Was ist die hyperbolische exzentrische Anomalie F?

Die hyperbolische Anomalie ist das hyperbolische Äquivalent der exzentrischen Anomalie.

Wie Sie oben in einem Kommentar erwähnt haben, ist die exzentrische Anomalie der Winkel vom Zentralkörper zum Hilfskreis der Umlaufbahn. Da eine hyperbolische Bahn keinen Hilfskreis hat, brauchen wir eine andere Formulierung.

Für die hyperbolische Anomalie verwenden wir eine gleichseitige Hyperbel, die eine Exzentrizität von hat$\sqrt2$.

Das Schwierige an der hyperbolischen Anomalie ist, dass sie anstelle eines Winkels als Fläche definiert wird.

$F = 2*Area / a^2$

Woher$Area$ist definiert als die Fläche zwischen der X-Achse, der gleichseitigen Hyperbel von der Periapsis bis zur vertikalen Projektion des Raumfahrzeugstandorts und der Linie zwischen diesem Projektionspunkt und dem Ursprung.

In Ihrem Bild ist dies der schattierte Bereich.

Es ist ein nicht intuitiver Parameter, der nicht wirklich eine physikalische Bedeutung hat, die jemand verwendet. In erster Linie wird es nur als mathematische Größe verwendet.

Die Gleichung, die die hyperbolische exzentrische Anomalie F mit ihrer wahren Anomalie θ in Beziehung setzt, ist genau dieselbe wie die zwischen der exzentrischen Anomalie E und ihrer wahren Anomalie.

Es sieht so aus, als wären sie nicht gleich.

Aus dieser praktischen Tabelle habe ich die folgenden Gleichungssätze rekonstruiert.$E$,$D$, und$F$sind die exzentrischen Anomalien für elliptische (und kreisförmige), parabolische und hyperbolische Kepler-Bahnen.

Die Quelle dieser Tabelle ist wiederum:

Referenz: „ Grundlagen der Astrodynamik “ von RRBate, DDMueller und JE White, Dover Publications (1971)

Möglicherweise finden Sie PDF-Versionen online oder noch besser physische Versionen in einer Bibliothek.

Hinweis: Ich habe viel davon aus dieser Antwort ausgeliehen .

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Ellipse, Kreis$(0 \le \epsilon < 1)$:

$$\tan \frac E2 = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}} \tan\frac\theta2$$ $$\text{or}$$ $$\cos E = \frac{e+\cos\theta}{1+e\cos\theta} \tan\frac\theta2,$$ $$M = E - e\sin E,$$ $$\Delta M = M_2 - M_1,$$ $$\Delta t = \sqrt{\frac{a^3}{\mu}} \Delta M,$$

Hyperbel ($\epsilon > 1)$:

$$\tanh \frac F2 = \sqrt{\frac{e-1}{e+1}} \tan\frac\theta2$$ $$\text{or}$$ $$\cosh F = \frac{e+\cos\theta}{1+e\cos\theta} \tan\frac\theta2,$$ $$M = e\sinh F-F,$$ $$\Delta M = M_2 - M_1,$$ $$\Delta t = \sqrt{\frac{(-a)^3}{\mu}} \Delta M,$$

Parabel ($\epsilon = 1)$:

$$D = \tan\frac\theta2,$$ $$M = D + \frac{D^3}{3},$$ $$\Delta M = M_2 - M_1,$$ $$\Delta t = \sqrt{\frac{q^3}{\mu}} \Delta M,$$

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Um die große Halbachse zu erhalten$a$oder zu bekommen$q$, verwenden Sie Folgendes (machen Sie sich keine Sorgen$a$ist negativ für die Hyperbel):

Ellipse, Hyperbel:

$$a=\frac{r_{peri}}{1-e}$$

Ellipse:

$$a=\frac{r_{peri}+r_{apo}}{2}$$

Kreis:

$$a=r$$

Parabel:

$$q=r_{peri}$$

Ein kurzer Check mit$\mu=1$und$r_{peri}=1$:

 e      theta      a     v_peri    E/D/F       M         t
1.5   90.000000  -2.0   1.581139  55.14281  40.94513  2.021271
1.0   90.000000   n/a   1.414214  57.29578  76.39437  1.885618
0.5   90.000000   2.0   1.224745  60.00000  35.19020  1.737177
0.0   90.000000   1.0   1.000000  90.00000  90.00000  1.570796

Wenn Sie es in Python versuchen möchten:

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    acc  = -mu * x * ((x**2).sum())**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

def get_D(theta, e):
    if e == 1.0:
        D    = np.tan(0.5*theta)
    else:
        D    = np.nan
    return D

def get_E(theta, e):
    if e < 1.0:
        term = np.sqrt((1.-e)/(1.+e)) * np.tan(0.5*theta)
        E    = 2.*np.arctan(term)
    else:
        E    = np.nan
    return E

def get_E_alt(theta, e):
    if e < 1.0:
        term = (e + np.cos(theta)) / (1. + e*np.cos(theta))
        E    = np.arccos(term)
    else:
        E    = np.nan
    return E

def get_F(theta, e):
    if e > 1.0:
        term = np.sqrt((e-1.)/(e+1.)) * np.tan(0.5*theta)
        F    = 2.*np.arctanh(term)
    else:
        F    = np.nan
    return F

def get_F_alt(theta, e):
    if e > 1.0:
        term = (e + np.cos(theta)) / (1. + e*np.cos(theta))
        F    = np.arccosh(term)
    else:
        F    = np.nan
    return F

def get_M_from_E(E, e):
    if e < 1.0:
        M = E - e*np.sin(E)
    else: 
        M = np.nan
    return M

def get_M_from_F(F, e):
    if e > 1.0:
        M = e*np.sinh(F) - F
    else: 
        M = np.nan
    return M

def get_M_from_D(D, e):
    if e == 1.0:
        M = D + D**3/3.
    else: 
        M = np.nan
    return M

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

# http://www.bogan.ca/orbits/kepler/orbteqtn.html

quarterpi, halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in [0.25, 0.5, 1, 2]]
rads, degs = pi/180, 180/pi

mu = 1.0

th0, th1 = 0.0, halfpi
print "th0, th1 (degs): ", degs*th0, degs*th1

eccs = [1.5, 1.0, 0.5, 0.0]

for e in eccs:

    print "e: ", e

    rp =  1.0  # periapsis

    if e < 1.0:
        print "     is ellipse!"

        ra = rp * (1+e)/(1-e)
        print "rp, ra: ", rp, ra

        a0 = 0.5*(rp + ra)
        v0 = np.sqrt(mu * (2./rp - 1./a0))
        print "a0, v0: ", a0, v0

        E0,  E1  = [get_E(th, e) for th in [th0, th1]]
        M0,  M1  = [get_M_from_E(E, e)  for E  in [E0,  E1 ]]
        print "E0, E1 (degs): ", degs*E0, degs*E1
        print "M0, M1 (degs): ", degs*M0, degs*M1

        print "E0, E1: ", E0, E1
        print "M0, M1: ", M0, M1

        dt = np.sqrt(a0**3/mu) * (M1-M0)

        print "dt (sec): ", dt

    elif e > 1.0:
        print "     is hyperbola!"

        ra = rp * (1+e)/(1-e)
        print "rp, ra: ", rp, ra

        a0 = 0.5*(rp + ra)
        v0 = np.sqrt(mu * (2./rp - 1./a0))
        print "a0, v0: ", a0, v0

        F0,  F1  = [get_F(th, e) for th in [th0, th1]]
        M0,  M1  = [get_M_from_F(F, e)  for F  in [F0,  F1 ]]
        print "F0, F1 (degs): ", degs*F0, degs*F1
        print "M0, M1 (degs): ", degs*M0, degs*M1

        print "F0, F1: ", F0, F1
        print "M0, M1: ", M0, M1

        dt = np.sqrt((-a0)**3/mu) * (M1-M0)

        print "dt (sec): ", dt

    elif e == 1.0:
        print "     is parabola!"

        print "rp: ", rp

        v0 = np.sqrt(mu * (2./rp))
        print "v0: ", v0

        D0,  D1  = [get_D(th, e) for th in [th0, th1]]
        M0,  M1  = [get_M_from_D(D, e)  for D  in [D0,  D1 ]]
        print "D0, D1 (degs): ", degs*D0, degs*D1
        print "M0, M1 (degs): ", degs*M0, degs*M1

        print "D0, D1: ", D0, D1
        print "M0, M1: ", M0, M1

        q = rp

        dt = np.sqrt(2.*q**3/mu) * (M1-M0)

        print "dt (sec): ", dt

    time = np.array([0, dt])
    X0   = np.array([rp, 0, 0, v0])

    answer, info = ODEint(deriv, X0, time, atol=1E-13, rtol=1E-13, full_output=True)

    x, y, vx, vy = answer.T
    theta = np.arctan2(y, x)

    print degs*theta[0], degs*theta[-1], " should be ", degs*th0, degs*th1