Zeigt das Minkowski-Diagramm, dass die Zeit in einem „sich bewegenden“ Bezugsrahmen schneller vergeht?

Wie andere angemerkt haben, ist die Geometrie des Raumzeitdiagramms nicht euklidisch, sondern minkowskisch. (Das Positions-gegen-Zeit-Diagramm von PHY 101 ist auch nicht euklidisch ... die analoge Hypotenuse hat eine "Länge" gleich der des zeitähnlichen Beins.)

Hier sind einige verschiedene Möglichkeiten, dies zu visualisieren. Das Takeuchi-Beispiel verwendet v=(1/2)c. Im Folgenden verwende ich v=(3/5)c.

• Verwendung von Zwei-Beobachter-Millimeterpapier , wobei die Achsen des "sich bewegenden" Beobachters durch eine Lorentz-Transformation der Achsen des Heim-Beobachters erhalten werden. (Ich bin mir nicht sicher, wie gut Takeuchis vorherige Folie die von Ihnen verlinkte Folie motiviert.)
  
• Verwendung von hyperbolischem Millimeterpapier , analog zu Polarkoordinatenpapier.
  An den Schnittpunkten zwischen der Weltlinie des sich bewegenden Beobachters und der Hyperbelschar bestimmen die Tangenten die Achsen des sich bewegenden Beobachters im Millimeterpapier mit zwei Beobachtern.
  
• Verwenden von Bondis k-Kalkül- Methode – der Doppler-Effekt mit dem Relativitätsprinzip. Die verstrichene Zeit zwischen Lichtsignalaussendungen ist proportional zu der verstrichenen Zeit zwischen den Empfängen.
  Wenn der Heimatbeobachter der Emitter ist, ist die Proportionalitätskonstante$k_{home}$.
  Wenn der sich bewegende Beobachter der Emitter ist, ist die Proportionalitätskonstante$k_{mov}$.
  Aber das Relativitätsprinzip verlangt, dass diese Faktoren gleich sind... also nenne sie einfach beide$k$.
  Aus meinem Beispiel, wenn der Emissionszeitraum ist$T=2$, ist die empfangene Periode$kT$(Wo$k$ist noch nicht bekannt oder gemessen).
  Wenn das reflektierte Signal von Home empfangen wird, muss dieser Zeitraum sein$k(kT)$was Home [für den Fall von v=(3/5)c] als 8 misst.
  Also$k^2=4$oder$k=2$, also die verstrichene Zeit entlang des sich bewegenden Beobachtersegments ist$kT=4$. (Allgemein,
  $k=\sqrt{\frac{1+(v/c)}{1-(v/c)}}$. Mit$v=(1/2)c$, wir haben$k=\sqrt{3}$.)
  
• Unter Verwendung meiner neuen Visualisierung mit gedrehtem Millimeterpapier , die es einfacher macht, die Ticks einer Lichtuhr zu visualisieren, wie sie von den Lichtsignalen in der Lichtuhr nachgezeichnet werden (wobei jeder Tick den gleichen Bereich im Diagramm einnimmt, je nach Bedarf von die Lorentz-Transformation). Dieser Ansatz kann mit Bondis Methode motiviert werden.
  

Die xt-Ebene ist nicht euklidisch, sie existiert im hyperbolischen Raum.

Die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist tatsächlich kürzer als die vertikale Achse. Wenn es 45 Grad wäre, würde es Lichtgeschwindigkeit erreichen und keine Eigenzeit erfahren.

Geschwindigkeitsbezogene Zeitdilatation bedeutet, dass die Zeit in einem sich bewegenden Bezugssystem langsamer vergeht.

Dies ist gut sichtbar im Zwillingsparadoxon , wo der reisende Zwilling langsamer altert als der Zwilling, der zu Hause geblieben ist.

Das Zwillingsparadoxon erfordert eine Bewegungsänderung des reisenden Zwillings, damit sich beide Zwillinge wieder begegnen. Man kann es aber auch mit Hilfe der Eigenzeitgleichung zeigen :

In diesem Beispiel sind Sie der Beobachter, der die Koordinatenzeit t mehrerer sich bewegender Objekte misst. Dann die richtige Zeit$\tau$hängt vom geschwindigkeitsabhängigen Lorentzfaktor ab$\gamma$, eine höhere Relativgeschwindigkeit ergibt eine geringere Eigenzeit, das heißt: die Zeit vergeht langsamer für bewegte Objekte. Der Extremfall sind lichtähnliche Phänomene (v=c), bei denen die Eigenzeit auf Null reduziert wird.