Wie groß ist die Entfernung von Alpha Centauri nach Barnard's Star?

Um die Entfernung von einem Stern zum anderen zu finden, brauchen wir drei Dinge für beide Sterne: ihre Rektaszension, Deklination und die Entfernung von der Erde zu diesen Sternen.

Also, lass uns diese Dinge holen:

Von der Wikipedia-Seite zu Alpha Centauri :

$RA = 14^h\:39^m\:36.49400^s$

$DEC = -60^{\circ}\:50'\:0.23737''$

$R = 4.37\:\rm{ly}$(Sie haben 4,366 angegeben, einige andere Quellen geben 4,367 an ... Ich bleibe bei 4,37)

und für Barnards Stern :

$RA = 17^h\: 57^m\: 48.49303^s$

$DEC = +04^{\circ}\: 41'\: 36.2072''$

$R = 5.958 \: \rm{ly}$(Sie haben wieder einen etwas anderen Wert angegeben, ich bleibe vorerst bei Wikipedia)

wobei RA die Rektaszension, DEC die Deklination und R die radiale Entfernung von der Erde zum Zielstern ist.

Nun ist es für uns relativ schwierig, eine tatsächliche Entfernung zu erhalten. Was ich tun würde, ist, diese in rechteckige Koordinaten umzuwandeln, und dann geht es darum, die 3-D-Abstandsformel zu verwenden.

Zuerst müssen wir jedoch RA und DEC in Einheiten wie Bogenmaß oder Grad umwandeln.

Für Rektaszension können wir die allgemeine Formel verwenden:

$degrees = 15 (h + \dfrac{m}{60} + \dfrac{s}{3600})$

und zur Deklination:

$degrees = deg + \dfrac{m}{60} + \dfrac{s}{3600}$

(bei negativer Deklination multiplizieren Sie jedoch alle Terme in der Formel mit -1)

Für Alpha Centauri AB haben wir also:

$RA = 15 (14 + \dfrac{39}{60} + \dfrac{36.49400}{3600}) \approx 219.902^{\circ}$

$DEC = -1 (60 + \dfrac{50}{60} + \dfrac{0.23737}{3600}) \approx -60.833^{\circ}$

und für Barnards Stern haben wir:

$RA = 15 (17 + \dfrac{57}{60} + \dfrac{48.49303}{3600}) \approx 269.452^{\circ}$

$DEC = 04 + \dfrac{41}{60} + \dfrac{36.2072}{3600} \approx 4.693^{\circ}$

Um nun von sphärischen in rechteckige Koordinaten umzuwandeln, müssen wir definieren, welche von RA, DEC und R zugewiesen werden können$r$,$\theta$, Und$\phi$. R sollte sein$r$- das ist ziemlich einfach. Da RA als "himmlische Länge" betrachtet werden kann, werden wir es zuweisen$\theta$, und somit wird die Deklination sein$\phi$.

Zur Verdeutlichung, ich definiere$\phi$als Winkel von der xy-Ebene - also a$\phi$von$\dfrac{\pi}{2}$würde bedeuten, gerade nach oben zu zeigen. Ich kenne einige Quellen definieren$\phi$als der Winkel, der zu diesem Winkel komplementär ist (also$\dfrac{\pi}{2}$- der Winkel von der xy-Ebene), aber für astronomische Zwecke denke ich, dass die Definition, die ich verwende, intuitiver und einfacher zu handhaben ist.

Wir können dann die Konvertierungen verwenden:

$x = r\cos{\theta}\cos{\phi}$

$y = r\sin{\theta}\cos{\phi}$

$z = r\sin{\phi}$

Also für Alpha Centauri AB:

$x = 4.37 \cos{219.902^{\circ}} \cos{−60.833^{\circ}} \approx -1.634\: \rm{ly}$

$y = 4.37 \sin{219.902^{\circ}} \cos{−60.833^{\circ}} \approx -1.366\: \rm{ly}$

$z = 4.37 \sin{−60.833^{\circ}} \approx -3.816\: \rm{ly}$

und für Barnards Stern:

$x = 5.958 \cos{269.452^{\circ}} \cos{4.693^{\circ}} \approx -0.057\: \rm{ly}$

$y = 5.958 \sin{269.452^{\circ}} \cos{4.693^{\circ}} \approx -5.938\: \rm{ly}$

$z = 5.958 \sin{4.693^{\circ}} \approx 0.487\: \rm{ly}$

Und jetzt können wir endlich die Abstandsformel für 3-d verwenden:

$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}$

Die Entfernung zwischen Alpha Centauri AB und Barnard's Star beträgt also:

$d = \sqrt{(-1.643 + 0.057)^2 + (-1.366 + 5.938)^2 + (-3.816 - 0.487)^2} \approx\mathbf{6.476\,ly}$

Nun, das war sicherlich mühsam - aber es ist ein Prozess, den Sie auf so ziemlich jeden Stern oder wirklich zwei beliebige astronomische Objekte standardisieren können:

Konvertieren Sie zuerst RA und DEC in Grad.

Weisen Sie zweitens R, RA und DEC den sphärischen Koordinaten zu$r$,$\theta$, Und$\phi$.

Konvertieren Sie drittens sphärische Koordinaten in rechtwinklige Koordinaten.

Verwenden Sie schließlich die Abstandsformel mit den beiden Sätzen von$x$,$y$, Und$z$Koordinaten.

Hoffe das hilft. :)

Nur um eine andere Methode hinzuzufügen. Wie in einem Kommentar angedeutet, kann man den Winkelabstand zwischen den Starts finden. Wie findet man den Winkelabstand?

Stellen Sie sich das kugelförmige Dreieck vor, das durch die Positionen der beiden Sterne und den Nord- oder Südpol gebildet wird. Nehmen wir in diesem Fall den Südpol. Wir haben: 1) den Winkel am Pol, der die Differenz der RA's ist: 3h 18m 12s (=49,55°) - markieren wir diesen Winkel mit$p$; 2) Wir haben auch die Bögen neben diesem Winkel - ihre Längen sind die Deklinationsdifferenzen von der Deklination von -90. Das sind 29,16° (für AlphaC) – Markieren wir es mit$A$und 94,69° (für Barnard's) - Markieren wir es mit$B$. Jetzt suchen wir nach dem dritten Bogen -$X$. Die Länge des dritten Bogens ist im Grunde der Winkelabstand vom Erdmittelpunkt. Nach dem Sphärischen Kosinusgesetz :

Nun können wir den Kosinussatz für das Euklidische Dreieck (Erdmittelpunkt, Stern A, Stern B) anwenden. Da wir 2 Seitenlängen haben und den Winkel zwischen ihnen, der sich ergibt$6.49ly$(unter Verwendung der Entfernungen aus der Frage))