Verwirrung über das Ablesen der Uhr, wie sie von verschiedenen Inertialsystemen aus gesehen wird

Vielleicht finden Sie es hilfreich, eine Analogie mit Entfernungen anstelle von Zeit in Betracht zu ziehen. Angenommen, in Ihrem Koordinatensystem ist Ihre x-Achse horizontal, aber meine neigt sich etwas nach rechts und Ihr Referenzrahmen bewegt sich nach rechts, während meiner stillsteht.

Angenommen, Sie messen die Höhe, in der zwei Ereignisse an einem bestimmten Punkt entlang Ihrer x-Achse auftreten, und Sie finden einen Höhenunterschied dh zwischen ihnen. In meinem Referenzrahmen tritt das zweite Ereignis weiter entlang meiner x-Achse auf als das erste (da sich meine Achse relativ zu Ihrer bewegt), und da meine x-Achse im Vergleich zu Ihrer nach unten geneigt ist, werde ich feststellen, dass das zweite Ereignis ist höher als ich es wäre, wenn meine x-Achse parallel zu deiner gewesen wäre, also finde ich einen anderen Wert für dh. Der Effekt hat nichts damit zu tun, wie ich die Höhe messe oder ob ich für beide Messungen ein oder zwei Lineale verwende – er ergibt sich aus der Tatsache, dass die Ereignisse entlang meiner Achse verteilt sind und meine Achse eine andere Neigung hat als deine.

Genau die gleiche Situation tritt bei Gleichzeitigkeit auf, außer dass die Höhe (dh eine Messung auf der y-Achse) durch die Zeit (eine Messung auf der t-Achse) ersetzt wird. Sie messen die Zeiten zweier Ereignisse an einem Punkt auf Ihrer Raumachse. Ich messe sie an zwei Punkten entlang meiner, und meine ist relativ zu Ihrer geneigt, sodass ich unterschiedliche Werte für dt erhalte (ob ich eine Uhr / ein Lineal oder zwei verwende).

Bei Ihrer Frage geht es weniger um die Relativitätstheorie als vielmehr um die wahrgenommene Asymmetrie im Allgemeinen. Hier ist also ein Beispiel, das genau dieselbe Art von "Asymmetrie" erfasst.

Stellen Sie sich auf den Äquator, mit Blick nach Süden. Der Südpol liegt ungefähr 6000 Meilen vor Ihnen und der Nordpol ungefähr 18000 Meilen vor Ihnen. (Das heißt, Sie müssten 18.000 Meilen in Vorwärtsrichtung laufen, um 3/4 der Erdumrundung zum Nordpol zu schaffen.)

Ich stehe neben dir und schaue nach Norden. In meinem Koordinatensystem liegt der Nordpol 6000 Meilen vor uns und der Südpol 18.000 Meilen vor uns.

Unsere Messsysteme sind in dem Sinne gleichwertig, dass sie genau die gleichen Vorhersagen für die Folgen einer bestimmten Fahrt treffen. Wenn wir zum Beispiel beide genau nach Süden gehen, sind wir uns einig, dass wir den Südpol in 6000 Meilen erreichen werden, obwohl Sie diese Reise als Vorwärtsgehen und ich als Rückwärtsgehen beschreiben werden.

Ihrer Meinung nach ist der Südpol also näher (in Vorwärtsrichtung) als der Nordpol. Meiner Meinung nach ist das Gegenteil der Fall.

Jetzt um Ihre Argumentation zu paraphrasieren:

Hier haben wir eine Situation, in der zwei perfekte und äquivalente Messungen nicht mehr äquivalent sind (sie geben unterschiedliche Werte für die Entfernung von unserem Standort zum Südpol an). Dies widerspricht aber der Gleichwertigkeit unserer Messsysteme!

Oder doch?

Auf den ersten Blick sieht die Zeitdilatationsformel asymmetrisch aus.

Sie müssen die vollständige Lorentz-Transformation für Zeit verwenden, um zu sehen, ob die Formel symmetrisch ist. Lassen Sie in Ihrer Frage$\Delta x^\prime=0$, Lorentz-Transformation impliziert:

das ist dein Ergebnis. Allerdings Lorentz-Transformation für Zeit in$S^\prime$, ergibt:

Denken Sie daran,$S$, wir haben$\Delta x=v\Delta t$, was impliziert:

Diese Gleichung ähnelt der ersten, die die Symmetrie in der Relativitätstheorie zeigt.

Aber dann haben wir eine Situation, in der zwei perfekte und gleichwertige Uhren - eine aus$S$und eine von$S′$- sind nicht mehr gleichwertig (einer von ihnen ist langsamer als der andere). Dies widerspricht aber der Äquivalenz aller inertialen Bezugssysteme.

Ich denke, Sie haben Zeitraten (schnell oder langsam) mit der verstrichenen Zeit (Ablesungen der Uhren) verwechselt. Betrachtet man ersteres, so misst jeder Beobachter gemäß der Symmetrie etwa die Winkelgeschwindigkeit der anderen Uhr langsamer (man sagt$\omega^\prime/\omega=\gamma$, und der andere leitet ab$\omega/\omega^\prime=\gamma$stattdessen.), jedoch stimmen beide Beobachter darin überein, dass die Ablesungen der Uhren ($\Delta t$s) sind in beiden Frames ähnlich, wie ich durch die obigen Gleichungen gezeigt habe. Diese Ähnlichkeit ist auf die Synchronisation der Uhren zurückzuführen. Das heißt, wenn zwei Uhren gleichzeitig in einem Frame zu ticken beginnen; Aus der Sicht des anderen Rahmens beginnt eine der Uhren früher zu ticken als die andere, obwohl jeder Beobachter die andere Uhr langsamer sieht.

Ich hoffe, ich habe Ihre Frage richtig verstanden.

Aber dann haben wir eine Situation, in der zwei perfekte und äquivalente Uhren – eine von S und eine von S′ – nicht mehr äquivalent sind (eine von ihnen ist langsamer als eine andere). Dies widerspricht aber der Äquivalenz aller inertialen Bezugssysteme.

Wann immer du etwas sagst, wie ...(times) are no longer equivalent/one of them is slower than another.... Man versetzt sich automatisch in einen der Trägheitsrahmen, hier ist es Rahmen S.

Auf der anderen Seite ist die Aussage immer noch wahr, wenn Sie sich im Rahmen von Frame S' befinden. Sie würden immer noch sagen, dass die andere Uhr im Rahmen dieses S-Rahmens langsamer zu sein scheint als Ihre. Daher gilt die Symmetrie in diesem Sinne.

Um zu verallgemeinern, wann immer Sie etwas in der Sprache der speziellen Relativitätstheorie beschreiben, sollten Sie sich bewusst sein, dass die meisten Aussagen automatisch mit einem bestimmten Trägheitssystem einhergehen, es sei denn, es handelt sich um eine Invarianz wie das Raumzeitintervall .

Aber dann haben wir eine Situation, in der zwei perfekte und gleichwertige Uhren - eine aus$S$und eine von$S′$- sind nicht mehr gleichwertig (einer von ihnen ist langsamer als der andere). Dies widerspricht aber der Äquivalenz aller inertialen Bezugssysteme.

Die beiden Uhren sind nicht gleichwertig . Für$S$, einer von ihnen ruht und der andere bewegt sich mit einer Geschwindigkeit$v=\beta c$.

Was$S$tut, ist, dass er zwei verschiedene Uhren stationär in seinem Rahmen verwendet, um die verstrichene Zeit auf einer einzigen beweglichen Uhr zu messen$S′$.

$S′$macht dasselbe, aber mit zwei verschiedenen Uhren, die in seinem eigenen Rahmen stationär sind .

Die Situation ist also nicht absolut symmetrisch . Wenn$S$oder$S'$darüber zu sprechen, wie langsam eine sich bewegende Uhr läuft, führen sie verschiedene Experimente durch. Daher gibt es keinen Widerspruch, auch wenn jeder das Gefühl hat, dass die Uhren des anderen langsamer laufen.

Tatsächlich sagt Ihnen das Relativitätsprinzip, dass die Situation symmetrisch ist, aber nur im "relativen Sinne" - dh$S$wird zu genau den gleichen Schlussfolgerungen über die Uhren von kommen$S'$, als$S'$wird für Uhren von kommen$S$.

Physikalische Auflösung

Es gibt kein Paradoxon, wenn Sie die Analyse richtig durchführen. Technisch gesehen ist dies also keine Lösung, sondern ein Weg, um zu sehen, dass es keinen Konflikt mit den Schlussfolgerungen der speziellen Relativitätstheorie gibt. Hier also eine eher physikalische Erklärung anhand von Messungen:

Wir erinnern zunächst an zwei wichtige Prinzipien im Umgang mit Zeitmessungen (diese lassen sich aus einfachen Gedankenexperimenten ableiten):

1. Ein sich bewegender Uhrenlauf verlangsamt sich um den Faktor$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.
2. Uhren von S sind im Rahmen von unsynchronisiert$S′$(und umgekehrt), wobei der hintere operativ dem vorderen um einen Betrag voraus ist$vl/c^2$($l$die Resttrennung zwischen den Uhren ist , und$v$die Relativgeschwindigkeit).

Versuchen wir nun zu verstehen, warum$S′$kann sich damit abfinden$S$denkt, dass die Uhren von$S′$langsamer laufen (wobei es ja "wahr" ist, dass die Uhren von$S$für ihn langsamer laufen).

Hier ist die Behauptung von$S$: „Während$\Delta t$Zeit verstrich für mich, eine sich bewegende Uhr von$S'$nur um vorgerückt$\Delta t/\gamma$. "

Stellen wir uns das vor$S′$bewegt sich mit Geschwindigkeit rechts von S$v$.

$S′$stellt fest, dass der Messvorgang durch die$S$behauptet, dass die Uhren von$S'$langsamer sind, beinhalten die Messung der Zeit, die von einer einzigen Uhr angezeigt wird$S'$durch zwei verschiedene Uhren von$S$.$S'$verarbeitet diese Informationen dann wie folgt: „Die zwischen den beiden Messungen verstrichene Zeit für$S$War$\Delta t$. Albern$S$ $-$er hat die Messung mit zwei unsynchronisierten Uhren mit Pausentrennung durchgeführt$l=v\Delta t$. Das bedeutet, dass die beiden in seiner Messung verwendeten Uhren bereits um einen Betrag unsynchronisiert waren$vl/c^2 = \beta^2 \Delta t$. Da die hintere Uhr der vorderen vorausgeht, hat er außerdem einen zusätzlichen Zeitunterschied gemessen$\beta^2 \Delta t$rein wegen Taktasynchronisation. Die richtige Zeitmessung wäre gewesen$\Delta t'= (1-\beta^2) \Delta t$. Aber da seine Uhren immer um einen Faktor langsamer sind$\gamma$, die für mich verstrichene 'tatsächliche Zeit' ist$\gamma \times \Delta t' = \Delta t/\gamma$ $-$das ist in der Tat, was ich messe! "

Die Relativitätstheorie ist eine Theorie der Bezugssysteme. Das sagt die Frage$\Delta t$ist die Zeit, die zwischen zwei Ereignissen von zwei synchronisierten Uhren im Vollbild gemessen wird$S$. Aber jetzt kommt der Haken:$\Delta t$ist tatsächlich die Zeit zwischen den beiden Ereignissen , wie sie von beobachtet werden$S$, wie beobachtet von$S'$.

Normalerweise versuchen wir in SR, den Zeitfluss und das Längenmaß in Bezug auf einen anderen Rahmen zu vergleichen. Also, die$\Delta t$In der obigen Gleichung steht die Person, in der sie steht$S'$sieht in seinem Rahmen. Lassen Sie mich versuchen, es zu erklären.

Angenommen, Sie betrachten es aus der Perspektive von$S'$, mit$S$Reisen relativ zu$S'$mit Geschwindigkeit$v$. Geben wir ihnen beide Stoppuhren. Lassen Sie nun zwei Ereignisse$A$Und$B$passieren darin $S$. Wenn$A$das passiert,$s$(die Beobachter sind hier mit kleinen Buchstaben gekennzeichnet) startet die Stoppuhr. Wenn$B$passiert, stoppt er die Stoppuhr. Die Zeit zwischen ihnen ist$\Delta t$, wie wir aus der Frage wissen. Nun wird die Zeit zwischen ihnen, wie gesehen, durch $s'$gleich sein? Nein. Die Stoppuhr startet und stoppt zu einer anderen Zeit, also erhalten Sie$\Delta t'$.

Aber jetzt sagen Sie$s'$versucht zu sehen, wie viel Zeit entsprechend verstrichen ist$s$. Das wird er sehen

An dieser Stelle müssen wir zwei Beobachter anstelle von einem vergleichen und darüber nachdenken, wie die Uhren in zwei separaten Frames synchronisiert sind.

Um auf die Frage zurückzukommen, die das OP gestellt hat, spielt es eine Rolle, wie Uhren in anderen Frames „ticken“, wenn Sie eine Menge in Ihrem Frame mit den anderen vergleichen. Das bedeutet das Wort „Relativität“. Wie$S'$verhält sich relativ zu$S$oder umgekehrt.

Wenn$S'$versucht zu messen, was$\Delta t$natürlich kümmert er sich darum, wie die Uhren in diesem Frame synchronisiert werden. Denn er versucht herauszufinden, wie viel Zeit in dem anderen Frame vergangen ist .

$\Delta t$in diesem zusammenhang ist nicht die zeit, dass$s$Mittel. Stattdessen ist es an der Zeit, dass$s'$sieht ist vergangen$s$. Und wie „sieht“ er, wie viel Zeit vergangen ist?$s$? Indem Sie herausfinden, wie spät die Uhren (oder Stoppuhren) sind$S$zwischen den beiden Ereignissen anzeigen (was auch das Messen beinhaltet, ob sie synchronisiert sind oder nicht, um eine bessere Vorstellung zu bekommen) und diese Werte mit denen seiner eigenen Uhren vergleicht.

Deshalb ist es wichtig zu wissen, was in anderen Frames vor sich geht. Möglicherweise sehen Sie in dieser Antwort viel Fett- und Kursivschrift, und das liegt daran, dass dies ein heikles Konzept ist und Sie genau wissen müssen, was vor sich geht, und sich nicht in den langen Sätzen verfangen müssen.