie die Newtonsche Gleichung in reellen Zahlen lösen, erhalten Sie die Newtonsche Lösung. Wenn Sie die Newtonsche Gleichung in komplexen Zahlen lösen, erhalten Sie eine Quantenlösung und die Differenz zwischen den beiden Lösungen ist relativistisch. Googlen Sie in Roger Andertons zeitabhängiger Newton-Gleichung und sehen Sie, dass der Unterschied zwischen Newtons Mechanik darin besteht, dass Newton reelle Zahlen verwendet hat und wenn Newtons Gleichung in komplexen Zahlen gelöst wird, ergibt sich Quantenmechanik und der Unterschied zwischen Quantenmechanik und Newtons Mechanik ist relativistische Mechanik oder Quanten = Newton + Relativität. Es ist ein sehr interessanter Artikel, der von einem englischen Ingenieur geschrieben wurde