Was ist die Abklingbreite und warum wird sie in Energieeinheiten angegeben?

Wie @DavidZ fand ich das eine sehr gute Frage, aber im Gegensatz zu ihm bin ich kein professioneller Physiker und werde daher versuchen, die Frage auf einer vereinfachten Ebene zu beantworten, die @Martin möglicherweise nicht passt, da ich nicht weiß, auf welcher Ebene er arbeitet, aber angesichts der Tatsache, dass er Thomsons Buch liest, muss es ziemlich fortgeschritten sein.

Ich beginne mit dem Zerfallsgesetz von Rutherford und Soddy, das besagt, dass die Zerfallsrate$\dot N(t)$eines instabilen Teilchens (oder Kerns) zu einem bestimmten Zeitpunkt$t$ist proportional zur Anzahl der vorhandenen Teilchen$N$zu dieser Zeit$t$.

$$\dfrac {dN}{dt} = \dot N(t) = \propto N(t) \Rightarrow \dot N = - \lambda N$$

wo$\lambda$ist die Zerfallskonstante.

Nun ist es oft so, dass es mehr als einen Zerfallsmodus gibt und für jeden der Zerfallsmodi eine entsprechende Zerfallskonstante, also muss man jetzt schreiben, dass die Zerfallsgeschwindigkeit von der Summe aller Zerfallsmodi abhängt.

$$\dot N_{\text{all}} (t) = -\lambda_A N(t) -\lambda_B N(t)-\lambda_C N(t) - . . . . .$$

wo$\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C$usw. sind die Abklingkonstanten für die verschiedenen Abklingmodi.

Daraus erhälst du$\dot N_{\text{all}} = - \lambda_{\text{all}} N$wo$\lambda_{\text{all}} = \lambda_A + \lambda_B + \lambda_C+ . . . .$

Dieses zerfallende Teilchen hat also eine Zerfallskonstante, die die Summe der Zerfallskonstanten für alle möglichen Zerfallsarten ist.
Im Moment des Zerfalls wählt das zerfallende Teilchen einen bestimmten Zerfallsmodus und die Wahrscheinlichkeit eines solchen Zerfalls wird als Verzweigungsbruchteil oder Verzweigungsverhältnis ausgedrückt.

Die durchschnittliche Lebensdauer eines instabilen Teilchens$\tau$hängt mit der Zerfallskonstante zusammen$\tau = \dfrac 1 \lambda$.

Wie in Teilchenlebensdauern aus der Unschärferelation diskutiert , „ist die Unschärferelation in der Form$\Delta E \Delta t > \hbar/2$deutet darauf hin, dass es bei Teilchen mit extrem kurzer Lebensdauer eine erhebliche Unsicherheit in der gemessenen Energie geben wird.

Wenn Messungen der Ruhemassenenergie eines instabilen Teilchens ohne Instrumentenfehler durchgeführt werden, wird ein Diagramm des folgenden Typs erhalten.

Die Breite einer solchen Verteilung von Massenenergien wird als Zerfallsbreite bezeichnet$\Gamma$und wird in Energieeinheiten gemessen.

Die Abklingbreite hängt wie folgt mit der Unsicherheit der Energie zusammen.

$$\Gamma = 2 \Delta E = \dfrac \hbar \tau = \hbar \lambda$$

wo$\lambda$ist die Zerfallskonstante.

Das Z-Boson hat jedoch viele Zerfallsmodi, daher sollte diese Gleichung geschrieben werden als$\Gamma_{\text{all}} = \hbar \lambda_{\text{all}}$

Daran erinnern$\lambda_{\text{all}} = \lambda_A + \lambda_B + \lambda_C+ . . . .$führt zum Ausdruck

$$\Gamma_{Z,\text{all}}=\Gamma_{ee} +\Gamma_{\mu\mu} +\Gamma_{\tau\tau} +\Gamma_{hadrons} +\Gamma_{v_e v_e} +\Gamma_{v_\mu v_\mu} +\Gamma_{\tau \tau},$$

wo die verschiedenen Zerfallsmodi des Z-Bosons aufgelistet sind.

Anschließend werden mehrere Experimente durchgeführt, um die Zerfallsmodi und ihre Wahrscheinlichkeit zu untersuchen.

Alle diese experimentellen Daten werden dann mit den theoretischen Daten verglichen, die auf dem Standardmodell basieren, und die Übereinstimmungen haben sich als sehr gut bis zu einem hohen Grad an Genauigkeit herausgestellt.
Die Genauigkeit, mit der die experimentelle Arbeit durchgeführt wird, kann an einem der Dias von Professor Thomson gemessen werden, und zwar unter Verwendung des alten Beschleunigers am CERN.

Auch die Eingabe der Zerfallsbreite in die Suchmaschine dieser Website ist sehr aufschlussreich.

Ich werde versuchen, die großartige Antwort von @Farcher zu erweitern und die Rolle der Zerfallsbreite in der Quantenfeldtheorie zu erklären (wie üblich werde ich festlegen$\hbar=c=1$).

Die Wellenfunktion eines stabilen Teilchens schwingt mit einer Frequenz, die in seinem Ruhesystem durch seine Masse gegeben ist

$$\psi(t) \propto e^{-i p_\mu x^\mu } = e^{-i( E t - \vec{p}\cdot\vec{x})} = e^{-iMt}$$

Aber ein instabiles Teilchen zerfällt, und daher nimmt die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden, gemäß der Zerfallskonstante exponentiell ab$\lambda$, oder die Abklingbreite$\Gamma$:

$$\psi(t) \propto e^{-iMt} e^{-\Gamma t/2} = e^{-i(M-i\Gamma/2)t}\ ,$$ $$P(t) = |\psi(t)|^2 \propto e^{-\Gamma t}$$ In diesem Sinne kann man sagen, dass ein instabiles Teilchen eine "komplexe Masse" hat$M' = M-i\Gamma/2$, wobei der Imaginärteil die Abklingbreite ist. Es ist klar, dass die Zerfallsbreite Einheiten von Masse=Energie haben sollte (denken Sie daran$c=1$).

Ein wesentliches Objekt der Quantenfeldtheorie ist der Propagator, also die Amplitudenwahrscheinlichkeit für die Ausbreitung des Teilchens vom Raumzeitpunkt$x$zu$y$. Für ein freies, stabiles (und der Einfachheit halber skalares) Teilchen ist der Propagator

$$\Delta(x-y) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-M^2}$$ während die eines instabilen Teilchens sein wird $$\Delta(x-y) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-(M-i\Gamma/2)^2}\approx \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-M^2+i\Gamma M}$$ Die Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Zerfall ergibt sich aus der Fourier-Transformation dieses Propagators (auch bekannt als Propagator im Impulsraum) und die Wahrscheinlichkeit durch ihren absoluten Wert im Quadrat: $$P \propto \left|\frac{1}{E^2-M^2+i\Gamma M}\right|^2 = \frac{1}{(E^2-M^2)^2+\Gamma^2 M^2}$$ das ist die berühmte Breit-Wigner-Verteilung, wo$\Gamma$ist die Breite der Verteilung auf halber Höhe.

Ich dachte, dass das OP und andere einige allgemeine Informationen über den Zusammenhang zwischen Zerfallsraten und -breiten nützlich finden könnten, da diese grundlegenden Dinge, wie David Z betont, in Lehrbüchern manchmal schwer zu finden sind.

Praktische Antwort

Wenn ein bestimmtes Teilchen eine empirisch bekannte Lebensdauer hat$\tau$, ist es üblich, ihm eine "Breite" zuzuweisen

$$\Gamma=\frac{\hbar}{\tau},$$ die, abgesehen von der Dimensionskonstante $\hbar$, ist nichts anderes als die Zerfallsrate des Teilchens.

Es mag einschränkend klingen, aber ich denke, dass diese Definition fast alles ist, was Sie brauchen, um die meisten einführenden Texte zur Hochenergiephysik (HEP) zu verstehen, die sich oft eher auf die experimentellen Aspekte als auf die ziemlich komplizierte theoretische Analyse von HEP-Prozessen konzentrieren.

Der Umgang mit Zerfallsraten ist viel praktischer, denn bei Vorhandensein mehrerer Zerfallskanäle, wie in der von Ihnen geschriebenen Reaktion, ist die Gesamtzerfallsrate natürlich die Summe der Raten in jeden einzelnen Kanal. Die von Ihnen zitierte Gleichung bedeutet, dass die Gesamtzerfallsrate der$Z$Boson ist die Summe der Zerfallsraten in den Kanal$e ^+ e ^-$,$\mu ^+ \mu ^-$, etc..

Zerfallsbreiten in der Spektroskopie

Stellen Sie sich ein Atom in seinem ersten angeregten Zustand vor$\vert e \rangle$, das in seinen Grundzustand zerfällt$\vert g\rangle$indem ein Photon mit ungefährer Energie emittiert wird$\hbar \omega \approx E_e - E_g$. Die Störungstheorie erster Ordnung ergibt:

$$\hbar \omega = E_e - E_g \qquad \text{(strict equality)}$$ und $$\frac{1}{\tau}=\dfrac{2\pi}{\hbar}\overline{\vert V_{fi} \vert ^2} \rho _f (E_g),$$ wo $\rho _f$ist die Dichte der Endzustände, dh die Dichte der Photonenzustände mit Energie $\hbar \omega = E_e-E_g$.

Über die Störungstheorie erster Ordnung hinauszugehen, wie sie ursprünglich von Weisskopf und Wigner gezeigt wurde , zeigt, dass die Energieverteilung des emittierten Photons kein Dirac ist$\delta$, aber (in sehr guter Annäherung, korrekt nach zweiter Ordnung, glaube ich) eine Breit-Wigner-Verteilung:

$$f(\hbar \omega)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac {\frac{\Gamma}{2}}{(\hbar \omega - E_e -E_g)^2 + (\frac{\Gamma}{2})^2},$$ wo $\Gamma= \frac{\hbar}{\tau}$. Dies gibt eine Interpretation des Begriffs "Breite", da $\Gamma$ist die volle Breite bei halbem Maximum von $f$. Weiterhin kann das Ergebnis dahingehend interpretiert werden, dass der Anfangszustand, $\text{“atom in excited state + no photons"}$, hat eine Energieunschärfe gleich $\Gamma$, was sich in der Energieunschärfe des Photons im Endzustand widerspiegelt.

Linienbreiten und exponentieller Abfall

Betrachten Sie ein Quantensystem mit Hamiltonian$H=H_0 + V$.$V$ist, wie üblich, die Störung.

Ganz allgemein lässt sich zeigen (siehe zB Sakurai , „Natural line width and line shift“), ​​dass die Wahrscheinlichkeitsamplitude für ein System in einem instabilen Zustand präpariert ist$\vert i \rangle$bei$t=0$im selben Zustand zu bleiben, ist für ausreichend lange Zeiten:

$$\langle i \vert \Psi (t)\rangle = \exp [-i\,\frac {E_i}{\hbar} t -i\frac{\Delta _i}{\hbar}t], \qquad (1)$$ wo $$\Delta _i = V_{ii} + \text P. \sum _{m \neq i}\dfrac {\vert V_{mi}\vert ^2}{E_i -E_m}- i\pi \sum _{m\neq i} \vert V_{mi}\vert ^2 \delta (E_i-E_m)+O(V^3).$$

Die obigen Summen über Zustände sind formal, sie machen nur Sinn in der Grenze eines kontinuierlichen Spektrums an$E=E_i$, wie im Fall des Atomzerfalls (beachten Sie, dass in diesem Fall das "System" nicht nur das Atom ist, sondern die Atom+Feld-Kombination).

Der Imaginärteil von$\Delta _i$, das ist nur die$\frac{\Gamma}{2}=\frac{\hbar}{2\tau}$gegeben durch die Störungstheorie erster Ordnung, ergibt einen exponentiellen Abfall für den instabilen Zustand. Angenommen, ein Staat$\vert i \rangle$erfüllt:

$$\langle i \vert e^{-i\frac{H}{\hbar}t}\vert i \rangle =e^{-i\frac{E_0}{\hbar} t-\frac{\Gamma}{2\hbar}t}.$$ Wenn wir expandieren $\vert i \rangle$in der Basis der exakten Energieeigenzustände von $H=H_0 +V$, unter der Annahme, wie oben, ein kontinuierliches Spektrum: $$\vert i \rangle =\intop \text d E \, g(E)\vert E \rangle,$$ wir erhalten: $$\intop \vert g (E)\vert ^2 e^{-i\frac {E}{\hbar}t}\text d E =e^{-i\frac{E_0}{\hbar} t -\frac{\Gamma}{2\hbar }t}.$$ Dies steht im Einklang mit $$\vert g(E) \vert ^2 = \frac{1}{\pi}\dfrac{ \frac{\Gamma}{2}}{(E-E_0)^2+(\frac{\Gamma}{2})^2}.$$ Genau genommen ist die Breit-Wigner-Formel für $\vert g(E)\vert ^2$würde genau nur dann folgen, wenn die Bedingung: $$\langle i \vert e^{-i\frac{H}{\hbar}t}\vert i\rangle=e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t-\frac{\Gamma}{2\hbar}\vert t \vert }$$ war für alle zufrieden $t\in \mathbb R$. Ich habe noch nie eine Rückwärtsstörungstheorie gemacht, aber ich gehe davon aus, dass das Ergebnis (1) auch für gültig ist $t<0$, mit $-\Gamma t$ersetzt durch $-\Gamma \vert t\vert = +\Gamma t$. Ich werde diesen Punkt besser überprüfen, wenn ich etwas Zeit habe.

Verwandte Sachen

Hier sind ein paar Dinge, die damit zusammenhängen$\Gamma \tau = \hbar$, die ich hier aber nicht diskutieren möchte, weil ich nicht sehr darauf vorbereitet bin und auch weil ich Angst habe, vom Thema abzuschweifen.

1. Breite einer Resonanz . In mehreren Situationen hat der Querschnitt für einen bestimmten Prozess als Funktion der Energie die ungefähre Form eines Breit-Wigner. Außerdem die Breite$\Gamma$hängt mit der Halbwertszeit zusammen$\tau$der Resonanz über$\Gamma \tau = \hbar$. Für einige grundlegende Diskussionen schlage ich Baym und Gottfried vor .
2. Zeit-Energie-Unschärferelation . Es gibt mehrere Beiträge auf Phys.SE, in denen die sogenannte "Zeit-Energie-Unschärferelation" diskutiert wird, zB this und this . Ich empfehle auch dieses kurze Papier von Joos Uffink.