Bedeutet die spezielle Relativitätstheorie, dass die Zeitdilatation durch eine Ausrichtung der Uhren beeinflusst wird?

Question

Bedeutet die spezielle Relativitätstheorie, dass die Zeitdilatation durch eine Ausrichtung der Uhren beeinflusst wird?

Alex Burzew

Viele Texte zur STR-Zeitdilatation verwenden als Beispiel ein Gedankenexperiment mit einer 2-Spiegel-Photonenuhr.Die Schlussfolgerung dieses Experiments lautet: In einem Rahmen, der sich relativ zur Uhr bewegt, scheinen sie langsamer zu laufen. So wie ich es verstehe, ist dies nur ein visueller Effekt, es bedeutet nicht, dass Prozesse im System mit Uhren von jemandem beeinflusst werden, der es von einem sich bewegenden Rahmen aus beobachtet. Ich kann mir keine andere Interpretation davon vorstellen, da dies zu allen möglichen Paradoxien führen würde, z. B. wenn 3 Uhren ausgerichtet sind: parallel, senkrecht und in einem Winkel von 45 Grad relativ zur Richtung des sich bewegenden Rahmens. Wenn Sie den Lichtweg aus der Perspektive des sich bewegenden Rahmens visualisieren, wie dies im obigen Wiki-Link der Fall ist, und eine analoge Interpretation vornehmen, würde dies bedeuten, dass einige der 3 Uhren im selben Rahmen je nach Ausrichtung langsamer und einige schneller laufen.

Laut derselben Wiki-Seite sind Dilatationen diesmal nicht nur ein visueller Effekt und ändern das Verhalten von Objekten, hier ist ein Zitat aus dem 2. Absatz:

Eine solche Zeitdilatation wurde wiederholt demonstriert, zum Beispiel durch kleine Unterschiede in zwei Atomuhren, nachdem eine von ihnen auf eine Weltraumreise geschickt wurde, oder durch Uhren auf dem Space Shuttle, die etwas langsamer laufen als Referenzuhren auf der Erde, oder Uhren auf GPS und Galileo-Satelliten laufen etwas schneller.

Wenn wir also mit unserer Analogie fortfahren, wir können 4 Atomuhrenpaare nehmen und 3 davon auf eine Weltraumreise schicken, die unterschiedlich ausgerichtet ist, würden wir unterschiedliche Zeitergebnisse auf ihnen erhalten.

Wir können dieses Absurde sogar fortsetzen und an das "Zwillingsparadoxon" erinnern und daraus schließen, dass derjenige, der senkrecht zum sich bewegenden Rahmen war, älter werden würde ....

WillO

siehe meine Antwort hier: physical.stackexchange.com/a/276603/4993

Alex Burzew

@WillO Danke, ich habe es gelesen, brauche etwas Zeit, um daran zu kauen, deine Idee passt kaum zu meiner Meinung,

sichere Sphäre

@WillO Ihre Antwort dort ist unklar, da sie nicht erklärt, warum "die Länge der Hin- und Rückfahrt des Lichtstrahls" in Flugrichtung zu derselben Zeitdilatation führen würde. Wie würde diese Länge zum Beispiel eine Quadratwurzel beinhalten? Die richtige Antwort ist, dass die Länge der in Flugrichtung ausgerichteten Lichtuhr aufgrund des Längenkontraktionseffekts der Speziellen Relativitätstheorie verkürzt wird. Aus diesem Grund hängt die Taktperiode nicht vom Winkel ab.

sichere Sphäre

@AlexBurtsev STR ist nichts anderes als eine hyperbolische Geometrie im Minkowski-Raum. Als solches ist es mathematisch konsistent. Alle "Paradoxien" darin sind einfach Unverständnis. Sie kann nicht mehr bemängelt werden als die euklidische Geometrie im euklidischen Raum. Das Interessante beginnt erst, wenn der Raum nicht trivial ist. Beispielsweise sehen in einem geschlossenen zylindrischen Universum zwei Zwillinge, die in entgegengesetzte Richtungen fliegen, die Zeit des anderen verlängert, treffen sich aber nach einem halben Kreis im gleichen Alter (aufgrund der Symmetrie).

Alex Burzew

@safesphere Ich lese gerade, was Einstein selbst 1905 geschrieben hat, hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/… und es sieht anders aus, als es heute interpretiert wird. Er schrieb: "Die Gesetze, nach denen sich die Zustände physikalischer Systeme ändern, werden nicht berührt, unabhängig davon, ob diese Zustandsänderungen auf das eine oder das andere von zwei Koordinatensystemen in gleichförmiger Translationsbewegung bezogen werden." Viele Leute sagen jedoch, dass Zeitdilatationen die Art und Weise verändern, wie sich Systeme verändern.

WillO

@AlexBurtsev: Viele Leute sagen alle möglichen verrückten Dinge im Internet. Es ist am besten, die meisten von ihnen zu ignorieren. Ihr Zitat von Einstein ist die Grundlage der Relativitätstheorie, sowohl wie er sie verstanden hat, als auch wie sie heute verstanden wird (zumindest von jedem, der sie versteht). Wenn Sie eine Quelle finden, die etwas anderes sagt, wurde sie mit ziemlicher Sicherheit von einem Spinner geschrieben.

WillO

@safesphere: Die richtige Antwort ist, dass die Länge der in Flugrichtung ausgerichteten Lichtuhr aufgrund des Längenkontraktionseffekts der Speziellen Relativitätstheorie kontrahiert wird. Aus diesem Grund hängt die Taktperiode nicht vom Winkel ab. Nein, das ist genau rückwärts. Der Grund, warum die Uhrenperiode nicht vom Winkel abhängt, ist das Relativitätsprinzip (wie von Einstein in Alex Burtsevs Kommentar zitiert). (Wenn es vom Winkel abhängen würde, wüsstest du, wer sich bewegt.) Daraus leitet man die Längenkontraktion ab.

sichere Sphäre

@AlexBurtsev Sie haben Recht, dass die Zeitdilatation das System selbst nicht beeinflusst, aber die Art und Weise, wie das System für andere Beobachter aussieht. Zum Beispiel scheinen zerfallende Partikel länger zu leben, wenn sie sich schnell bewegen. Ihre Zerfallszeit ist in ihrem eigenen Rahmen immer noch dieselbe, aber für uns scheinen sie länger zu leben, weil wir ihre Zeit verlängert sehen. Zeitdilatation und Längenkontraktion sind einfach Projektionen in der hyperbolischen Geometrie. Eine Projektion ist, wie ein Objekt anderen erscheint, sie verändert das Objekt selbst nicht. Die Auswirkungen sind jedoch real, da sich schneller bewegende Myonen länger leben.

sichere Sphäre

@WillO Ich stimme respektvoll nicht zu. Mein Punkt ist, dass Ihre Antwort die Längenkontraktion übersehen hat und keine Mathematik hatte, um zu zeigen, wie unterschiedliche Ausrichtungen von Uhren in der hyperbolischen Geometrie des Minkowski-Raums funktionieren. Ihre Antwort basierte im Wesentlichen auf dem Glauben, dass die Relativitätstheorie dies sagt und daher getan werden muss. Sie haben keinen Beweis dafür geliefert, dass es tatsächlich so ist. Darüber hinaus stellt Alex in der aktuellen Frage das Relativitätsprinzip als mutmaßlich inkorrekt in Frage. Ihre Antwort, dass es so ist, weil die Relativitätstheorie es so sagt, ist also nicht hilfreich. Sie müssen zeigen, warum und wie genau die Relativitätstheorie immer noch besteht.

WillO

@safesphere: Sie gehen davon aus, dass zulässige Transformationen die Geometrie des Minkowski-Raums bewahren müssen. Ich gehe davon aus, dass Einsteins Postulate gelten. Dies sind im Wesentlichen gleichwertige Ausgangspunkte. Man kann die Längenkontraktion in der Sprache der Geometrie oder in der Sprache der Einstein-Postulate ableiten; In beiden Fällen ist die Argumentation dieselbe (wenn auch anders ausgedrückt). Wenn ich sage "das ist so, weil die Relativitätstheorie es sagt", sagen Sie "das ist so, weil die Erhaltung der Metrik es sagt" ---- aber dann sagen wir dasselbe.

sichere Sphäre

@WillO Einverstanden, dass die Postulate praktisch der Minkowski-Metrik entsprechen, aber die Frage ist, die Uhrunabhängigkeit des Winkels zu zeigen. Die Antwort "weil es relativ ist" besagt, dass die Relativitätstheorie dies irgendwie sicherstellen sollte, erklärt jedoch nicht , wie es im Remote-Frame funktioniert, und deutet nicht einmal an, dass dies auf die Längenkontraktion zurückzuführen ist. Eine gute Antwort sollte zeigen, wie die Mathematik funktioniert. Deshalb war mein Beitrag nur ein Kommentar. Außerdem solltest du respektvoll eine konstruktive Kritik als Gelegenheit nutzen, dich zu verbessern, anstatt zu kämpfen, dass du immer Recht hast :)

WillO

@safesphere: Ich denke, ich habe eine ziemlich starke Erfolgsbilanz darin, konstruktive Kritik zu akzeptieren, wenn ich falsch liege, aber in diesem Fall haben Sie es nicht geschafft, mich zu überzeugen. Sie sagen, die Unabhängigkeit des Winkels sei auf die Längenkontraktion zurückzuführen. Ich sage lieber genau das Gegenteil: Die Längenkontraktion beruht auf der Unabhängigkeit des Winkels (der wiederum relativitätsbedingt ist). Mir gefällt mein Weg besser, denn bei deinem stellt sich die Frage: Worauf ist dann die Längenkontraktion zurückzuführen? Und die Antwort wird immer noch darauf zurückkommen: Relativität, genau wie meine.

Antworten (3)

Bedeutet die spezielle Relativitätstheorie, dass die Zeitdilatation durch eine Ausrichtung der Uhren beeinflusst wird?

siehe meine Antwort hier: physical.stackexchange.com/a/276603/4993
@WillO Danke, ich habe es gelesen, brauche etwas Zeit, um daran zu kauen, deine Idee passt kaum zu meiner Meinung,
@WillO Ihre Antwort dort ist unklar, da sie nicht erklärt, warum "die Länge der Hin- und Rückfahrt des Lichtstrahls" in Flugrichtung zu derselben Zeitdilatation führen würde. Wie würde diese Länge zum Beispiel eine Quadratwurzel beinhalten? Die richtige Antwort ist, dass die Länge der in Flugrichtung ausgerichteten Lichtuhr aufgrund des Längenkontraktionseffekts der Speziellen Relativitätstheorie verkürzt wird. Aus diesem Grund hängt die Taktperiode nicht vom Winkel ab.
@AlexBurtsev STR ist nichts anderes als eine hyperbolische Geometrie im Minkowski-Raum. Als solches ist es mathematisch konsistent. Alle "Paradoxien" darin sind einfach Unverständnis. Sie kann nicht mehr bemängelt werden als die euklidische Geometrie im euklidischen Raum. Das Interessante beginnt erst, wenn der Raum nicht trivial ist. Beispielsweise sehen in einem geschlossenen zylindrischen Universum zwei Zwillinge, die in entgegengesetzte Richtungen fliegen, die Zeit des anderen verlängert, treffen sich aber nach einem halben Kreis im gleichen Alter (aufgrund der Symmetrie).
@safesphere Ich lese gerade, was Einstein selbst 1905 geschrieben hat, hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/… und es sieht anders aus, als es heute interpretiert wird. Er schrieb: "Die Gesetze, nach denen sich die Zustände physikalischer Systeme ändern, werden nicht berührt, unabhängig davon, ob diese Zustandsänderungen auf das eine oder das andere von zwei Koordinatensystemen in gleichförmiger Translationsbewegung bezogen werden." Viele Leute sagen jedoch, dass Zeitdilatationen die Art und Weise verändern, wie sich Systeme verändern.
@AlexBurtsev: Viele Leute sagen alle möglichen verrückten Dinge im Internet. Es ist am besten, die meisten von ihnen zu ignorieren. Ihr Zitat von Einstein ist die Grundlage der Relativitätstheorie, sowohl wie er sie verstanden hat, als auch wie sie heute verstanden wird (zumindest von jedem, der sie versteht). Wenn Sie eine Quelle finden, die etwas anderes sagt, wurde sie mit ziemlicher Sicherheit von einem Spinner geschrieben.
@safesphere: Die richtige Antwort ist, dass die Länge der in Flugrichtung ausgerichteten Lichtuhr aufgrund des Längenkontraktionseffekts der Speziellen Relativitätstheorie kontrahiert wird. Aus diesem Grund hängt die Taktperiode nicht vom Winkel ab. Nein, das ist genau rückwärts. Der Grund, warum die Uhrenperiode nicht vom Winkel abhängt, ist das Relativitätsprinzip (wie von Einstein in Alex Burtsevs Kommentar zitiert). (Wenn es vom Winkel abhängen würde, wüsstest du, wer sich bewegt.) Daraus leitet man die Längenkontraktion ab.
@AlexBurtsev Sie haben Recht, dass die Zeitdilatation das System selbst nicht beeinflusst, aber die Art und Weise, wie das System für andere Beobachter aussieht. Zum Beispiel scheinen zerfallende Partikel länger zu leben, wenn sie sich schnell bewegen. Ihre Zerfallszeit ist in ihrem eigenen Rahmen immer noch dieselbe, aber für uns scheinen sie länger zu leben, weil wir ihre Zeit verlängert sehen. Zeitdilatation und Längenkontraktion sind einfach Projektionen in der hyperbolischen Geometrie. Eine Projektion ist, wie ein Objekt anderen erscheint, sie verändert das Objekt selbst nicht. Die Auswirkungen sind jedoch real, da sich schneller bewegende Myonen länger leben.
@WillO Ich stimme respektvoll nicht zu. Mein Punkt ist, dass Ihre Antwort die Längenkontraktion übersehen hat und keine Mathematik hatte, um zu zeigen, wie unterschiedliche Ausrichtungen von Uhren in der hyperbolischen Geometrie des Minkowski-Raums funktionieren. Ihre Antwort basierte im Wesentlichen auf dem Glauben, dass die Relativitätstheorie dies sagt und daher getan werden muss. Sie haben keinen Beweis dafür geliefert, dass es tatsächlich so ist. Darüber hinaus stellt Alex in der aktuellen Frage das Relativitätsprinzip als mutmaßlich inkorrekt in Frage. Ihre Antwort, dass es so ist, weil die Relativitätstheorie es so sagt, ist also nicht hilfreich. Sie müssen zeigen, warum und wie genau die Relativitätstheorie immer noch besteht.
@safesphere: Sie gehen davon aus, dass zulässige Transformationen die Geometrie des Minkowski-Raums bewahren müssen. Ich gehe davon aus, dass Einsteins Postulate gelten. Dies sind im Wesentlichen gleichwertige Ausgangspunkte. Man kann die Längenkontraktion in der Sprache der Geometrie oder in der Sprache der Einstein-Postulate ableiten; In beiden Fällen ist die Argumentation dieselbe (wenn auch anders ausgedrückt). Wenn ich sage "das ist so, weil die Relativitätstheorie es sagt", sagen Sie "das ist so, weil die Erhaltung der Metrik es sagt" ---- aber dann sagen wir dasselbe.
@WillO Einverstanden, dass die Postulate praktisch der Minkowski-Metrik entsprechen, aber die Frage ist, die Uhrunabhängigkeit des Winkels zu zeigen. Die Antwort "weil es relativ ist" besagt, dass die Relativitätstheorie dies irgendwie sicherstellen sollte, erklärt jedoch nicht , wie es im Remote-Frame funktioniert, und deutet nicht einmal an, dass dies auf die Längenkontraktion zurückzuführen ist. Eine gute Antwort sollte zeigen, wie die Mathematik funktioniert. Deshalb war mein Beitrag nur ein Kommentar. Außerdem solltest du respektvoll eine konstruktive Kritik als Gelegenheit nutzen, dich zu verbessern, anstatt zu kämpfen, dass du immer Recht hast :)
@safesphere: Ich denke, ich habe eine ziemlich starke Erfolgsbilanz darin, konstruktive Kritik zu akzeptieren, wenn ich falsch liege, aber in diesem Fall haben Sie es nicht geschafft, mich zu überzeugen. Sie sagen, die Unabhängigkeit des Winkels sei auf die Längenkontraktion zurückzuführen. Ich sage lieber genau das Gegenteil: Die Längenkontraktion beruht auf der Unabhängigkeit des Winkels (der wiederum relativitätsbedingt ist). Mir gefällt mein Weg besser, denn bei deinem stellt sich die Frage: Worauf ist dann die Längenkontraktion zurückzuführen? Und die Antwort wird immer noch darauf zurückkommen: Relativität, genau wie meine.

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen · Answer 1

Antwort auf die Titelfrage: absolut nicht .

Experimenteller Prüfstein

Bevor wir das im Detail erklären, wollen wir zunächst feststellen, dass das Michelson-Morley-Interferometrie-Experiment explizit testet, ob die Orientierung das Taktverhalten eines Hin- und Zurück-Lichtwegs beeinflusst. Und die Antwort ist bekanntlich "nein". Dies muss für jeden Trägheitsbeobachter gelten. ¹

Warum verwenden alle Einführungsmaterialien eine Queruhr?

Es ist eigentlich eine gute Frage und die Antwort (zumindest über "Nun, das hat Einstein getan!" ) erfordert einen genauen Blick darauf, wie die Erklärung mit einer Längsuhr funktionieren würde.

Was ist denn los?

Die kurze Version ist einfach: weil die longitudinale Lichtuhr sowohl von Längenkontraktionen als auch von Zeitdilatation beeinflusst wird . ² Und dann folgt daraus, dass man aus didaktischer Sicht zunächst eine der Regeln (Zeitdilatation oder Längenkontraktion) entwickeln und die zweite separat ansprechen möchte, anstatt zu versuchen, sie gleichzeitig zu behandeln. Das macht die transversale Uhr für die Einführung der Relativitätstheorie vorzuziehen.

Um dies ausführlich zu zeigen, stellen wir uns zwei im Grunde identische Lichtreflexionsuhren vor $\mathbb{c}$ Und $\mathbb{C}$ , Wo $\mathbb{c}$ ist die traditionelle Queruhr und $\mathbb{C}$ längs ausgerichtet ist. ³ In ihrem Ruherahmen $S$ , jede Uhr hat eine Länge $l = L$ , und folglich identische Perioden $p = 2l/c$ Und $P = 2L/c$ . Wir betrachten dann das im Rahmen beobachtete Verhalten der Uhren $S'$ mit Geschwindigkeit bewegen $-v$ entlang der Länge von $\mathbb{C}$ gegenüber $S$ .

Quergehäuse

Die Analyse der Zeit von $p'$ der Queruhr ist die traditionelle: die Zeit, die benötigt wird, um die Reise (hin und zurück) abzuschließen, ist

\begin{aligned} P^{'} & = \frac{\sqrt{(2 l)^{2} + (v P^{'})^{2}}}{C} \\ = \sqrt{{(\frac{2 l}{C})}^{2} + {(β P^{'})}^{2}} \\ = P \sqrt{1 + {(β \frac{P^{'}}{P})}^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} p' &= \frac{\sqrt{(2l)^2 + (vp')^2}}{c}\\ &= \sqrt{\left(\frac{2l}{c}\right)^2 + \left(\beta p'\right)^2} \\ &= p \sqrt{1 + \left( \beta \frac{p'}{p}\right)^2} \;, \end{align}$ so dass

\begin{aligned} {(\frac{P^{'}}{P})}^{2} & = 1 + {(β \frac{P^{'}}{P})}^{2} \\ \frac{P^{'}}{P} & = {(1 - β^{2})}^{- 1 / 2} \\ = γ . \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{p'}{p} \right)^2 &= 1 + \left(\beta \frac{p'}{p}\right)^2\\ \frac{p'}{p} &= \left(1 - \beta^2 \right)^{-1/2} \\ &= \gamma\;. \end{align}$

Längsfall

Um die Periode zu finden $P'$ der Längsuhr müssen wir etwas mehr rechnen. Die verstrichene Zeit $T_f$ für die vorwärts gehende Hälfte der Reise ist

T_{F}^{'} = \frac{L^{'} + v T_{F}^{'}}{C},

$T_f' = \frac{L' + v T_f'}{c} \;,$ und für die Hälfte der Strecke rückwärts die Zeit

T_{b}

$T_b$ erforderlich ist

T_{B}^{'} = \frac{L^{'} - v T_{B}^{'}}{C} .

$T_b' = \frac{L' - v T_b'}{c} \;.$ Nach ein wenig Rechnen erhalten wir den Punkt als

\begin{aligned} P^{'} & = \frac{L^{'}}{C (1 - β)} + \frac{L^{'}}{C (1 + β)} \\ = \frac{2 L^{'}}{C (1 - β^{2})} . \end{aligned}

$\begin{align} P' &= \frac{L'}{c(1 - \beta)} + \frac{L'}{c(1 + \beta)}\\ &= \frac{2L'}{c(1 - \beta^2)} . \end{align}$ Nun, wenn

L^{'} = L

$L' = L$ das würde dazu führen

\begin{matrix} (falsch!) & \frac{P^{'}}{P} = {(1 - β^{2})}^{- 1} = γ^{2}, \end{matrix}

$\frac{P'}{P} = \left( 1 - \beta^2 \right)^{-1} = \gamma^2 \;, \tag{wrong!}$ Das heißt, die Uhren würden nicht übereinstimmen, aber wie wir bereits sagten, schließen Experimente im Michelson-Morley-Stil dies aus

L^{'}

$L'$ darf nicht gleich sein

L

$L$ . Um die Vereinbarung zu bekommen, die wir haben müssen, ist dies erforderlich

\frac{L^{'}}{L} = {(1 - β^{2})}^{1 / 2},

$\frac{L'}{L} = \left(1 - \beta^2 \right)^{1/2} \;,$ der übliche Ausdruck für Längenkontraktion.

Besserer Weg

All diese Arbeit ist, ehrlich gesagt, ekelhaft, und ich würde einen Geometrie-First-Ansatz als bessere Alternative zu Einsteins Version empfehlen. Holen Sie sich das Buch von Takeuchi, es ist das Geld wert.

¹ Weil es uns sagt, dass zwei Uhren, deren Sende-/Empfangsenden so eingestellt sind, dass sie im Takt zueinander schlagen, immer noch im Takt zueinander schlagen, wenn Sie sie herumschwenken. Das bedeutet nicht, dass sich alle Beobachter über die Frequenz der Uhren einig sind, sondern nur, dass die beiden Uhren übereinstimmen.

² Darum geht es schließlich bei der Lorentz-Fitzgerald-Kontraktion: die Anpassung der klassischen Theorie an die Michelson-Morley-Ergebnisse.

³ Wir verwenden weiterhin durchgehend Kleinbuchstaben für Größen, die sich auf die Queruhr beziehen, und Großbuchstaben für Größen, die sich auf die Längsuhr beziehen.

Raub · Answer 2

Betrachten Sie 4 baugleiche Lichtuhren unterschiedlicher Orientierung, die im Ruhezustand den gleichen Spiegelabstand haben. Lassen Sie uns sie der Einfachheit halber in einem Kreis anordnen, jeder mit einem Spiegel an einem gemeinsamen Punkt. Wenn im Ruhesystem die anfänglichen Signale vom Zentrum zum selben Ereignis ausgesendet werden, werden die Reflexionen von den Spiegeln zum selben Ereignis vom Zentrum empfangen.

Wenn diese kreisförmige Lichtuhr in gleichmäßige Bewegung versetzt wird, erfahren die unterschiedlich ausgerichteten Lichtuhren Längenkontraktionen ... [die kreisförmige Lichtuhr sieht im Laborrahmen wie eine Ellipse aus], so dass die Reflexionen noch empfangen werden durch das Zentrum bei demselben Ereignis ... in Übereinstimmung mit dem Relativitätsprinzip.

Hier ist ein Bild aus meinem Video https://www.youtube.com/watch?v=AXx3CB80rAk , um die Längenkontraktion zu motivieren.

Hier ist ein Bild aus meinem Video ( https://www.youtube.com/watch?v=tIZeqRn7cmI ) eines animierten Raumzeitdiagramms einer tickenden kreisförmigen Lichtuhr.

In diesem Video ( https://www.youtube.com/watch?v=NqjAOyGR82s ) wende ich dies an, um den Clock-Effekt (im Zusammenhang mit dem Twin Paradox) zu demonstrieren.

Einige weitere Details sind in meinem Artikel verfügbar:
"Visualizing Proper-Time in Special Relativity",
Physiklehrer (Indian Physical Society), v46 (4), S. 132-143 (Oktober-Dezember 2004) https://arxiv.org/ abs/physik/0505134

Mohammed Javanshiry · Answer 3

Ich würde dieses Problem für jeden beliebigen Neigungswinkel der Lichtuhr lösen, um zu zeigen, dass die Zeitdilatation unabhängig von der Ausrichtung der Lichtuhr ist. Wenn die Uhr schräg steht $\theta^\prime$ in seinem Ruhesystem ändert sich dieser Winkel in $\theta$ aus der Sicht des Laborbeobachters WRT, auf den sich die Lichtuhr bewegt $v$ so dass wir haben: [Siehe die beigefügte Abbildung.]

\begin{matrix} (1&2) & \cos θ^{'} = \frac{X^{'}}{L^{'}} A N D \cos θ = \frac{a X^{'}}{L} \end{matrix}

$\cos\theta'=\frac{x'}{L'}\space and \space \cos\theta=\frac{\alpha x'}{L} \tag{1&2}$

Erinnere dich daran $\alpha$ ist der Kehrwert des Lorentzfaktors. Außerdem haben wir:

\begin{matrix} (3&4) & bräunen θ^{'} = \frac{j^{'}}{X^{'}} A N D bräunen θ = \frac{j^{'}}{a X^{'}} \end{matrix}

$\tan\theta'=\frac{y'}{x'}\space and \space \tan\theta=\frac{y'}{\alpha x'} \tag{3&4}$

Gl. (1&2) und Gl. (3&4) bedeuten jeweils:

\begin{matrix} (5&6) & \frac{\cos θ^{'}}{\cos θ} = \frac{L}{a L^{'}} A N D \frac{bräunen θ^{'}}{bräunen θ} = a \end{matrix}

$\frac{\cos\theta'}{\cos\theta}=\frac{L}{\alpha L'} \space and \space \frac{\tan\theta'}{\tan\theta}=\alpha \tag{5&6}$

Gl. (5&6) ergibt:

\begin{matrix} (7) & \frac{L}{L^{'}} = \frac{a / \cos θ}{\sqrt{1 + a^{2} {bräunen}^{2} θ}} = \frac{C a}{\sqrt{C^{2} - v^{2} {Sünde}^{2} θ}} \end{matrix}

$\frac{L}{L'}=\frac{\alpha/\cos\theta}{\sqrt{1+\alpha^2\tan^2\theta}}=\frac{c\alpha}{\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}} \tag{7}$

Verwenden Sie nun das Kosinusgesetz für $\Delta ABC$ , wir bekommen:

C^{2} T_{1}^{2} = v^{2} T_{1}^{2} + L^{2} - 2 v T_{1} L \cos (π - θ) \to

$c^2t_1^2=v^2t_1^2+L^2-2vt_1L\cos(\pi-\theta) \rightarrow$

\begin{matrix} (8) & T_{1} = \frac{v \cos θ + \sqrt{C^{2} - v^{2} {Sünde}^{2} θ}}{C^{2} - v^{2}} L \end{matrix}

$t_1=\frac{v\cos\theta+\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}L \tag{8}$

Verwenden des Kosinusgesetzes für $\Delta BCD$ , erhalten wir schließlich:

C^{2} T_{2}^{2} = v^{2} T_{2}^{2} + L^{2} - 2 v T_{2} L \cos θ \to

$c^2t_2^2=v^2t_2^2+L^2-2vt_2L\cos\theta \rightarrow$

\begin{matrix} (9) & T_{2} = \frac{- v \cos θ + \sqrt{C^{2} - v^{2} {Sünde}^{2} θ}}{C^{2} - v^{2}} L \end{matrix}

$t_2=\frac{-v\cos\theta+\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}L \tag{9}$

Für $t=t_1+t_2$ , wir haben:

\begin{matrix} (10) & T = \frac{2 L \sqrt{C^{2} - v^{2} {Sünde}^{2} θ}}{C^{2} - v^{2}} \end{matrix}

$t=\frac{2L\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}\tag{10}$

Bekanntlich befindet sich die vom Beobachter gemessene Zeit im Ruhesystem der Lichtuhr $t^\prime=2L'/c$ , also können wir schreiben:

\begin{matrix} (11) & \frac{T}{T^{'}} = \frac{C \sqrt{C^{2} - v^{2} {Sünde}^{2} θ}}{C^{2} - v^{2}} \frac{L}{L^{'}} \end{matrix}

$\frac{t}{t'}=\frac{c\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}\frac{L}{L'} \tag{11}$

Einsetzen von Gl. (7) in Gl. (11) erhalten wir:

\begin{matrix} (12) & \frac{T}{T^{'}} = \frac{1}{a} \end{matrix}

$\frac{t}{t'}=\frac{1}{\alpha} \tag{12}$

Daher ist die Zeitdilatation unabhängig von der Orientierung der Lichtuhr.

Vielen Dank für die tolle Antwort! bei der Lösung von L/L', wo ist cos(theta') hingegangen?
@GalaxyLimits Überhaupt nicht. Der Beweis wird dem Studenten als Übung überlassen! ;)

Bedeutet die spezielle Relativitätstheorie, dass die Zeitdilatation durch eine Ausrichtung der Uhren beeinflusst wird?

Alex Burzew

WillO

Alex Burzew

sichere Sphäre

sichere Sphäre

Alex Burzew

WillO

WillO

sichere Sphäre

sichere Sphäre

WillO

sichere Sphäre

WillO

Antworten (3)

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Experimenteller Prüfstein

Was ist denn los?

Quergehäuse

Längsfall

Besserer Weg

Raub

Mohammed Javanshiry

GalaxyLimits

Mohammed Javanshiry

Würde eine Person (oder irgendetwas anderes) bei einer Reise mit nahezu Lichtgeschwindigkeit eine längere Existenz haben oder würde die Existenz in Zeitlupe vergehen?

Wie ist die Zeitdilatation zwischen beiden Beobachtern konsistent?

Verständnis der Ableitung der Zeitdilatation

Warum sagen alle, je schneller man sich durch den Raum bewegt, desto langsamer bewegt man sich durch die Zeit, wenn das nicht der Fall ist?

Verwirrung über das Ablesen der Uhr, wie sie von verschiedenen Inertialsystemen aus gesehen wird

Energiespardilemma

Probleme beim Verständnis der Lichtgeschwindigkeit, wenn sie von einem sich bewegenden Objekt emittiert wird

Wie haben wir die Zeitdilatationsgleichung aus dieser Eigenzeitgleichung erhalten?

Zeitdilatationswiderspruch

Wie kann die Zeitdilatation symmetrisch sein?