Anwendungen des Mittelwertsatzes

Es gibt mehrere Anwendungen des Mittelwertsatzes. Es ist eines der wichtigsten Theoreme in der Analysis und wird ständig verwendet. Ich habe aufgelistet$5$unten wichtige Ergebnisse. Auf Wunsch werde ich ihre Bedeutung begründen.

$1)$Wenn$f: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ist differenzierbar und$f'(x) = 0$für alle$x \in (a,b)$, Dann$f$ist konstant.

$2)$ Leibnizsche Regel: Angenommen$f : [a,b] \times [c,d] \rightarrow \mathbb{R}$ist eine stetige Funktion mit$\partial f/ \partial x$kontinuierlich. Dann die Funktion$F(x) = \int_{c}^d f(x,y)dy$ist mit Ableitung ableitbar

$3)$ Die Regel von L'Hospital

$4)$Wenn$A$ist eine offene Menge in$\mathbb{R}^n$Und$f:A \rightarrow \mathbb{R}^m$ist dann eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen$f$ist differenzierbar.

$5)$ Symmetrie zweiter Ableitungen: If$A$ist eine offene Menge in$\mathbb{R}^n$Und$f:A \rightarrow \mathbb{R}$ist eine Funktion der Klasse$C^2$, dann für jeden$a \in A$,

Es gibt Bewerbungen.

Für einen wichtigen stützt sich der Beweis der Taylor-Reihe darauf.

Eine andere Anwendung, die mir gefällt, ist das schnelle Erfinden und Beweisen von Ungleichungen.

Beispiel 1)$\displaystyle |\cos x - \cos y| \le |x - y|$

Beispiel 2)$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n+1}} < \sqrt{n+1} - \sqrt{n} < \frac{1}{2\sqrt{n}}$

Einige weitere Anwendungen:

• Wenn die Ableitung einer Funktion$f$überall streng positiv ist, dann ist f eine streng steigende Funktion .

• Vermuten$f$ist ganz differenzierbar$\mathbb{R}$, Und$f'(x)$ist eine Konstante. Dann$f$ist linear.

• Der Mittelwertsatz spielt eine wichtige Rolle beim Beweis des Fundamentalsatzes der Analysis .

• Vermuten$f$ist durchgehend an$[a,b]$Und$f'$existiert und ist dann auf das Innere beschränkt$f$ist von Bounded Variation an$[a,b]$.

Die Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes, bekannt als Cauchys Mittelwertsatz, kann verwendet werden, um die Regel von L'Hopital zu beweisen. Siehe zum Beispiel den folgenden Beweis .

Wenn$f$Und$g$sind zwei differenzierbare Funktionen auf einem Intervall$I$und für alle$x\in I$,$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$, dann der Unterschied$f(x)-g(x)$ist ständig an$I$.

Physikalische Interpretation (unter der Annahme, dass die Bewegung nicht unterbrechbar ist): Wenn die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Autos zwischen zwei Orten war$V$km/h, dann gab es mindestens einen Moment, in dem die Geschwindigkeitsanzeige angezeigt wurde$V$km/h.

MVT ist sehr wichtig. In Analysis und Analysis natürlich. Aber es ist auch in anderen Bereichen wichtig, wie der angewandten Mathematik und der Theorie der geraden Zahlen. Zum Beispiel, um zu zeigen, dass Liouville-Zahlen transzendent sind.

Eine Anwendung, die in jedem Mathematikkurs viel verwendet wird:

Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion verschwindet an einem Extremum (dh Maximum oder Minimum).