Unterschiede zwischen den Prinzipien von QM und QFT

Es gibt verschiedene mehr oder weniger formale Möglichkeiten, die Grundprinzipien der nichtrelativistischen Quantenmechanik auszudrücken, darunter sowohl nichtmathematische Aussagen als auch strengere Axiomatisierungen. In letzter Zeit gab es verschiedene Leute, die dies aus der Sicht des Quantencomputings behandelt haben. Andere haben untersucht, ob QM gebogen werden kann, ohne es zu brechen. Ich habe am Ende dieser Frage einige Hinweise auf einige dieser Arbeiten gegeben.

Aber konkreter denke ich, dass die meisten Physiker das Folgende als eine Art Konsens über eine informelle Liste von Prinzipien betrachten würden. (Eigentlich würde ich mich auch über Kritik an dieser Liste freuen.)

  1. Wellenfunktionsfundamentalismus . Alle erkennbaren Informationen über ein System sind in seiner Wellenfunktion codiert (Phase und Normalisierung werden ignoriert).
  2. Einheitliche Entwicklung der Wellenfunktion . Die Wellenfunktion entwickelt sich im Laufe der Zeit auf deterministische und einheitliche Weise.
  3. Beobachtbare . Jede Observable wird durch einen hermiteschen Operator repräsentiert.
  4. Inneres Produkt . Es gibt ein bilineares, positiv definites inneres Produkt auf Wellenfunktionen.
  5. Vollständigkeit . Für jedes interessierende System gibt es einen Satz kompatibler Observablen, sodass jeder Zustand des Systems als Summe von Eigenzuständen ausgedrückt werden kann.

Frage: Muss diese Zusammenfassung der Prinzipien für QFT modifiziert werden? Wenn das so ist, wie? Wenn nicht, was ist dann der Hauptunterschied zwischen diesen beiden Theorien?

Verweise

Kapustin, https://arxiv.org/abs/1303.6917

Mackey, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, 1963, p. 56ff

Aaronson, „Is Quantum Mechanics An Island In Theoryspace?“, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0401062

Masanes und Mueller, „Eine Ableitung der Quantentheorie aus physikalischen Anforderungen“, https://arxiv.org/abs/1004.1483

Hardy, „Quantum Theory From Five Reasonable Axioms“, https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012

Dakic und Brukner, „Quantum Theory and Beyond: Is Entanglement Special?“, https://arxiv.org/abs/0911.0695

Banks, Susskind und Peskin, "Schwierigkeiten bei der Entwicklung reiner Zustände in gemischte Zustände", Nuclear Physics B, Band 244, Ausgabe 1, 24. September 1984, Seiten 125-134

Nikolic, „Verletzung der Einheitlichkeit durch Hawking-Strahlung verletzt nicht die Energie-Impuls-Erhaltung“, https://arxiv.org/abs/1502.04324

Unruh und Wald, https://arxiv.org/abs/hep-th/9503024

Ellis et al., „Suche nach Verletzung der Quantenmechanik“, Nucl Phys B241(1984)381

Gisin, "Weinbergs nichtlineare Quantenmechanik und supraluminale Kommunikation", http://dx.doi.org/10.1016/0375-9601(90)90786-N , Physics Letters A 143(1-2):1-2

Sebens und Carroll, „Self-Locating Uncertainty and the Origin of Probability in Everettian Quantum Mechanics“, https://arxiv.org/abs/1405.7577

Was wäre, wenn ich Ihnen sagen würde, dass all diese Prinzipien für QFT genau gleich sind, mit der Ausnahme, dass Sie "Wellenfunktion" durch den abstrakteren "Zustand im Hilbert-Raum" (oder "Wellenfunktion", wenn Sie wirklich ein Fan sind) ersetzen müssen von Wellen)? Woher genau kommt also die Überzeugung, QFT unterscheide sich in seinen Grundprinzipien irgendwie von QM? Für mich scheint der einzige Unterschied darin zu bestehen, dass es bei "QM" normalerweise um endlich viele Freiheitsgrade geht und bei QFT nicht.
@ACuriousMind: Dieser Kommentar klingt, als könnte er zu einer wunderbaren Antwort erweitert werden ...! Für mich scheint der einzige Unterschied darin zu bestehen, dass es bei "QM" normalerweise um endlich viele Freiheitsgrade geht und bei QFT nicht. Aber ich muss zugeben, dass mich diese Aussage verwirrt. Das nichtrelativistische Teilchen in einer Box hat unendlich viele dof?
Verwandte: physical.stackexchange.com/q/227056/50583 (zumindest meine Antwort dort ist, was ich auch hier schreiben würde)
Die zeitgenössische relativistische Quantenfeldtheorie soll allen Grundprinzipien der Quantentheorie folgen und kann als Teilmenge der Quantentheorie betrachtet werden. Andererseits sind für die wechselwirkende, relativistische Quantenfeldtheorie in 3+1-Dimensionen keine mathematisch strengen Definitionen eines Hilbert-Raums von Zuständen und Observablen als Operatoren bekannt. Daher sieht der Formalismus am Ende ganz anders aus, da Störungsentwicklungen eine Grundlage der Theorie sind und keine Methode, um ungefähre Ergebnisse aus einem festen mathematischen Modell zu erhalten, wie es normalerweise in der Quantenmechanik der Fall ist.
Ich ziehe „Zustandsfunktion“ oder gar „Zustandsvektor“ der „Wellenfunktion“ vor, wenn ich über Quantenmechanik im Großen spreche, weil ich bei „Wellenfunktion“ immer besonders an das Schrödinger-Bild denke.
@AdomasBaliuka; Das klingt so, als könnte es zu einer guten Antwort erweitert werden. Da ich QFT nicht kenne, wäre es für mich hilfreich, einen konkreteren Einblick in das zu bekommen, wovon Sie sprechen.
@BenCrowell Das nicht-relativistische Teilchen in einer Box hat drei Freiheitsgrade. Um Freiheitsgrade zu zählen, sollten wir zählen, wie viele Paare von x ich , p ich Operatoren, die die kanonischen Kommutierungsbeziehungen erfüllen, [ x ich , p j ] = ich ℏ δ ich j . Für ein Teilchen in einer Kiste ich = 1 , 2 , 3 also gibt es drei d.of. Für ein Feld haben wir stattdessen [ ϕ , p ϕ ] = ich ℏ δ ( x − x ' ) -- der Index nimmt jetzt unendlich viele Werte an, also gibt es unendlich viele dof. Es gibt unendlich viele Energie-Eigenzustände, aber das ist nicht dasselbe wie die Anzahl von dof. Irgendein klassischer Phasenraum
enthält auch unendlich viele Punkte. Beachten Sie, dass die Quanten- und klassischen Fälle völlig analog sind, wenn Sie Kommutatoren mit Poisson-Klammern austauschen: Um Freiheitsgrade klassisch zu zählen, sollten Sie zählen, wie viele Funktionen im Phasenraum verifiziert werden können { q ich , p ich } = δ ich j . Betrachten Sie auch den Gleichverteilungssatz: Wenn ein Teilchen in einem Kasten unendlich viele Freiheitsgrade hätte, wie groß wäre dann die Wärmekapazität eines idealen Gases?
@ACuriousMind Es gibt eine "Q-Raum" -Darstellung der (skalaren bosonischen) QFT, in der der Zustand eine Wellenfunktion in einem unendlich dimensionalen Raum ist.

Antworten (4)

  1. Alle erkennbaren Informationen über ein System sind in einem Strahl in einem Hilbert-Raum kodiert. In der QFT und im Gegensatz zur nicht-relativistischen QM gibt es keine | x ⟩ Basis, man kann also keine Wellenfunktion konstruieren φ ( t , x ) = ⟨ x | φ ( t ) ⟩ um diese Informationen zu verschlüsseln. Was Sie tun können, ist diese Informationen in den sogenannten Korrelationsfunktionen (vgl. Wightman Reconstruction Theorem ) zu verschlüsseln. Sie benötigen unendlich viele Funktionen, um alle Informationen des Systems zu codieren. Entsprechend kann man dieselbe Information in einem einzigen Funktional kodieren, entweder durch ein funktionales Integral oder als Wellenfunktion (vgl. 214552 ).

  2. Dies ist unverändert, außer vielleicht der Tatsache, dass es normalerweise viel bequemer ist, Operatoren anstelle von Zuständen zu entwickeln, weil Kovarianz manifest wird. Die abstrakte Schrödinger-Gleichung, d d t | ψ ⟩ = − ich H | ψ ⟩ ist in der nicht-relativistischen QM ebenso gültig wie in der QFT (ebenso die Heisenberg-Gleichung, EIN ˙ = ich [ H , EIN ] ). In diesem Sinne ist die Evolution immer noch einheitlich, aber sie wird in Begriffen von Operatoren anstatt von Zuständen ausgedrückt.

  3. Dies ist unverändert.

  4. Dies ist unverändert, außer vielleicht der Tatsache, dass es manchmal bequem ist, den Hilbert-Raum künstlich zu vergrößern, um "negative Normzustände" einzuschließen, d "wahres" Skalarprodukt im "wahren", physikalischen Hilbertraum).

  5. Dies ist unverändert.

Wenn ich also "Wellenfunktion" durch "Zustandsvektor" ersetze, kann ich alles unverändert lassen (ohne Berücksichtigung von Bequemlichkeitsfragen)?
Ja. Genauer gesagt sollte man statt von Zustandsvektoren von Strahlen sprechen (denn die Phase des Vektors ist ja bekanntlich unerheblich).
Kleinere Terminologiefrage. Ein physikalischer Zustand entspricht einem Element eines projektiven Hilbert-Raums: einer Äquivalenzklasse von Vektoren in einem Hilbert-Raum, die sich um ein konstantes Vielfaches unterscheiden – mit anderen Worten, einem eindimensionalen Unterraum des Hilbert-Raums. Wäre es nicht natürlicher, diese im Hilbert-Raum als "Linien" und nicht als "Strahlen" zu bezeichnen? Immerhin das Globale messen U ( 1 ) Symmetrie führt zu dem komplexen Linienbündel (nicht "Strahlenbündel") von QED, und ein projektiver Raum wird oft lose als "der Satz von Linien [nicht Strahlen] durch den Ursprung" bezeichnet.
@tparker gute Frage. Ich weiß die Antwort nicht wirklich. Der Grund könnte sein , dass "es die ausschließt 0 , und ist daher ein "Strahl", der vom Ursprung ausgeht". Oder vielleicht wurde das Konzept von jemandem aus einem nicht englischsprachigen Land eingeführt und "Strahl" war eine wörtliche Übersetzung. Wir könnten am Ende nach dem historischen Ursprung von fragen Name auf Wissenschaftsgeschichte und Mathematik. Ich werde es dich wissen lassen.
Das kann tatsächlich der Grund sein, aber wenn ja, ist es kein sehr guter Grund. Analog dazu, warum sollte R ∖ { 0 } mehr wie ein Strahl als wie eine Linie sein?

Die Quantenfeldtheorie ist Quantenmechanik, die auf Lorentz-kovariante Kausalsysteme angewendet wird. Das heißt, die Quantenfeldtheorie ist einfach Quantenmechanik plus spezielle Relativitätstheorie. Die Forderung nach Lorentz-Kovarianz und Kausalität schränkt die Systeme ein, über die Sie sprechen können. Zum Beispiel bricht ein Kristallgitter die Lorentz-Symmetrie vollständig, also ist das raus.

Die Systeme, über die Sie sprechen können , erweisen sich als solche, die aus Lorentz-kovarianten lokalen Quantenfeldern bestehen. Das ist im Grunde die Botschaft der ersten 250 Seiten von Weinbergs The Quantum Theory of Fields . Hier ist der Anfang von Ch.2:

Der Standpunkt dieses Buches ist, dass die Quantenfeldtheorie so ist, wie sie ist, weil sie (mit gewissen Einschränkungen) die einzige Möglichkeit ist, die Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie in Einklang zu bringen. [...] Zuerst eine gute Nachricht: Die Quantenfeldtheorie basiert auf derselben Quantenmechanik, die 1925-26 von Schrödinger, Heisenberg, Pauli, Born und anderen erfunden wurde und seitdem in der atomaren, molekularen verwendet wird , Kernphysik und Physik der kondensierten Materie. [...] [D]ieser Abschnitt enthält nur die kürzesten Zusammenfassungen der Quantenmechanik [...]

(i) Physikalische Zustände werden durch Strahlen im Hilbert-Raum dargestellt. [...]

(ii) Observable werden durch hermitesche Operatoren dargestellt. [...]

Diese – in der vollständigen Form im Buch – decken mehr oder weniger Ihre Punkte 1 bis 5 ab.

Ich empfehle auch Weinbergs Vortrag Was ist Quantenfeldtheorie und was haben wir uns darunter gedacht?

Ich denke, auf pädagogischer Ebene kann das Denken der Quantenfeldtheorie als anders als und nicht nur als eine Teilmenge der Quantenmechanik etwas damit zu tun haben, dass die Schüler zuerst mit der Schrödinger-Gleichung in der falschen Form konfrontiert werden. Die Shrödinger-Gleichung ist grundsätzlich keine PDE im Realraum. Es ist eine ODE im Hilbert-Raum. Dementsprechend sollte man nicht mit Wellenfunktionen beginnen, sondern mit Zustandsvektoren, wie andere Antworten und Kommentare darauf hingewiesen haben.

Zum Beispiel bricht ein Kristallgitter die Lorentz-Symmetrie vollständig, also ist das raus. Das erscheint mir falsch. Die Lorentz-Invarianz ist eine Invarianz der Gesetze der Physik. Sie wird nicht verletzt, nur weil einem physikalischen Zustand eines Systems diese Symmetrie fehlt.
@BenCrowell ja, ein Kristall ist ein symmetriebrechender Zustand einer Lorentz-Invariantentheorie. Was ich meine ist, dass der Hamiltonian, der Störungen um diesen Zustand herum beschreibt – im Fachjargon die Niederenergie-Effektivfeldtheorie – nicht Lorentz-kovariant ist, also ist das kein System, an dem wir als explizit relativistische Theorie interessiert sind. Ich verwende es als Beispiel für die Lorentz-Invarianz, die die Hamilton-Operatoren einschränkt, die wir verwenden können. Die Frage ist dann, wie man solche konstruiert, die wir verwenden können. Wir können die regulären x,p-Operatoren nicht verwenden, da es sich um 3-Vektoren handelt. Klassisch verwenden wir jeweils Lorentz-Tensorfelder
dessen Bestandteil eine Zahl ist. In QM sollten wir herausfinden, wie die Lorentz-Gruppe auf den Hilbert-Raum wirkt, und von dort aus weitergehen. Wenn man 200 Seiten von Weinberg überspringt, stellt sich heraus, dass der Weg, eine Lorentz-Invariante-Theorie zu garantieren, darin besteht, sie aus lokalen Produkten kausaler Quantenfelder zu konstruieren, von denen jede Komponente ein Operator ist.
„Die Shrödinger-Gleichung ist grundsätzlich keine PDE im Realraum. Sie ist eine ODE im Hilbert-Raum.“ das ist echt cool, danke :)

Alle diese Postulate gelten weiterhin in der relativistischen QFT, außer dass der Zeitentwicklungsoperator nicht mehr durch die Schrödinger-Gleichung mit einem nichtrelativistischen Hamilton-Operator definiert ist.

Das einzige, das im relativistischen Kontext eine signifikante neue Ausarbeitung erfordert, ist die Existenz eines inneren Produkts. In der nichtabelschen Eichtheorie ist es oft ein nützlicher Rechentrick, Ihren Hilbert-Raum formal auf einen größeren Zustandsraum zu erweitern, der negative Norm-„Geister“ enthält. Ein solcher Zustandsraum ist kein Hilbertraum mehr, weil seine sesquisymmetrische Bilinearform nicht mehr positiv definit und damit kein inneres Produkt mehr ist. Aber der entscheidende Punkt ist, dass Sie niemals Geister einführen müssen ; sie sind lediglich ein nützlicher Rechentrick, existieren aber physikalisch nicht. Sie können immer jede Berechnung durchführen, ohne Geister anzurufen; Siehe hier .

QFT ist nur QM ...

Um den Kommentar von Adomas Baliuka zu erweitern: Alle QFTs, die wir mathematisch streng konstruieren können, erfüllen Ihre 5 Axiome. Wie in der Antwort von AccidentalFourierTransform schön zusammengefasst, liegen die Unterschiede zur quantenmechanischen Standardformulierung eines einzelnen Teilchens eher in der physikalischen Interpretation des Zustandsvektors und in der Art der Observablen, die Sie in Ihrem Hilbert-Raum definieren können (z. B. Sie werden die messen Anzahl von Teilchen in einem bestimmten Raumbereich, anstatt die Position eines bestimmten Teilchens zu messen).

Darüber hinaus möchten Sie vielleicht den Begriff QFT auf Quantentheorien beschränken, die über die grundlegenden QM-Axiome hinaus zusätzliche Axiome erfüllen, wie z. B. Lokalität, Kausalität, (lokale) Lorentz-Invarianz ...

... oder eine geeignete Verallgemeinerung davon?

Aber auf jeden Fall ist es wichtig zu bedenken, dass es nicht so viele QFTs gibt, von denen wir wissen, wie man sie konstruiert: freie Felder in jeder Dimension, polynomisch wechselwirkende Felder in 1+1- und 2+1-Dimensionen, ein paar andere Wechselwirkungstheorien in niedrigen Dimensionen, einige topologische Theorien (dh Theorien, die auf den ersten Blick wie Feldtheorien aussehen, sich aber als nur endlich viele wahre, physikalische Freiheitsgrade herausstellen), ... Es gibt viele QFTs, die wir gerne konstruieren würden aber ich weiß nicht wie, daher bleibt es in der mathematischen Physik ziemlich offen, was der "richtige" axiomatische Rahmen für QFT sein sollte.

Insbesondere die von Ihnen geforderten Axiome werden wahrscheinlich zumindest für QFT in einer gekrümmten, nicht statischen Raumzeit zusammenbrechen: Dort ist es möglicherweise nicht mehr möglich, einen Hilbert-Raum zu finden, auf dem die Zeitentwicklung als Einheit dargestellt werden könnte Transformation. Wenn Sie versuchen, die Entwicklung aufzuschreiben, stellen Sie fest, dass sie Sie aus Ihrem Hilbert-Raum wirft )-; Daher müssen Sie möglicherweise Ihre Definition dessen, was ein "Zustand" Ihrer Quantentheorie ist, etwas lockern, um sicherzustellen, dass alle Zustände gültige Zustände bleiben , wenn sie sich im Laufe der Zeit entwickeln.

Ein Vorschlag für einen allgemeineren Begriff von Quantenzuständen sind sogenannte algebraische Zustände (siehe zB diese Antwort von mir für eine elementare Einführung). Sie können als natürliche mathematische Verallgemeinerung gemischter Zustände (auch bekannt als Dichtematrizen) betrachtet werden. Beachten Sie, dass es selbst im Zusammenhang mit endlich vielen Freiheitsgraden Axiomatisierungen der Quantenmechanik gibt, bei denen gemischte Zustände das grundlegende Objekt sind und nicht wie im Standardformalismus ein nachträglicher Einfall. Dies ist beispielsweise der Fall bei den sogenannten "generalisierten Wahrscheinlichkeitstheorien" , die darauf abzielen, die Quantenmechanik aus sehr grundlegenden Annahmen zu Messvorgängen neu abzuleiten.

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