Lorentz-Transformation Beispiel & Inversion

Wir haben zwei Bezugsrahmen: Rahmen F und Rahmen F ' so dass F ' bewegt sich mit Geschwindigkeit v im Positiven X Richtung von F . Ich verstehe die allgemeine Vorstellung von der speziellen Relativitätstheorie (Zeitdilatation, Längenkontraktion usw.), aber ich habe immer noch Probleme mit der Arbeit an den Gleichungen. Nehmen wir an, unsere Geschwindigkeit ist 0,7 C von F ' . In F ' ist eine Blitzlampe und in der Ferne D ' (In X ' Richtung) ist ein Detektor installiert. Die Zeit zwischen Emission und Detektion des Lichtimpulses ist für den Beobachter in F ' Ist T ' = 1.5 ∗ 10 − 8 S .

Ich habe die Entfernung berechnet D ' , das sind ca 4.5 M und das Zeitintervall zwischen Emission und Detektion des Lichtimpulses für den Beobachter im ruhenden Bezugssystem: T = 2.1 ∗ 10 − 8 S mit T = γ ∗ T ' .

Jetzt muss ich die räumliche Distanz berechnen X zwischen der Emission und der Detektion für den Beobachter in F . Ich habe es auf 2 verschiedene Arten versucht. Zuerst mit der Raum-Zeit-Invariante

( C ∗ T ' ) 2 − ( D ' ) 2 = ( C ∗ T ) 2 − ( X ) 2
und bekam 6.3 M iirc. Der zweite Weg war die Verwendung der Lorentz-Transformation, die offensichtliche Lösung, denke ich, aber ich bin neu in der speziellen Relativitätstheorie, also verzeihen Sie mir. Das ist der Punkt, an dem ich mit den Gleichungen verwirrt wurde.

„Die Lorentz-Transformation für die X Koordinate ist gegeben durch:

X ' = γ ( X − v T )
Alles auf der rechten Seite dieser Gleichung wird im Rahmen gemessen F und alles auf der LHS wird im Rahmen gemessen F ' ."

Das wurde in einem anderen Thread gepostet. Was ich nicht bekomme, ist die Referenz der Variablen. So mein X ' ist mein D ' Natürlich. Meine Entfernung im beweglichen Rahmen. Mein X ist das, wonach ich suche. Die Entfernung, die der ruhende Beobachter sieht (?). Meine Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit des sich bewegenden Rahmens (so 0,7 C , oder?) und jetzt meine Zeit.. Ich dachte, ich sollte die im Ruheframe gemessene Zeit verwenden, also T = 2.1 ∗ 10 − 8 S . Aber das gibt mir nicht die gleiche Lösung wie die Raum-Zeit-Invariante. Wenn ich nehme T ' es funktioniert jedoch. Aber warum? Habe ich etwas verwechselt? Wenn T ' ist der richtige Zeitpunkt zu verwenden, warum schreiben Sie die Lorentz-Transformation nicht anders?

Entschuldigung, aber es hat mich wirklich verwirrt - überall ist es etwas mehrdeutig und nicht absolut klar, worauf sich die Variablen beziehen. Ein Beispiel würde mir sehr helfen!

Antworten (1)

Wenn Sie die Lorentz-Transformationen anwenden möchten, achten Sie darauf, jedes Ereignis sorgfältig zu definieren und ihm die richtigen Koordinaten zuzuweisen. Die Lorentz-Transformation erledigt den Rest.

In Ihrem speziellen Fall:

  • Ereignis A = von der Taschenlampe emittiertes Licht. Koordinaten in F': sagen X A ' = 0 , T A ' = 0 .
  • Ereignis B = Licht löst Melder aus. Koordinaten in F': X B ' = X A ' + D = D , T B ' = ( X B ' − X A ' ) / C = D / C .
  • Wenden Sie die Lorentz-Transformation von F' auf F an , um die Koordinaten in Frame F zu erhalten:
    X A = γ ( X A ' + v T A ' ) = 0
    T A = γ ( T A ' + v X A ' / C 2 ) = 0
    X B = γ ( X B ' + v T B ' ) = γ ( D + v D / C ) = γ ( 1 + v / C ) D
    T B = γ ( T B ' + v X B ' / C 2 ) = γ ( D / C + v D / C 2 ) = γ ( 1 + v / C ) D / C

Sehen Sie sich nun an, was das physikalisch bedeutet: F sieht den Lichtstrahl dem Detektor über eine Distanz nachjagen X B − X A = γ ( 1 + v / C ) D und es in einer Zeit zu erreichen T B − T A = γ ( 1 + v / C ) D / C = ( X B − X A ) / C , mit einer Geschwindigkeit ( X B − X A ) / ( T B − T A ) = C .

Weitere Aufgaben: 1) Überprüfen Sie die konkreten Zahlen zu Ihren Daten. 2) Überprüfen Sie, ob das Raum-Zeit-Intervall zwischen Ereignissen A Und B ist in der Tat in beiden Frames gleich.

Danke für deine Antwort! Ich bin derzeit auf meinem Handy, aber ich werde die Daten so schnell wie möglich überprüfen. Aber was ich nicht verstehe, ist, warum die Lorentz-Transformation für die Zeit anders ist als die Zeitdilatation? Ich weiß, dass die Zeit zwischen meinen beiden Ereignissen A und B t'_B ist, und ich weiß, dass dies mit dem unterschiedlichen Ort unseres Ereignisses B in unserem beweglichen Rahmen zu tun hat. Aber warum gibt es einen Unterschied, wenn wir eine Uhr in x'_A und eine Uhr in x'_B haben? Wann ist es also in Ordnung, Zeitdilatation zu verwenden?
Als Grundregel gilt, dass sich die Zeitdilatation auf Ereignisse bezieht, die in einem Frame an der gleichen Stelle stattfinden . Zum Beispiel, wenn das Ereignis C in F' um stattfindet X C ' = X B ' = D Und T C ' = T A ' = 0 , dann findet es, wie in F beobachtet, bei statt X C = γ D Und T C = γ v D / C 2 . Dann vergleichen sich die Dauern bis zum Ereignis B in den beiden Frames wie folgt T B ' − T C ' = D / C Und T B − T C = γ ( 1 + v / C ) D / C − γ v D / C 2 = γ D / C = γ ( T B ' − T C ' ) oder ( T B ' − T C ' ) = ( T B − T C ) / γ .
In Ihrem Fall finden die beiden Ereignisse in beiden Frames an unterschiedlichen Orten statt . Otoh die Regel für die Längenkontraktion ist, dass im Beobachtungssystem die Länge zur gleichen Zeit (gleichzeitige Ereignisse) zwischen Punkten an verschiedenen Orten gemessen und mit der Ruhelänge verglichen wird .
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