(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

Question

(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

Mathematik
Annäherung
Annäherungstheorie
Exponentialfunktion

Remi.b

Hier ist eine Annäherung, die ich oft in Biologieartikeln sehe, aber nicht wirklich verstehe:

(1 - X)^{j} \approx e^{- X j}

$(1-x)^y ≈ e^{-xy}$

ich denke das $e^{-xy}$ eng annähert $(1-x)^y$ wann immer $x$ ist klein. Können Sie mir helfen, die Bedingungen für diese Annäherung zu verstehen und warum diese Annäherung zutrifft?

Thomas Andreas

Der Hauptgrund dafür ist, dass

1 - x \approx e^{- x}

$1-x\approx e^{-x}$ Wenn

x

$x$ ist klein. So

(1 - x)^{y} \approx e^{- x y}

$(1-x)^y\approx e^{-xy}$ .

Antworten (2)

(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

Der Hauptgrund dafür ist, dass $1-x\approx e^{-x}$ Wenn $x$ ist klein. So $(1-x)^y\approx e^{-xy}$ .

Taladris · Answer 1

Bei der Arbeit mit reellen Exponenten ist es sinnvoll, auf die Definition zurückzukommen:

Wir haben $(1-x)^y=e^{y\ln(1-x)}$

aber wenn $x$ ist klein, $\ln(1-x)\approx -x$ (da die Tangente an den Graphen $y=\ln(1-x)$ Gleichung hat $y=-x$ ), also für alle $y$ und für jeden $x$ klein,

wir erhalten $y\ln(1-x)\approx -xy$ .

Unter Verwendung der Kontinuität von $\exp$ , wir erhalten $(1-x)^y\approx e^{-xy}$ .

Benutzer63181 · Answer 2

Benutzer63181

Wir haben die Taylor-Reihe

(1 - X)^{j} \sim_{0} 1 - j X

$(1-x)^y\sim_01-yx$ Und

e^{- X j} \sim_{0} 1 - X j

$e^{-xy}\sim_0 1-xy$ also haben wir die gegebene Annäherung.

Remi.b

Ich versuchte zu finden

(1 - x)^{y}

$(1-x)^y$ vom Ausbau

e^{- x y}

$e^{-xy}$ in Serie, aber mir war nicht klar, dass sie sich beide erweitern

1 - x y

$1-xy$ . Danke schön! Was ist die strenge Bedeutung von

\sim_{0}

$\sim_0$ ? Ist es "bewertet bei

some_variable = 0

$\text{some_variable}=0$ "?

Benutzer63181

\sim_{0}

$\sim_0$ bedeutet „asymptotisch gleich bei

0

$0$ " und zum Beispiel schreiben wir

\sin x \sim_{0} x

$\sin x\sim_0 x$ und das ist gleichbedeutend mit sagen

lim_{X \to 0} \frac{Sünde X}{X} = 1

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

Antonio Varga

\sim

$\sim$ ist hier nicht wirklich die richtige Vorstellung, wenn man bedenkt, dass das auch stimmt

e^{- x y} \sim 1 - 100 x

$e^{-xy} \sim 1 - 100x$ als

x \to 0

$x \to 0$ . Dieses Argument sollte wahrscheinlich überarbeitet werden, um die O-Notation zu verwenden.

Benutzer63181

Ich habe dich nicht verstanden!

e^{- x y} \sim 1 - 100 x y

$e^{-xy}\sim 1-100xy$ ist nicht wahr.@AntonioVargas

Antonio Varga

Äh ... ja, das ist es. Glaubst du das nicht

lim_{X \to 0} \frac{e^{- X j}}{1 - 100 X j} = 1 ?

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{-xy}}{1-100xy} = 1?$

Benutzer63181

haha Hast du versucht mir ein Gegenbeispiel zu geben? Ok, die Definition, die ich gegeben habe, ist die vorläufige Definition für den Anfänger, aber wenn wir mit diesem Konzept vertraut sind, dann ist die Definition

F (X) \sim_{A} G (X) ⟺ F (X) - G (X) =_{A} Ö (F (X)) ⟺ \forall ϵ > 0, \exists δ > 0, | X - A | < δ \Rightarrow | F (X) - G (X) | < ϵ | F (X) |

Antonio Varga

Wenn du nimmst

f (x) = e^{- x y}

$f(x) = e^{-xy}$ Und

g (x) = 1 - 100 x y

$g(x) = 1-100xy$ Dann

f (x) - g (x) = e^{- x y} - 1 + 100 x y = o (1) = o (e^{- x y}) = o (f (x))

$f(x) - g(x) = e^{-xy} - 1 + 100xy = o(1) = o(e^{-xy}) = o(f(x))$ als

x \to 0

$x \to 0$ , Ihre Definition erfüllend. Bitte überlegen Sie sich meinen Einwand genauer, da ich auch kein Neuling bin.

(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

Remi.b

Thomas Andreas

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Taladris

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Antonio Varga

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Antonio Varga

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Antonio Varga

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