Gibt es ein System der Klassischen Mechanik, das von einem Spinor beschrieben werden muss?

Ja, es gibt ein einfaches System, das sich effizient mit 2-Komponenten-Spinoren beschreiben lässt: die Dynamik eines klassischen Kreisels.

Wie Andrew Steane in seiner hervorragenden Einführung in die Spinoren https://arxiv.org/abs/1312.3824 sagt

„ Es scheint, dass [Felix] Klein den Spinor ursprünglich 1897 entworfen hat, um die Behandlung des klassischen Kreisels zu vereinfachen. Das gründlichere Verständnis von Spinoren als mathematische Objekte wird Elie Cartan im Jahr 1913 zugeschrieben. Sie sind eng verwandt mit Hamiltons Quaternionen (ca 1845). ”

Da eine Definition eines Spinors seine 720-Grad-Identität unter Rotation ist, können Hamiltons Quaternionen, die zB zur Beschreibung von Rotationen in Computerbildern und der Luftfahrt verwendet werden, auch als Spinoren relativ einfacher, aber klassischer Art betrachtet werden.

Eine ausführlichere Diskussion finden Sie in Kapitel 5 von Laszlo Tiszas MIT-Vorlesungen zur angewandten geometrischen Algebra ( https://ocw.mit.edu/resources/res-8-001-applied-geometric-algebra-spring-2009/lecture-notes -Inhalt/Ch5.pdf )

„ Die zweikomponentigen komplexen Vektoren werden traditionell als Spinoren bezeichnet. Wir wollen zeigen, dass sie ein breites Anwendungsspektrum eröffnen. Tatsächlich werden wir das Spinor-Konzept als natürliche Antwort auf ein Problem einführen, das im Zusammenhang mit Rotationsbewegungen auftritt. ”

Tiszas Kapitel arbeitet sich von Triaden zu Cayley-Klein-Parametern und von dort zu 2-Komplex-Komponenten-Spinoren durch. Technisch gesehen wären seine Spinoren eher nicht-relativistische Pauli-Spinoren als Weyl-Spinoren, da sie sich eher unter SU (2) als unter SL (2, C) transformieren.

Das gleiche Thema (kein Wortspiel beabsichtigt) wird von David Hestenes in seinen New Foundations for Classical Mechanics (2. Aufl., S. 466+) und, nur in Bezug auf Cayley-Klein-Parameter, von Springborn in https://arxiv berührt . org/pdf/math/0007206.pdf (Goldstein erwähnt, wie oben von Alex Nelson empfohlen, Spinoren in seiner 2. Ausgabe (1980); aber nicht in seiner 3. Ausgabe (2002), noch laut Hestenes in der 1. Ausgabe 1950 oder 1951).

Späte Ergänzung : David Hestenes Artikel Vectors, Spinors, and Complex Numbers in Classical and Quantum Physics befasst sich direkter mit der Frage des OP.

„ Eine breitere Verwendung von Spinoren in der klassischen Mechanik sollte den allgegenwärtigen falschen Eindruck zerstreuen, dass Spinoren ein besonderes Merkmal der Quantenmechanik sind. “

Es sollte jedoch bedacht werden, dass Hestenes' Definition von Spinor auf einer Interpretation des i in der üblichen komplexen Ebene als Bivektor beruht, was es ihm ermöglicht, die komplexe Ebene als "Spinor -i -Ebene" zu bezeichnen. Diese Interpretation wird in Abschnitt 2-2 näher ausgeführt. The Algebra of a Euclidian Plane ' in seinen New Foundations for Classical Mechanics (op. cit.).

Spätere Ergänzung : Für diejenigen, die sich für den Ursprung von Spinoren interessieren, obwohl dies nicht streng mechanischer Natur ist, könnte man sich ein paar Artikel von Jerzy Kocik ansehen, in denen er argumentiert, dass Euklids Parametrisierung der pythagoreischen Tripel (durch ein paar Jahrtausende!) "das früheste Auftreten des Konzepts der Spinoren" https://arxiv.org/abs/1201.4418 und https://arxiv.org/pdf/1909.06994.pdf

Ich wäre nachlässig, wenn ich nicht auf den „ Gürteltrick “ hinweisen würde. Es ist ein physikalisches System, dessen Hauptmerkmale die eines Spinors sind. Die Spinor- Seite von Wikipedia enthält auch einige lächerliche Beispiele mit einer Kugel, die sich dreht, während sie mit Gürteln festgebunden ist.

Dies ist tatsächlich ein sehr wichtiger Aspekt im Kampfsport, wenn es um den Umgang mit Gelenksperren geht. Ihre Füße sind normalerweise im Boden verankert. Wenn sich jemand um Sie herum drehen möchte und Sie sich auf eine einfach verbundene Weise bewegen können (wie die von Spinoren), kann er Sie nicht zwingen, Ihren Halt aufzugeben. Ein extremes Beispiel dafür ist ein balinesischer Kerzentanz. In diesem Tanz (oder einem der verwandten) dreht man eine Kerze auf eine Spinor-ähnliche Weise und demonstriert das einfach verbundene Verhalten. Man beginnt bei den Füßen, lässt sich dann auf die Knie fallen, setzt sich dann hin und macht es schließlich mit einer Schulter auf dem Boden, wobei man den Wurzelpunkt immer näher an die Kerze bewegt (verringert die Anzahl der verfügbaren Gelenke, um die Bewegung auszuführen).

Ich bin mir nicht sicher, wie ich das übersetzen soll, aber Quaternionen können als einfache Möglichkeit verwendet werden, klassische elliptische Umlaufbahnen darzustellen.

Ich habe ein bisschen Grafik gemacht , um dies zu demonstrieren. Sie können die rechte Maustaste gedrückt halten und die Maus bewegen, um verschiedene Perspektiven zu sehen. Klicken Sie auf jedes Bild, um das nächste zu sehen.

Nach jeder einzelnen Quaternion-Multiplikation erhalten Sie den Ort im Raum und den Zeitvorlauf oder die Verzögerung, wenn sich die umlaufende Entität an diesem Ort befindet.